Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái tt

Vì vậy, bài toánnghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trongcác mô hình thực tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sựquan tâ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ

VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Lê Văn Hiện

TS Trịnh Tuấn Anh

Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học

Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận, Trường Đại học Bách khoa Hà NộiPhản biện 3: PGS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tạiTrường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2019

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn địnhnghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệthống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng dụng từ cơ học,vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh thái học quần thể,kinh tế và môi trường Trong thực tiễn, rất nhiều mô hình ứng dụng được mô tả bởicác lớp phương trình vi phân có trễ Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đếndáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ nói chung và tính ổn định, một trong những tínhchất phổ dụng của các hệ trong các mô hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, bài toánnghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trongcác mô hình thực tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sựquan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong những năm gần đây

Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính dừng, hệ

có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng và hiệu quả

để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựng các phiếm hàm Lyapunov-Krasovskiiphù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập thông qua các bất đẳng thức

ma trận tuyến tính (LMIs) Khi đó, các công cụ giải số và một số thuật toán tối ưulồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận được của lớp điều kiện LMIs đó đảmbảo tính ổn định của hệ

Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là các hệtrong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không dừng Việcnghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, cho các lớp hệ nhưvậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phương pháp nghiên cứu đặc thù.Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệmcận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phânphi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình mô tả các mô hình trong sinh thái học,cần tiếp tục được nghiên cứu và phát triển Đó cũng là lí do và là động lực chínhchúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân

có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái

2 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

2.1 Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô

tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thành côngtrong nhiều bài toán thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng, khái niệm

ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thời gian ngắn) mang

ý nghĩa thực tiễn quan trọng Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX, khái niệm ổn địnhtrong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt

là trong các mô hình điều khiển cơ học Một hệ động lực gọi là ổn định trong thờigian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu (chẳng hạn một lân cậncủa trạng thái cân bằng), mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá mộtngưỡng cho trước trên một khoảng thời gian xác định trước Như vậy, khác với tính

ổn định theo Lyapunov (LS), một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệucủa nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng Hơnnữa, LS và FTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thểkhông ổn định theo Lyapunov và ngược lại Trong Chương 2 của luận án chúng tôinghiên cứu tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nốibiến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây

2.2 Tính tiêu hao của lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên

Nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phương trình viphân hàm có tính tiêu hao Đặc tính tiêu hao của hệ được thể hiện qua sự tồn tạicủa tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạo trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong

đó sau thời gian hữu hạn Các nghiên cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dángđiệu tiệm cận của nghiệm, một trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định

tính các hệ phương trình vi phân và ứng dụng.

Trong Chương 3 của luận án chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính tiêuhao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ sốbiến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây

và inf t≥0 a i (t) = 0

2.3 Sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của một

mô hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến

Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả động lực các

mô hình thực tiễn Ví dụ, Nicholson sử dụng phương trình vi phân

N′(t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN(t−τ ), (3)

ở đóα, β, γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể loài ve châu

Úc Mô hình (3) sau đó thường được gọi là mô hình Nicholson và được sử dụng rấtphổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinh thái học quần thể

Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mô hình Nicholson và cácbiến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi Hầu hết cáckết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mô hình Nicholson với tốc độ suy giảm(mortality rate) dân số tuyến tính Một mô hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc tuyếntính vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thể có mật độ thấp Theo các nhàhải dương học, nhiều mô hình trong thủy sản như khu bảo tồn biển được mô tả bằngcác phương trình vi phân trễ trong mô hình Nicholson với tốc độ suy giảm phụ thuộcphi tuyến vào mật độ dạng

N′(t) = −D(N(t)) + βN(t − τ )e−γN(t−τ ),

ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a − be−N (type-I) hoặc

D(N) = b+NaN (type-II) với a, b là các hằng số dương

Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất vàtính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình Nicholson có trễ

Áp dụng kết quả tổng quát cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thuđược một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằngdương của mô hình tương ứng

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phương trình viphân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lý thuyết ổnđịnh Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm năng lượng kiểu Lyapunov Đặcbiệt, trong luận án, chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh mới để thiết lập cácđiều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn định, tính tiêu hao cũngnhư các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn dương đối với các lớp phươngtrình vi phân được nghiên cứu trong luận án

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:

1 Thiết lập được các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận đảm bảotính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa của mô hình mạngnơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

2 Chứng minh tính tiêu hao toàn cục của lớp hệ phương trình vi phân mô tả lớpmạng nơron Hopfiled trong cả hai trường hợp khi các hệ số phản hồi thỏa mãnđiều kiện chính quy và khi các hệ số phản hồi suy biến

3 Chứng minh sự tồn tại toàn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều của nghiệmdương đối với một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy thoái phi tuyến.

4 Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàndương hút toàn cục đối với mô hình Nicholson nói trên Một áp dụng với môhình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân bằng dươnghút toàn cục cũng được đưa ra

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên các tạpchí quốc tế trong danh mục ISI

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu thamkhảo, luận án gồm 4 chương Chương 1 trình bày một số kết quả cơ bản về tính ổnđịnh hữu hạn, tính tiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổtrợ cho việc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án Chương 2nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạngnơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất Chương 3 trình bàycác kết quả nghiên cứu tính tiêu hao toàn cục của lớp phương trình vi phân trong

mô hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Và cuối cùng, Chương

4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một

mô hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi tuyến

Chương 1

SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích matrận, phương trình vi phân, lý thuyết ổn định theo Lyapunov, ổn định trong thời gianhữu hạn và tính tiêu hao của một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ

1.1 M-ma trận

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất của M-ma trận.1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định LyapunovXét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm sau đây

x′(t) = f (t, x t ), t ≥ t 0 , x t0 = φ, (1.1)

ở đó f : D = [t 0 , ∞) × C → Rn và φ ∈ C = C([−r, 0],Rn ) là hàm ban đầu Giả sử

f (t, 0) = 0 và hàmf (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t 0 ∈ [0, ∞) và φ ∈ C,bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t 0 , ∞)

Định nghĩa 1.2.1 Nghiệmx = 0của (1.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa Lyapunov)nếu với mọi ǫ > 0, t 0 ∈ R+, tồn tại δ(t 0 , ǫ) > 0 sao cho kφk C < δ(t 0 , ǫ) kéo theo

kx(t, φ)k < ǫ với mọi t ≥ t 0 Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định đều nếu số δ

nói trên không phụ thuộc t 0

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu

x = 0ổn định đều và tồn tại một sốδ a > 0sao cho với mọiη > 0tồn tạiT = T (δ a , η) > 0

sao cho kφk C < δ a kéo theo kx(t, φ)k < η với mọi t ≥ t 0 + T (δ a , η) Hơn nữa, nếu số δ a

có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục đều.Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (GES) nếutồn tại các hằng số dương α, β sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa mãn đánhgiá mũ

kx(t, φ)k ≤ βkφk C e−α(t−t0 ) , t ≥ t 0 (1.2)Định lí 1.2.1 (Định lí Lyapunov-Krasovskii) Giả sử f : R× C → Rn biến mỗi tập

R× Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C, thành tập bị chặn trong Rn và u, v, w :R+→R+

là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0 và u(s) > 0, v(s) > 0 khi s > 0

Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V :R× C →R+ thỏa mãn

u(kφ(0)k) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφk C ), ∀φ ∈ C, (1.3)

và đạo hàm của V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa

Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định đều Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì nghiệm

x = 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều Hơn nữa, nếu lim s→∞ u(s) = ∞ thì nghiệm

x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều

1.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn

1.3.1 Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn

Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạntìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hình điềukhiển cơ học Một hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡngcủa điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡngcho trước trên một đoạn thời gian xác định trước Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệphương trình vi phân thường sau đây

x′(t) = f (t, x(t)), x(t 0 ) = x 0 , (1.5)

ở đó x(t) ∈Rn là vectơ trạng thái của hệ

Định nghĩa 1.3.1 Cho trước một số dương T và các tập X 0, X t trong Rn, hệ (1.5)được gọi là ổn định hữu hạn đối với (t 0 , T, X 0 , X t ) nếu với bất kì x 0 ∈ X 0, quỹ đạonghiệm tương ứng x(t, t 0 , x 0 ) của (1.5) thỏa mãn

x(t; t 0 , x 0 ) ∈ X t , ∀t ∈ [t 0 , t 0 + T ].

Trong nhiều trường hợp, các tập X 0 (trạng thái đầu) và X t (tập quỹ đạo) đượccho dưới dạng các ellipsoid E R (ρ) = {x⊤Rx < ρ : x ∈Rn }, ở đó R ∈Sn

+ là một ma trậnđối xứng xác định dương Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng sau

Định nghĩa 1.3.2 Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian), một matrận R ∈ Sn

+ và các số dương r 1 < r 2 Hệ (1.5) được gọi là ổn định hữu hạn đối với

(t 0 , T, r 1 , r 2 , R) nếu với bất kì x 0 ∈ E R (r 1 ), quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t) = x(t, t 0 , x 0 )

thỏa mãn x ⊤ (t)Rx(t) < r 2 với mọi t ∈ [t 0 , t 0 + T ]

1.3.2 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn

hợp biến thiên

Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây

x′(t) = Ax(t) + Dx(t − τ (t)) + G

Z t t−κ(t) x(s)ds, t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],

(1.6)

ở đó x(t) ∈Rn là vectơ trạng thái,φ ∈ C([−h, 0],Rn ) là hàm ban đầu, A, D, G ∈Rn×n

là các ma trận cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện

0 ≤ τ 1 ≤ τ (t) ≤ τ 2 , τ′(t) ≤ µ ≤ 1, 0 ≤ κ 1 ≤ κ(t) ≤ κ 2 ,

với µlà hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ 1 , τ 2, κ 1 , κ 2 là các cậntrên của trễ, h = max{τ 2 , κ 2 }

Định nghĩa 1.3.3 Cho trước số các số dương T, r 1 , r 2, với r 1 < r 2 Hệ (1.6) được gọi

là ổn định hữu hạn đối với (r 1 , r 2 , T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0],Rn ), kφk ∞ ≤ r 1, ta có

kx(t, φ)k ∞ < r 2 với mọi t ∈ [0, T ]

Định lí 1.3.1 Cho các số dương T, r 1 , r 2, r 1 < r 2 Hệ (1.6) là ổn định hữu hạn đốivới (r 1 , r 2 , T ) nếu tồn tại các số dương α, ρ i, i = 1, 2, 3, 4, và các ma trận đối xứng xácđịnh dương P, Q, R ∈Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau

A⊤P e 1 − αe⊤1P e 1, Π 1 = e⊤1Qe 1 − (1 − µ)eατ1 e⊤2Qe 2 và Π 2 = κ 2 e⊤1Re 1 − κ12e⊤3Re 3

1.4 Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễTrong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính tiêu hao của một sốlớp phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây

x′(t) = F (t, x(t), x(t − τ 1 (t)), , x(t − τ m (t))), t ∈ [0, ∞), x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0],

(1.8)

ở đó τ k (.) là các hàm trễ liên tục thỏa mãn 0 ≤ τ k (t) ≤ τ với mọi t ≥ 0, k ∈ [m], với

τ > 0 là một hằng số Hàm F : [0, ∞) ×Rn × (C([−τ, ∞),Rn ))m →Rn liên tục và thỏa

Rn, ha, bi = a⊤b = Pn

i=1 a i b i với a = (a i ) ∈ Rn và b = (b i ) ∈ Rn Giả thiết thêm rằnghàm F thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi φ(.) ∈ C([−τ, 0],Rn), bài toán (1.8) cónghiệm duy nhất x(t, φ) trên [−τ, ∞)

Định nghĩa 1.4.1 Hệ (1.8) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một tập bịchặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn, tồn tại t ∗ = t ∗ (B) có tính chấtvới mọi hàm ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0],Rn ) mà φ(t) ∈ B với mọi t ∈ [−τ, 0] thì nghiệm

x(t, φ) ∈ B với mọi t ≥ t ∗ (B) Tập B như vậy được gọi là một tập hấp thụ của (1.8).1.4.1 Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên

Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Halanay) Giả sử hàm u(t) ≥ 0, t ∈ (−∞, ∞), thỏa mãn

thì ta có u(t) ≤ γ∗

σ + kθk∞, t ∈ [t 0 , ∞) Nếu giả thiết thêm rằng tồn tại một số0 < δ < 1

sao cho δα(t) + β(t) < 0, ∀t ≥ t 0, thì với mọi ǫ > 0, tồn tại một t ∗ = t ∗ (kθk ∞ , ǫ) > t 0

sao cho

u(t) ≤ γ∗

σ + ǫ, t ≥ t∗.

1.4.2 Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp

cận bằng phương pháp đổi biến

Xét lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ dạng sau đây







x′(t) = g(x(t), x(qt)), t ≥ t 0 > 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [qtb 0 , t 0 ],

(1.14)

ở đó q là một hằng số, 0 < q < 1, bϕ(t) là hàm xác định điều kiện đầu và hàm g thỏamãn điều kiện

với α, β, γ là các hằng số Để đơn giản ta có thể xét t 0 = 1 Bằng phép đổi biến

y(t) = x(et), phương trình (1.15) được chuyển về dạng phương trình vi phân với trễ





y′(t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t > 0, y(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],

Định lí 1.4.3 Giả sử y(t) là một nghiệm của (1.16) thỏa mãn điều kiện (1.18) và

α + β < 0 Khi đó, với bất kì ǫ > 0 cho trước, tồn tại một t ∗ = t ∗ (kϕk ∞ , ǫ) > 0 sao cho

Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ

Xét lớp hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biếnthiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng

ở đó n là số nơron trong mạng, x i (t) là biến trạng thái của nơron thứ i tại thời điểm

t, I i (t) là tín hiệu đầu vào của nơron thứ i, a i (t) > 0là tốc độ tự ức chế của nơron thứ

i, đó là tốc độ mà khi không được kết nối với các nơron khác và không có tín hiệuđầu vào, nơron i tự giải phóng năng lượng,b ij (t) vàc ij (t) là các trọng số kết nối giữacác nơron, f j (.), g j (.), j ∈ [n], là các hàm kích hoạt của nơron, q ij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], làcác hằng số diễn tả độ trễ tín hiệu trên trạng thái và x0 = (x01, , x0n) ⊤ ∈Rn là vectơcác giá trị ban đầu Các hệ số b ij (t), c ij (t), a i (t) và đầu vào I i (t) được giả thiết là cáchàm liên tục trên R+

Giả thiết (A2.1): Tồn tại các số thực l−ik, l+ik, k = 1, 2, sao cho

l−i1 ≤ fi(x) − fi(y)

x − y ≤ l

+ i1 , l−i2≤ gi(x) − gi(y)

x − y ≤ l

+ i2 , ∀x, y ∈R, x 6= y. (2.2)