Mô hình black scholes có trễ và ứng dụng

- Scholes có trễ, sự biến động trong quá khứ ảnh hưởng đến sự biến động hiện tại.Nó phù hợp với thị trường tài chính hơn so với mô hình Black - Scholes cổ điển.Mục đích của luận văn là h

Mục lục

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 5

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 5

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc 6

1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường 6

1.1.4 Xác suất có điều kiện 7

1.1.5 Martingale 7

1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 8

1.1.7 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên 9

1.1.8 Tích phân Ito 10

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 13

1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 13

1.2.2 Công thức Ito 14

1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 16

1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính 18

1.3.1 Tài khoản tiền tệ 18

1.3.2 Thị trường tài chính 18

1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ và không có độ chênh thị giá 20

1.3.4 Chiến lược đáp ứng 21

1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro 22

2 Mô hình Black - Scholes 24 2.1 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường 24

2.1.1 Mô hình quá trình giá 24

2.1.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên

thông thường 252.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 292.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ 292.2.2 Mô hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên

có trễ hằng số 312.3 So sánh mô hình Black - Scholes và Black - Scholes có trễ 38

3 Ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ xác định bong bóng

3.1 Mô hình hóa kinh tế 443.2 Những tác động kinh tế 513.3 Chiến lược đầu tư 55

- Scholes có trễ, sự biến động trong quá khứ ảnh hưởng đến sự biến động hiện tại.

Nó phù hợp với thị trường tài chính hơn so với mô hình Black - Scholes cổ điển.Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản mô hình Black - Scholescho phương trình vi phân thông thường và phương trình vi phân có trễ, chỉ ra mốiliên hệ cũng như sự khác nhau giữa hai mô hình này trong việc định giá quyền chọn.Luận văn cũng cung cấp các bài toán ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễtrong việc dự đoán khả năng xảy ra bong bóng và sụp đổ thị trường

Bố cục luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các quá trìnhngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên thôngthường, phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, các khái niệm cơ bản về thịtrường tài chính và cấu trúc của nó

• Chương 2 là chương chính, trình bày mô hình Black - Scholes cho phương trình

vi phân ngẫu nhiên thông thường và phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ,đồng thời xây dựng công thức định giá quyền chọn cho cả hai mô hình và sosánh mối liên hệ cũng như sự khác nhau giữa hai mô hình

• Chương 3 trình bày việc ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ trongviệc xác định khả năng xảy ra bong bóng và sụp đổ thị trường

Luận văn được hoàn thành nhờ có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩLưu Hoàng Đức, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc của em trong suốt quátrình làm luận văn Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy tại trường Đạihọc Khoa học tự nhiên đã tận tình cung cấp kiến thức nền tảng cho em trong nhữngnăm học vừa qua.

Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2014

Học viênĐồng Thị Trang

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm

1 Ω là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu

tố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó

2 F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếmđược và phép lấy phần bù; nói các khác F là một σ - trường các tập con của

Ω Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

3 P là một độ đo xác định trên không gian đo (Ω, F)

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

1 Một quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ≥ 0) là một hàm hai biến X(t, ω) xác địnhtrên tích R+× Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đối với σ - trườngtích BR+× F , trong đó BR+ là σ - trường các tập Borel trên R+ = [0, ∞) Điều

đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp

{(t, ω) ∈ R+× Ω : X(t, ω) ∈ B}

là một phần tử của σ trường tích BR+ × F ; σ - trường này là σ- trường nhỏnhất chứa các tập có dạng

[0, t] × A, với t ∈ R+ và A ∈ F

2 Khi cố định một ω ∈ Ω thì ánh xạ riêng phần t → X(t, ω) từ R+ vào R đượcgọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) ứng với yếu tốngẫu nhiên ω ấy.

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc

1 Một họ các σ - trường con (Ft, t ≥ 0) của F , Ft ⊂ F được gọi là bộ lọc thỏamãn các điều kiện thông thường nếu

• Đó là họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t;

• Họ đó là liên tục phải, tức là Ft= ∩

>0Ft+

• Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft)

2 Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) Ta xét σ-trường FtX sinh bởitất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t: FtX = σ(Xs, s ≤ t) σ-trường này chứađựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm

t Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X, haycũng còn gọi là trường thông tin về X

3 Một không gian xác suất (Ω, F , P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (Ft)được gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω, F , (Ft), P)

1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường

1 Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, G là một σ - trường con của F và

X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F ) vào (R, BR),trong đó BR là σ-trường các tập Borel trên đường thằng R

Khi đó, một biến ngẫu nhiên X∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đốivới σ-trường G, nếu

• X∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G,

• Với mọi tập A ∈ G thì ta có R

AX∗dP =RAXdP

Biến ngẫu nhiên này sẽ được kí hiệu là E(X|G) và nó cũng là một biến ngẫunhiên

2 Nếu ta chọn σ-trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó Khi đó

kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được ký hiệu là E(X|Y )

1.1.4 Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện P(A|G)của một biến cố A ∈ Ft là biến ngẫu nhiên xác địnhbởi

P(A|G) = E(11A|G)trong đó 11A là hàm chỉ tiêu của một biến cố A, tức là

2 ∀A ∈ F : P(A|G) = 1 − P(A|G) (hầu chắc chắn);

3 ∀A1, A2, · · · ∈ F rời nhau từng đôi một thì

1.1.5 Martingale

Trong phần này chúng tôi trình bày các lý thuyết cơ bản về Martingale Nội dungtrình bày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 200-201]

Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (Ω, F , P ) được trang bị bộ lọc F = {Ft, 0 ≤

t ≤ T } Một quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục {X(t)} thích nghi với bộ lọc {Ft}được gọi là một martingale đối với F nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1 E|X(t)| < ∞, ∀t ∈ [0, T ],

2 E[X(s)|Ft] = X(t), t < s ≤ T

Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t Khi đó:

1 Nếu E(Xt | Fs) ≤ Xs thì X gọi là martingale trên;

2 Nếu E(Xt | Fs) ≥ Xs thì X gọi là martingale dưới

Định nghĩa 1.2 Cho {X(t), 0 ≤ t ≤ T } là một martingale

1 {X(t)} được gọi là bình phương khả tích nếu

Khi đó, quá trình {M (t)} khả tích đều

Thời điểm ngẫu nhiên τ được gọi là thời điểm dừng nếu

{τ ≤ t} ∈ Ft, ∀t ∈ [0, T ]

Một martingale bị dừng ở thời điểm τ là quá trình {M (t ∧ τ ), 0 ≤ t ≤ T }, trong đó

t ∧ τ = min {t, τ } Nếu {M (t)} là một martingale thì quá trình {M (t ∧ τ )} cũng làmột martingale nhưng điều ngược lại thì không đúng

Định nghĩa 1.3 (Martingale địa phương) Một quá trình thích nghi {X(t)} đượcgọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng {τn} thỏamãn τn→ ∞ khi n → ∞ và với mỗi n, quá trình {M (t ∧ τn)} là martingale khả tíchđều Dãy các thời điểm dừng {τn} được gọi là dãy địa phương hóa

1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown

Trong phần này chúng tôi trình bày lý thuyết về chuyển động Brown, hàm xácsuất chuyển của chuyển động Brown và đưa ra một số martingale quen thuộc tạothành từ chuyền động Brown Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài liệu thamkhảo [10, trang 46-47] và [3]

Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt)t≥0 là một quá trình Wiener hay chuyển độngBrown nếu:

1 W0 = 0 hầu chắc chắn

2 Hiệu Wt − Ws là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng 0 và phương sai là

W (t) ∼ N (0, t) nên X(t) − X(0) ∼ N(µt, σ2t)

Gọi S(t) là giá một chứng khoán rủi ro ở thời điểm t, và giả sử {X(t)} vớiX(t) = log[S(t)/S(0)] là một chuyển động Brown với độ dịch chuyển µ và hệ sốkhuếch tán σ Quá trình S(t) xác định bởi

S(t) = S(0)eX(t), t ≥ 0,được gọi là chuyển động Brown hình học

Các martingale quen thuộc tạo thành từ W

Cho (Wt) là một chuyển động Brown và Ft= FtW Khi đó thì ta có 3 martingalequen thuộc là

1 Bản thân Wt là một martingale đối với (Ft),

2 W2− t là một martingale đối với (Ft),

3 Với mọi u ∈ R thì euW t − u2

2 t là một martingale đối với (Ft)

1.1.7 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên

Liên quan đến lời giải phương trình vi phân về sau, chúng tôi trình bày lý thuyết

cơ bản về biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên Nội dung trình này được tríchdẫn từ tài liệu tham khảo [3, trang 43-44]

Định nghĩa 1.4 Cho (Xt) và (Yt) là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0 Tagọi biến phân bậc hai của quá trình ấy và ký hiệu [X, Y ] là một quá trình ngẫu nhiênxác định bởi giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại

[X, Y ]t = lim

−t |→0

n−1

X(Xtk+1− Xtk)(Ytk+1 − Ytk) hầu chắc chắn

với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < · · · < tn= t.

Biến phân bậc hai của một số quá trình

1 Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ]t= t

2 Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Yt = Xt− t

có biến phân bậc hai là [Yt] = t

3 Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi

X = X0

Z t 0

h1(s, ω)ds +

Z t 0

f1(s, ω)dWs

Y = Y0

Z t 0

h2(s, ω)ds +

Z t 0

f2(s, ω)dWs

thì

[X, Y ]t=

Z t 0

f1(s, ω)f2(s, ω)ds

1.1.8 Tích phân Ito

Trong phần này chúng tôi trình bày lý thuyết về tích phân Ito, làm cơ sở trìnhbày về phương trình vi phân ngẫu nhiên Nội dung trình bày được trích dẫn từ tàiliệu tham khảo [10, trang 202-204]

Cho chuyển động Brown tiêu chuẩn {W (t), 0 ≤ t ≤ T } và {ψ(t)} là một quá trìnhngẫu nhiên với các quỹ đạo liên tục Xét tích phân ngẫu nhiên

I(t) =

Z t 0

Định nghĩa 1.5 (Quá trình đơn giản) Một quá trình thích nghi {ψ(t)} được gọi

là quá trình đơn giản nếu tồn tại phân hoạch:

Z T 0

Eψ2(t) dt < ∞ Theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện, ta có:

Tổng quát hơn, có thể chỉ ra với hai quá trình đơn giản {f (t)} và {g(t)}, chúng tacó:

E

Z t 0

f (s)dW (s)

 Z t 0

g(s)dW (s)



=

Z t 0

E [f (s)g(s)] ds

Tích phân Ito của hàm X(t) tổng quát được xây dựng trên ý tưởng là xấp xỉ quátrình {X(t)} bởi một dãy các quá trình đơn giản {ψn(t)} Nhưng với lớp quá trìnhngẫu nhiên nào thì có thể xấp xỉ được Người ta đã chỉ ra rằng sự lựa chọn hợp lý làlớp các quá trình khả đoán

Định nghĩa 1.6 (Quá trình khả đoán) Quá trình ngẫu nhiên {X(t)} được gọi

là quá trình khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường sinh ra bởi các quá trình liêntục trái

Chúng ta công nhận các kết quả sau:

Mệnh đề 1.2 Cho {X(t)} là quá trình khả đoán thỏa mãn R0TX2(t)dt < ∞ hầuchắc chắn Khi đó, tích phân Ito R0TX(t)dW (t) được định nghĩa đúng đắn và là mộtmartingale địa phương Ngược lại, một martingale địa phương bất kỳ có thể được biểudiễn là một quá trình tích phân Ito với quá trình khả đoán {ψ(t)} nào đó thỏa mãn

RT

0 ψ2(t)dt < ∞ hầu chắc chắn

Mệnh đề 1.3 Cho {X(t)} là quá trình khả đoán thỏa mãn

Z T 0

EX2(t) dt < ∞

Khi đó, quá trình tích phân Ito {I(t)} xác định bởi I(t) =

Z t 0

X(u)dW (u) là tingale bình phương khả tích, kỳ vọng 0 với các quỹ đạo liên tục Ngược lại, mộtmartingale bình phương khả tích bất kỳ có thể được biểu diễn là một quá trình tíchphân Ito với quá trình khả đoán {ψ(t)} nào đó thỏa mãn R0T E[ψ2(t)]dt < ∞

mar-Định nghĩa 1.7 (Vi phân Ito) Nếu tích phân Ito

I(t) =

Z t 0

X(s)dW (s)tồn tại thì biểu diễn dưới dạng

dI(t) = X(t)dW (t)được gọi là vi phân Ito

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường

Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng:

dX(t) = µ(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t), 0 ≤ t ≤ T (1.3)trong đó µ(t, x) và σ(t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T ] × R → R, W (t) làchuyển động Brown tiêu chuẩn

Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)} được gọi là nghiệm của phương trình (1.3) vớiđiều kiện ban đầu

2 |µ(t, x) − µ(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ L|x − y|

Khi đó, phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.4).Mệnh đề 1.4 Giả sử quá trình {X(t)} là một nghiệm của phương trình vi phânngẫu nhiên:

dX = µ(t, X)dt + σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T,σ(t, x) liên tục và thỏa mãn E[R0T σ2(t, X)dt] < ∞ Khi đó, quá trình {X(t)} là mộtmartingale nếu và chỉ nếu µ(t, x) = 0

Mệnh đề 1.5 Giả sử quá trình {X(t)} là một nghiệm của phương trình vi phânngẫu nhiên:

dX

X = σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T,σ(t, x) liên tục và thỏa mãn E[exp{12R0T σ2(t, X)dt}] < ∞ Khi đó, quá trình {X(t)}

là một martingale

Xét phương trình tuyến tính dạng:

dX = (b(t) + µ(t)X)dt + σ(t)dW, 0 ≤ t ≤ T,trong đó b(t), µ(t) và σ(t) là các hàm tất định Nghiệm của phương trình này là:

Định lí 1.1 (Công thức Ito) Cho X(t) là quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phươngtrình vi phân ngẫu nhiên

dX = µ(t, X)dt + σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T

Khi đó, với hàm trơn f (t, x), Y (t) = f (t, X(t)) thỏa mãn phương trình vi phân ngẫunhiên

dY = µY(t)dt + σY(t)dW, 0 ≤ t ≤ T,

trong đó

µY(t) = ft(t, X) + fx(t, X)µ(t, X) + fxx(t, X)

2(t, X)và

df (t, X) = (ft(t, X) + Ltf (t, X))dt + dM, 0 ≤ t ≤ T,trong đó dM = fx(t, X)σ(t, X)dW Từ (1.5) ta có

e−Rtsr(u,X)dudM (s)



Số hạng cuối ở vế phải là tích phân Ito nên nó là martingale Vì vậy, lấy kỳ vọng và

sử dụng điều kiện biên, ta thu được:

f (t, X(t)) = E

hg(X(T ))e−RtTr(u,X)du | X(t) = xi

1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ

Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ (sdde) là tổng quát của cả phương trình viphân có trễ tất định (dde) và phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường (không

có trễ) (sode)

Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, F , P) với bộ lọc (Ft)0≤t≤T thỏa mãn điều kiệnthông thường E(X) =R

ΩXdP, chúng ta nói với 1 ≤ p ≤ ∞ thì X ∈ Lp = Lp(Ω, F , P)nếu E(|X|p) < ∞, và ta xác định chuẩn

kXkp = (E(|X|p))1p.Cho W (t) là quá trình Wiener một chiều trên không gian xác suất được lọc (Ω, F , P)X(t), t ∈ (−∞, +∞) là một quá trình ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫunhiên có trễ như sau

(1.6)trong đó trễ τ ∈ (0, ∞), ψ(t) ∈ C([−τ, 0], R), F0-đo được sao cho Ekψk2 < ∞.(Không gian C([−τ, 0], R) là không gian Banach chứa các ánh xạ liên tục từ [−τ, 0] →

R với chuẩn kηk = sups∈[−τ,0]|η(s)|, η ∈ C) Các hàm F : R×R → R và G : R×R → R

là liên tục Công thức (1.6) có thể viết dưới dạng hiện

X(t) = ψ(0)+

Z t 0

F (s, X(s), X(s−τ ))dt+

Z t 0

Định nghĩa 1.8 • Một quá trình ngẫu nhiên X(t) : [−τ, T ]×Ω → R được gọi lànghiệm mạnh của (1.6)nếu nó một quá trình đo được, liên tục sao cho X|[0, T ]

là (Ft)0≤t≤T-thích nghi được và thỏa mãn (1.6) hoặc (1.7) hầu chắc chắn vàđiều kiện ban đầu X(t) = ψ(t), t ∈ [−τ, 0]

• Một nghiệm X(t) được gọi là duy nhất quỹ đạo nếu những nghiệm bX(t) khácbằng X(t) hầu chắc chắn, tức là P(X(t) = bX(t), −τ ≤ t ≤ T ) = 1

Giả thiết 1.1 1 Hàm F và G liên tục

2 (a) Hàm F và hàm G thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều, đó là tồn tại các hằng

số dương L1, L2, L3, L4 sao cho với mọi ξ1, ξ2, η1, η2 ∈ R và t ∈ [0, T ]

|F (ξ1, η2) − F (ξ2, η2)| ≤ L1|ξ1− ξ2| + L2|η1− η2|

và |G(ξ1, η2) − G(ξ2, η2)| ≤ L3|ξ1− ξ2| + L4|η1− η2|(b) Tồn tại một hằng số dương L5 sao cho với t, s ∈ [−τ, 0] ta có

E(|ϕ(t) − ϕ(s)|p) ≤ L5|t − s|pγ, p = 1, 2

3 Hàm F và G thỏa mãn điều kiện cấp tăng tuyến tính Đó là tồn tại các hằng

số dương K1, K2 sao cho với mọi ξ, ξ1, η, η1 ∈ R và t ∈ [0, T ]

|F (ξ, ξ1)|2 ≤ K1 1 + |ξ|2+ |ξ1|2

và |F (η, η1)|2 ≤ K2 1 + |η|2+ |η1|2
Định lí 1.2 (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm F và G thỏa mãn giảthiết (1.1) ở trên thì tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh của phương trình vi phân cótrễ (1.6)

Trong lý thuyết về phương trình vi phân có trễ tất định, phương trình vi phân

có trễ với trễ là một số cố định có thể được biểu diễn trên mỗi đoạn độ dài τ

là một phương trình vi phân không có trễ Xác định γ0(t) = t, γ1(t) = t − τ , và

γi(t) = γ1(γi−1(t)) với t ≥ 2; X(t) = Ym(t) với t ∈ [mτ, (m + 1)τ ], Y−1(t) = ϕ(t) và

bị chặt khi N tăng vô hạn

1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính

1.3.1 Tài khoản tiền tệ

Phần này chúng tôi trình bày về tài khoản tiền tệ và nội dung trình này đượctrích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 61-62]

Xét một tài khoản gửi ngân hàng với số tiền gửi ban đầu là F = 1 Ký hiệu Bt là

số tiền trong tài khoản sau t thời kỳ Tiền lãi thu được ở thời kỳ t bằng Bt+1− Bt.Với lãi suất r > 0, nếu tính theo lãi kép thì: Bt+1− Bt = rBt, t = 0, 1, 2,

Vì Bt+1 = (1 + r)Bt nên Bt= (1 + r)t, t = 0, 1, 2, , B(t) gọi là tài khoản tiền tệ.Giả sử lãi suất hàng năm là r và lãi được trả vào n thời điểm mỗi năm Chúng tachia mỗi năm thành n khoảng thời gian bằng nhau Vì vậy, lãi suất ở mỗi thời kỳ làr/n Dễ thấy rằng tổng số tiền gửi sau m thời kỳ là

Bm =1 + r

n

m

Giả sử t = m/n với m, n là các số nguyên dương và B(t) là số tiền gửi ở thời điểm

t với lãi suất hàng năm là r Từ (1.8) ta có:B(t) = (1 + r/n)nt

r(u)du

, t ≥ 0với giả thiết tích phân tồn tại

1.3.2 Thị trường tài chính

Thị trường tài chính là thị trường tại đó các tác nhân có thể phát hành, mua bán,trao đổi, chuyển nhượng các tài sản tài chính theo các quy tắc, luật lệ ấn định trước.Nhìn chung, nếu phân loại các tài sản tài chính theo hình thức huy động vốn củacác đơn vị phát hành, chúng ta có thể phân chia chúng thành 2 loại: chứng khoán nợ(trái phiếu), chứng khoán vốn (cổ phiếu)

Chứng khoán nợ (trái phiếu): Là giấy chứng nhận do chính phủ hay doanh nghiệpphát hành Số tiền ghi trên giấy chứng nhận nợ gọi là mệnh giá Trái phiếu có thờihạn tồn tại nhất định, có mệnh giá xác định và lãi suất được hưởng trên mệnh giá(coupon rate) cố định Người phát hành (người vay) cam kết sẽ trả cho người mua(người cho vay) lãi định kỳ theo lãi suất ghi trên trái phiếu và hoàn trả vốn gốc vàongày đáo hạn của chúng.

Chứng khoán vốn (cổ phiếu): Số tiền mà người mua bỏ ra để sở hữu các chứngkhoán vốn (cổ phiếu) chính là phần vốn họ góp với đơn vị phát hành là các công ty

cổ phần Cổ phiếu cũng có mệnh giá xác định nhưng không được hưởng lãi suất cốđịnh trên mệnh giá như trái phiếu Phần lãi hưởng được (gọi là cổ tức) sẽ tùy thuộcvào kết quả kinh doanh và vào quyết định chia hay giữ lại của doanh nghiệp Chính

vì vậy, mục đích chủ yếu khi mua cổ phiếu không phải là hưởng lãi trên mệnh giánhư đối với mua trái phiếu, nhà đầu tư chủ yếu hướng tới việc hưởng lợi từ việc thayđổi giá cả của cổ phiếu trên thị trường

Tài sản phái sinh: Là loại tài sản tài chính được tạo ra trên tài sản cơ sở và giátrị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở Tùy theo mục đích, những ngườitham gia mua bán các tài sản này sẽ được chia làm hai loại: Những người phòng hộrủi ro tham gia thị trường để như một hình thức bảo hiểm trước những thay đổi bấtthường của thị trường Trong khi đó, người đầu cơ tham gia thị trường để khai thác

và mong muốn hưởng lợi từ sự biến động giá của hàng hóa trên thị trường Các công

cụ phái sinh được giao dịch chủ yếu bao gồm hợp đồng kỳ hạn – forwards và hợpđồng tương lai – futures là thoả thuận mua hoặc bán một tài sản cơ sở (hàng hoáhoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương lai với giá cả và số lượng

đã xác định trước

Tuy nhiên, hợp đồng tương lai là các công cụ được chuẩn hóa, được thỏa thuận và

ký kết thông qua nhà môi giới và được giao dịch trên thị trường tập trung như các tàisản tài chính khác Hợp đồng kỳ hạn được thỏa thuận và ký kết giữa hai bên thamgia hợp đồng và không được giao dịch trên thị trường Người tham gia hợp đồng kỳhạn hay tương lai có bổn phận thực hiện hợp đồng (mua hoặc bán tài sản cơ sở) khihợp đồng đáo hạn

Hợp đồng quyền chọn – options, gọi tắt là quyền chọn (về tài sản cơ sở) là hợpđồng quy định người nắm giữ có quyền nhưng không bắt buộc mua hoặc bán tài sảntheo giá và tại thời điểm được ấn định trước Giá định trước trong hợp đồng gọi làgiá thực hiện (Strike price), thời điểm thực hiện mua hoặc bán tài sản gọi là thờiđiểm đáo hạn của quyền chọn (Exercise date)

Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call Option) và quyền chọn bán (PutOption) tùy thuộc vào quyền được mua hoặc bán tài sản của người nắm giữ quyềnchọn Loại quyền cho phép người nắm giữ có thể thực hiện tại thời điểm bất kì trướctrước khi đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Mỹ Quyền chọn chỉ được phép thực hiệntại thời điểm đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Âu Có thể nói lí thuyết tài chính hiệnđại bắt đầu từ việc giải các bài toán về định giá rủi ro tài chính và khả năng phòng

hộ rủi ro Đối với một quyền chọn mua, giá trị của thu hoạch là 0 nếu giá trị S củatài sản cơ sở nhỏ hơn hoặc bằng giá thực hiện K, vì chủ sở hữu quyền mua sẽ khôngthực hiện lúc đáo hạn để mua S ở giá K nếu như anh ta có thể mua với giá thấp hơn,giá trị của thu hoạch sẽ bằng S − K nếu S ≥ K vì khi thêm vào giá thực hiện K tathu được giá thực S

1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ và không có độ chênh thị

giá

Một danh mục đầu tư (hay phương án đầu tư) là một tổ hợp của một số hữu hạncác chứng khoán với các trọng số nào đó Giả sử có n chứng khoán với các giá trị tạithời điểm t là S1(t), , Sn(t) Một danh mục đầu tư là một cách chọn ra α1(t) chứngkhoán S1, , αn(t) chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị củadanh mục đầu tư tại thời điểm t được xác định là

Có nghĩa là với danh mục đầu tư tự cân đối tài chính thì muốn tăng đầu tư cho một

số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác

Định nghĩa 1.10 Một thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phương

án đầu tư {φ = (α, S)} là một thị trường không có ac-bit nếu không tồn tại mộtdanh mục đầu tư nào có ac-bit

Quá trình Vt(φ) của phương án ấy (tức quá trình mà giá trị lúc đáo hạn là

VT(φ) = XT) được gọi là quá trình đáp ứng

1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro

Trong phần này chúng tôi trình bày về xác suất trung hòa rủi ro, độ đo xác suấttương đương và định lý liên quan đến phép biến đổi độ đo Nội dung trình bày đượctrích dẫn từ tài liệu tham khảo [3], ([10, trang 87-88], [6]

Xét một tài sản phái sinh kiểu Âu (X) có giá đáo hạn là X(T ) đối với tài sản cơ

sở S = (S(t), 0 ≤ t ≤ T ), thời gian đáo hạn là T Giả thiết rằng các giá của S đều làmột quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất (Ω, F , Ft, P) trong đó (Ft)

là bộ lọc mang thông tin về thị trường

Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) = β(t)1 , trong đó β(t) nói chung là một quá trìnhngẫu nhiên xác định trên không gian nói trên Thông thường người ta hay chọnβ(t) = er(T −t), do đó hệ số chiết khấu là e−r(T −t), nếu lãi suất không có rủi ro thì r làtất định và hệ số chiết khấu là tất định

Định nghĩa 1.11 Một độ đo xác suất Q trên (Ω, F) được gọi là xác suất trung hòarủi ro nếu:

1 Q tương đương với P, tức là Q(A) = 0 khi và chỉ khi P(A) = 0 với A ∈ F

2 Với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta có EQ

 S(t)β(t) | Ft



= S(s)β(s) - hầu chắc chắn.

e

V (t) = V (t)

cũng là một martingale đối với (Q, Ft)

Nói riêng, khi đó ta có

V (0)β(0) = EQ

 V (T )β(T )|F0



Vì σ-trường F0 chỉ gồm hai tập là ∅ và Ω cho nên kỳ vọng có điều kiện lấy đốivới F0 cũng là kỳ vọng thường không điều kiện

V (0) = β(0)EQ

 X(T )β(T )



Vậy nhờ có xác suất Q mà bây giờ hiện giá V (0) được biểu diễn tất định (khôngcòn ngẫu nhiên hay rủi ro) Cho nên xác suất Q được gọi là xác suất trunghòa rủi ro Cũng nhờ có độ đo Q mà giá tài sản V (t) biến thành eV (t) là mộtmartingale cho nên Q cũng được gọi là độ đo martingale

Định lí 1.4 (Định lý định giá tài sản) Không có cơ hội có độ chênh thị giá nếu

và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất trung hòa rủi ro Khi đó, giá của một tài sảnphái sinh đạt được X được cho bởi (1.19) đối với mọi phương án đầu tư đáp ứng.Cho không gian xác suất (Ω, F , P ), giả sử Q cũng là một độ đo xác suất

Định lí 1.5 Hai độ đo xác suất P và Q tương đương khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫunhiên η > 0 sao cho E[η] = 1 và thỏa mãn:

Cho W (t), t ∈ [0, T ] là một chuyển động Brown tiêu chuẩn trên (Ω, F , P), Σ làquá trình khả đoán sao cho R0T |σ(u)|2du < ∞ hầu chắc chắn và

ρt = exp

Z t 0

Σ(u)dW (u) − 1

2

Z t 0

|Σ(u)|2du

, t ∈ [0, T ]thỏa mãn EP(ρT) = 1 Với độ đo xác suất Q trên (Ω, F) bởi dQ = ρTdP thì quá trình

c

W (t) = W (t) −

Z t 0

Σ(u)du, t ∈ [0, T ]

là một quá trình Wiener tiêu chuẩn dưới độ đo Q

Định nghĩa 1.12 Một thị trường chứng khoán được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sảnphái sinh đều đạt được

Định lí 1.7 Một thị trường chứng khoán là đầy đủ nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhấtmột độ đo xác suất trung hòa rủi ro

Chương 2

Mô hình Black - Scholes

Trước khi đề cập đến mô hình Black - Scholes có trễ, chúng tôi trình bày mô hìnhBlack - Scholes cho phương trình vi phân thông thường Nội dung trình bày đượctrích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 217-225]

2.1 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi

phân ngẫu nhiên thông thường

2.1.1 Mô hình quá trình giá

Giả sử R(t) là lợi suất tức thời ở thời điểm t của chứng khoán S(t) Ta có:

dS = [µ(t, S)S − d(t)] dt + σ(t, S)SdW, 0 ≤ t ≤ T

Nói riêng, nếu chứng khoán không trả cổ tức thì phương trình trên trở thành:

dS

Ví dụ 2.1 Trong mô hình (2.3), chúng ta sẽ tìm vi phân ngẫu nhiên của Y (t) =log S(t) Để đạt được mục tiêu này, chúng ta áp dụng công thức Ito với f (t, x) = log x.

2(t, S)2



dt + σ(t, S)dW, 0 ≤ t ≤ T (2.5)

2.1.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu

nhiên thông thường

Xét một thị trường chứng khoán gồm có chứng khoán không rủi ro là tài khoảntiền tệ B(t) thỏa mãn phương trình vi phân thường

dB(t) = rB(t)dt, 0 ≤ t ≤ T,với r là một hằng số dương và chứng khoán rủi ro (cổ phiếu) không trả cổ tức có giá

ở thời điểm t là S(t) Mô hình Black-Scholes được mô tả bởi phương trình vi phânngẫu nhiên:

trong đó µ, σ là các hằng số dương và {W (t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn Môhình này do Black và Scholes đưa ra (1973) để định giá quyền chọn mua kiểu châuÂu.

Xét quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực hiện K và thời điểm đáo hạn T viếttrên {S(t)} Giả sử giá ở thời điểm t của quyền chọn được cho bởi C(t) = f (t, S(t))với f (t, S) là hàm trơn nào đó Áp dụng công thức Ito, ta được:

là lợi suất trung bình của quyền chọn và

Phương trình trên chỉ ra rằng lợi suất thặng dư trung bình trên một đơn vị rủi rocủa cổ phiếu bằng với lợi suất thặng dư trung bình trên một đơn vị rủi ro của pháisinh Thay lợi suất trung bình µC(t) và độ biến động σC(t) vào phương trình trên tathu được phương trình đạo hàm riêng

rSfS(t, S) + ft(t, S) + σ

2S2

2 fSS(t, S) − rf (t, S) = 0 (2.10)Phương trình (2.10) không phụ thuộc vào hàm thu hoạch h(x) của phái sinh Giá củaphái sinh C(t) = f (t, S(t)) thu được từ việc giải phương trình (2.10) với điều kiệnbiên C(T ) = h(T ) Trong trường hợp quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực hiện

f (t, S) = SΦ(d) − Ke−r(T −t)Φ(d − σ√

T − t),trong đó S(t) = S và

Đây là công thức Black-Scholes định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu

Ví dụ 2.2 Xét một quyền chọn mua với thời gian đáo hạn là 3 tháng, giá chứngkhoán ban đầu là 60 triệu đô la, giá thực thi là 65 triệu đô la, lãi suất không rủi ro

là 8% một năm và độ biến động chứng khoán là 30% một năm

Vậy S0 = 60, X = 65, T = 3 tháng = 0.25 tính theo năm, r = 0, 08, σ = 0.3 Do đó

d1 = ln(60/65) + (0.08 + 0.3

2/2)0.250.3√

d2 = d1− 0.3√0.25 = −0.4753Theo bảng giá trị của phân phối chuẩn N (0, 1) ta có

Φ(d1) = Φ(−0.3253) = 0.3753, Φ(d2) = Φ(−0.4753) = 0.3192

Do đó quyền chọn V0 tại thời điểm ban đầu (hiện giá của quyền chọn) sẽ là

V0 = S0Φ(d1) − e−rTΦ(d2) = 60 · 0.3753 − 65 · e−0.08·0.25· 0.3192 = 2.1808Như vậy với một dự án mua quyền chọn mua như trên thì sau 3 tháng kết thúc hợpđồng, nhà đầu tư nếu quyết định thực thi thì sẽ có môt khoản lợi nhuận mà tính lùitheo hiện giá sẽ là 2.1808 USD

2.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi

phân ngẫu nhiên có trễ

2.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ

Phần này chúng tôi đề cập đến mô hình giá cổ phiếu có trễ Nội dung trình bàyđược trích dẫn trong tài liệu tham khảo [6]

Giả sử cổ phiếu có giá S(t) tại thời điểm t được cho bởi phương trình vi phânngẫu nhiên

dS(t) = f (t, St)dt + g(S(t − b))S(t)dW (t), t ∈ [0, T ]S(t) = ϕ(t), t ∈ [−L, 0]

(2.14)

Phương trình trên xác định trong không gian xác suất (Ω, F , P) với bộ lọc (Ft)0≤t≤Tthỏa mãn điều kiện thông thường, hằng số L, b, T dương với L ≥ b Không gianC([−L, 0], R) các hàm liên tục η : [−L, 0] → R] là không gian Banach với chuẩnkηk = sup

s∈[−L,0]

|η(s)|

Hệ số dịch chuyển f : [0, T ] × ([−L, 0], R) → R là hàm liên tục và g : R → R cũngliên tục Quá trình ban đầu ϕ : Ω → C([−L, 0], R) F0- đo được tương ứng với σ-đại số Borel của C([−L, 0], R) Quá trình W là chuyển động Brown tiêu chuẩn mộtchiều thích nghi với bộ lọc (Ft)0≤t≤T và St ∈ C([−L, 0], R), St(s) = S(t + s), s ∈[−L, 0], t ≤ 0 Với điều kiện cho bên dưới, ta có thể giải thích được tính khả thi của

mô hình (2.20): Có một nghiệm quỹ đạo duy nhất sao cho S(t) > 0 hầu chắc chắnvới mọi t ≥ 0 khi mà ϕ(t) > 0 với mọi t ∈ [−L, 0]

Giả thiết 2.1 (Điều kiện nghiệm duy nhất quỹ đạo)

1 Tồn tại một hằng số dương L0 sao cho

|f (t, η)| ≤ L0(1 + kηk)với mọi (t, η) ∈ [0, T ] × C([−L, 0], R)