Ma trận ngẫu nhiên và ứng dụng

• Các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, trong đóR là đường thẳng thực và R là σ-đại số Borel, được tạo ra bởi các tập mở của R.. • Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận hoặc ma trận ngẫu nhi

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ bản của xác suất 6

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 7

1.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản 8

1.1.3 Sự hội tụ 9

1.1.4 Tính độc lập 10

1.1.5 Tập trung độ đo 10

1.2 Các khái niệm cơ bản về ma trận 14

1.2.1 Các dạng ma trận 14

1.2.2 Vết của ma trận 15

2 Ma trận ngẫu nhiên 16 2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên 16

2.1.1 Tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) 16 2.1.2 Tập hợp các ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE) 18

2.1.3 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) 20 2.2 Phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên 22

2.2.1 Phân bố chính xác (với n hữu hạn) 22

2.2.2 Định lí Wigner và luật bán nguyệt (với n lớn) 24

2.2.3 Luật Tracy Widom 32

2.3 Ma trận hiệp phương sai 34

2.3.1 Luật Marchenko-Pastur 35

2.3.2 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp độc lập cùng phân bố 37

2.3.3 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp không phải độc

lập cùng phân bố 39

2.4 Tích của hai ma trận ngẫu nhiên 43

2.5 Toán tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên 50

2.5.1 Phương pháp ε lưới 50

2.5.2 Phương pháp đối số đối xứng (tùy chọn) 53

2.5.3 Phương pháp tập trung độ đo 56

2.5.4 Phương pháp moment 57

3 Ứng dụng 62 3.1 Trong vật lí 62

3.1.1 Định nghĩa và kết quả liên quan 62

3.1.2 Vật lý hạt nhân 65

3.2 Truyền thông không dây 68

3.2.1 Mô hình kênh 68

3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên 70

3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính 71

3.2.4 Mô hình chung DS-CDMA 74

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu về những ma trận có các phần

tử là các biến ngẫu nhiên (hay nghiên cứu về các biến ngẫu nhiên lấy giá trịtrong không gian các ma trận) Vì vậy, trong chương này chúng tôi trình bàymột số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và ma trận mà sẽ được dùng ởcác chương sau của luận văn

1.1 Kiến thức cơ bản của xác suất

Xét không gian xác suất cơ sở (Ω, F ,P), trong đó:

Ωlà không gian mẫu gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫunhiên Mỗi kết quả w ∈ Ω gọi là một điểm mẫu hay là một biến cố sơ cấp Tacòn có thể gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp

F là σ - đại số (σ - trường) các biến cố Tức F là một họ các tập con của Ω

thỏa mãn 3 điều kiện:

• Ω ∈ F

• Nếu E ∈ F thì Ω \ E = Ec = E ∈ F

• Nếu E 1 , E 2 , ∈ F và E i ∩ E j = ∅(i 6= j) thì S∞

n=1 E n ∈ F

Mỗi tập E ∈ F gọi là biến cố

P là độ đo xác suất xác định trên F Tức là ánh xạ P : F → R thỏa mãn 3

điều kiện sau:

• P(E) ≥ 0 với mọi E ∈ F

• P(Ω) = 1

• Nếu E1, E2, ∈ F và Ei∩ Ej = ∅(i 6= j) thì P(S∞

n=1 En) = P∞

n=1P(En)

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 (Biến ngẫu nhiên) Cho (R, R) là không gian đo được (tập R

được trang bị σ - đại số các tập con của R) Biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong R

(biến ngẫu nhiên R - giá trị) là một ánh xạ X đo được từ không gian mẫu đến

R, tức là một hàm X : Ω → R sao cho X−1(S) là một biến cố với mọi S ∈ R.Chúng ta xét một vài ví dụ về biến ngẫu nhiên:

• Biến ngẫu nhiên rời rạc, trong đó R là tập đếm được và R = 2 R là σ-đại

số rời rạc gồm tất cả các tập con của R Ví dụ điển hình của R là tập conđếm được các số thực hoặc phức Nếu R = {0, 1}, chúng ta nói các biếnngẫu nhiên là Boolean, nếu R = {c} chúng ta nói các biến ngẫu nhiên làtất định

• Các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, trong đóR là đường thẳng thực và R

là σ-đại số Borel, được tạo ra bởi các tập mở của R

• Các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, nhận giá trị trong mặt phẳng phứcvới σ - đại số Borel Khi xét các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, các biến

cố {|X − z| < r} với số phức z và r > 0 (nhỏ) có vai trò quan trọng

• Biến ngẫu nhiên giá trị vector trong không gian vector hữu hạn chiều, cógiá trị trong Rn hoặc Cn với σ-đại số Borel Ta có thể xem biến ngẫu nhiêngiá trị vector X = (X1, , Xn) là biến ngẫu nhiên đồng thời của các biếnngẫu nhiên vô hướng thành phần X1, , Xn

• Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận hoặc ma trận ngẫu nhiên, nhận giátrị trong không gian Mn×p(R) hoặc Mn×p(C) các ma trận có giá trị thựchoặc phức cấp n × p, với σ-đại số Borel, trong đó n, p ≥ 1 là các số nguyên(thường tập trung vào trường hợp n = p) Ta có thể xem biến ngẫu nhiên

có giá trị ma trận X = (Xij)1≤i≤n;1≤j≤p là biến ngẫu nhiên đồng thời củacác biến vô hướng thành phần Xij Có thể áp dụng tất cả các phép toán

ma trận thông thường (ví dụ như tổng, tích, định thức, vết, nghịch đảo,vv) trên ma trận ngẫu nhiên để có được biến ngẫu nhiên mới

Định nghĩa 1.2 (Ký hiệu tiệm cận) Kí hiệu X = O(Y ), Y = Ω(X), X  Y,hoặc Y  X để biểu thị |X| ≤ CY với C không phụ thuộc n và n ≥ C Kí hiệu

X = o(Y ) nếu |X| ≤ c(n)Y với c → 0 khi n → ∞ Nếu X  Y  X thì kí hiệu

X ∼ Y hay X = Θ(Y )

Cho biến cố E = En phụ thuộc vào tham số n, Ta có:

• Biến cố E là chắc chắn (hay đúng) nếu nó bằng biến cố Ω, ∅

• Biến cố E là hầu chắc chắn (hoặc với xác suất đầy đủ) nếu nó xảy ra vớixác suất 1, P(E) = 1

• Biến cốEcó xác suất áp đảo (Overwhelming probabitily) nếu với mọiA > 0

cố định, nó xảy ra với xác suất 1 − OA(n−A) (tức là P(E) ≥ 1 − CAn−A với

CA độc lập với n)

• Biến cố E có xác suất cao (Hight probabitily) nếu có xác suất 1 − O(n−c)

với c > 0 độc lập với n (tức là P(E) ≥ 1 − Cn−c với C độc lập với n)

• Biến cố E là tiệm cận hầu chắc chắn nếu nó có xác suất1 − o(1), do đó xácsuất tiến đến 1 khi n → ∞

1.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản

Với X là biến ngẫu nhiên, chúng ta có một số khái niệm:

• X bị chặn chắc chắn nếu tồn tại M > 0 sao cho |X| ≤ M chắc chắn

• X bị chặn hầu chắc chắn nếu tồn tại M > 0 sao cho |X| ≤ M hầu chắcchắn

• X dưới Gauss (Subgaussian) nếu tồn tại C, c > 0 sao cho P(|X| ≥ λ) ≤

C exp(−cλ2) với mọi λ > 0

• X có đuôi dưới mũ (Sub-exponential tail) nếu tồn tại C, c, a > 0 sao cho

P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλa) với mọi λ > 0

• X có moment cấp k hữu hạn với k ≥ 0 nếu tồn tại C sao cho E|X| k ≤ C

• X khả tích tuyệt đối nếu E|X| < ∞

• X hữu hạn hầu chắc chắn nếu |X| < ∞ hầu chắc chắn

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen [8]) Cho F : R → R là hàm lồi (tức là

F ((1 − t)x + ty) ≥ (1 − t)F (x) + tF (y) với mọi x, y ∈R, 0 ≤ t ≤ 1 ) và X là biếnngẫu nhiên bị chặn giá trị thực Thì EF (X) ≥ F (EX)

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Bernstein trong trường hợp đơn giản nhất [8])Nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập nhận giá trị +1 và −1

với xác suất 1/2, thì với mọi số thực dương ε ta có

P

(

1 n

Sự hội tụ hầu chắc chắn được kí hiệu là: Xn a.s→ X

Hội tụ theo xác suất: Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ theo xácsuất tới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > 0 bất kì

lim

n→∞ P(|Xn− X| > ε) → 0

Sự hội tụ theo xác suất được kí hiệu là: Xn → XP

Trong lí thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính là hội

bố của (Xα)α∈A là độ đo tích của các phân bố thành phần Xα

Một họ (X α )α∈A là độc lập từng cặp nếu (X α , Xβ) là cùng độc lập với mọi

α.β ∈ A phân biệt Tổng quát, (Xα)α∈A là độc lập k-cặp nếu (Xα1, , Xαk0) làcùng độc lập với mọi 1 ≤ k0 ≤ k và mọi α1, , αk0 phân biệt

n)

A Tổ hợp tuyến tính và phương pháp moment

Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên bị chặn:

Phương pháp moment cấp 0 đưa ra giới hạn trên thô khi S khác không,

Bây giờ xét phương pháp moment cấp hai Ta có: E|Sn| 2 =

Bây giờ chúng ta chuyển sang những moment cấp cao hơn Giả sử chuẩn hóa

Xi có trung bình 0, phương sai không quá 1 và độ lớn bị chặn hầu chắc chắnbởi K, |Xi| ≤ K (a.s) Để đơn giản, ta giả sử Xi có giá trị thực, trường hợp giátrị phức là tương tự Giả sử rằng X 1 , , X n là độc lập k-cặp với k là số nguyêndương chẵn Chúng ta tính moment cấp k:

Xij xuất hiện riêng biệt

• Nếu có chính xác k/2 xuất hiện, thì từ giả thiết phương sai đơn vị chúng

ta thấy rằng kỳ vọng có độ lớn tối đa là 1

• Nếu có k/2 − r xuất hiện, thì từ giả thiết phương sai đơn vị và giới hạntrên bởi K chúng ta thấy kỳ vọng có độ lớn tối đa là K2r

Điều này dẫn đến giới hạn trên E|Sn| k ≤

k/2

P

0

K2rNr Với Nr là số cách gán sốnguyên i1, , ik trong {1, , n}, sao cho mỗi ij xuất hiện ít nhất hai lần và cóchính xác k/2 − r số nguyên xuất hiện

ek/2

Khá phức tạp khi chúng ta kiểm soát những moment lớn E|Sn|k Tuy nhiên

có phương pháp Chernof thực hiện dễ dàng hơn thông qua moment lũy thừa:Lấy φ(x) = etx Thì: P(X ≥ a) =P(etX ≥ eta) ≤ EetX

vô hướng độc lập, |Xi| ≤ K hầu chắc chắn với trung bình µi và phương sai σ2i.Thì với mọi λ ≤ 0, có:

P(|S n − µ| ≥ λσ) ≤ C max(exp(−cλ2), exp(−cλσ/K)). (1.10)trong đó C, c > 0, µ :=

phương saiσ2, bất đẳng thức Chernof khẳng định rằngS n tập trung mạnh trongphạm vi nµ + O(σ √

Xi,>N := XiI(|Xi| > N )

khi đó ta chia biến ngẫu nhiên X i thành X i = Xi,≤N + Xi,>N với N là tham sốchặt cụt được tối ưu hóa sau (phụ thuộc n) Tương tự chia Sn = Sn,≤N + Sn,>N,với

Chúng ta sẽ bắt đầu với một ứng dụng của phương pháp này

Định lý 1.5 (Luật yếu số lớn [8]) Cho X 1 , X 2 , là các biến ngẫu nhiên vôhướng độc lập cùng phân bố với X, trong đó X khả tích tuyệt đối Thì Sn/n hội

tụ theo xác suất đến EX

Chứng minh

Bằng cách trừ EX từ X, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng X

có trung bình 0 Chúng ta cần chứng minh: P (|Sn| ≥ nε) = o(1) với mọi ε > 0 cốđịnh

Nếu X có phương sai hữu hạn, thì từ (1.6) có điều cần khẳng định

Nếu X có phương sai vô hạn, chúng ta thực hiện phương pháp chặt cụt nhưsau Chia Xi = Xi,≤N + Xi,>N , Sn = Sn,≤N + Sn,>N (và X = X≤N + X>N) như

ở trên và N lựa chọn sau Biến X≤N là bị chặn và do đó phương sai bị chặn, từcác định lý hội tụ trội chúng ta thấy rằng |EX≤N| ≤ ε/4 nếu N là đủ lớn Từ(1.6), chúng ta kết luận

εδ + o(1), với mọi δ

Định lý 1.7 (Bất đẳng thức tập trung Talagrand [7]) Cho X 1 , , X n là cácbiến phức độc lập với |Xi| ≤ K, K > 0, 1 ≤ i ≤ n Cho F :Cn →R là hàm lồi 1

- Lipschitz Thì với mọi λ ta có:

P(|F (X) −MF (X)| ≥ λK) ≤ C exp(−cλ2). (1.11)và

P(|F (X) −EF (X)| ≥ λK) ≤ C exp(−cλ2). (1.12)với hằng số C, c > 0, MF (X) là trung vị của F (X)

1.2 Các khái niệm cơ bản về ma trận

Ma trận đường chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử ngoài đườngchéo chính bằng 0.

Ma trận đối xứng: là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đườngchéo chính bằng nhau aij = aji, với mọi i, j

Ma trận chuyển vị : là ma trận nhận được bằng cách đổi hàng thành cột vàngược lại Thường kí hiệu ma trận chuyển vị của A là AT

Ma trận trực giao: là ma trận vuông có các phần tử là số thực sao cho matrận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó, ATA = AAT = I

Ma trận phức liên hợp: là ma trận nhận được từ ma trận ban đầu bằng cáchthay phần tử a + ib bởi a − ib Ký hiệu A∗ là ma trận phức liên hợp của A

Ma trận Hermit (ma trận phức đối xứng): là ma trận vuông với các phần tửtrên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéochính là những số phức liên hợp

với λi là giá trị riêng của A Và vết bất biến khi thay đổi cơ sở

Vết của ma trận liên hợp: Cho A là ma trận vuông cấp n × n bất kì, P là

ma trận vuông cấp n × n và khả nghịch Liên hợp của A theo P là P AP−1, khi

đó ta có:

tr(A) = tr(P AP−1).

Một số tính chất khác:

tr(A) = tr(AT) tr(AB) = tr(BA) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) tr(cA) = c.tr(A)

Chương 2

Ma trận ngẫu nhiên

2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất (Ω, F ,P) Xét ma trận vuông M = (Mij)1≤i,j≤n, với

n là số nguyên dương và Mij là các biến ngẫu nhiên xác định trên Ω, nhận giáthực hoặc phức Khi đó M được gọi là ma trận ngẫu nhiên

Có khá nhiều cách phân loại ma trận ngẫu nhiên tuy nhiên cách phân loạidựa theo phân bố của các ma trận được nhiều người quan tâm Chính vì vậychúng tôi lựa chọn cách phân loại đó trong luận văn này Sau đây chúng tôi sẽđưa ra ba lớp ma trận cơ bản được đề xuất bởi Wigner: tập hợp các ma trậntrực giao có phân bố Gauss (Gaussian orthogonal ensemble) (GOE), tập hợpcác ma trận unita có phân bố Gauss (Gaussian unitary ensemble) (GUE) và tậphợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (Gaussian symplectic ensemble)(GSE)

2.1.1 Tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE)

Phân bố Gauss với trung bình µ và phương sai σ2 có hàm mật độ xác suấtđược cho bởi:

ρ(x) = √ 1

2πσ 2 e−

(x − µ)22σ 2

Có nhiều cách khác nhau để nói về GOE Cách thông thường là xét hàm mật

độ xác suất đồng thời của các phần tử trong ma trận

Xét ma trận đối xứng M = (Mij)n×n với Mij là các biến ngẫu nhiên độc lập

có phân bố như sau: các phần tử nằm trên đường chéo chính có phân bố Gauss

với trung bình 0 và phương sai 1:

−M 2

ij /2 i = j 1

Công thức (2.3) đưa ra hàm mật độ xác suất của các ma trận trong GOE

Do tính đối xứng của ma trận M nên ta có :

tr(M2) = (M2) 11 + (M2) 22 + (M2) 33 + (M2) 44 +

= (M112 + M122 + M132 + M142 + ) + (M122 + M222 + M232 + M242 + ) + (M132 + M232 + M332 + M342 + ) (2.4)

+ (M142 + M242 + M342 + M442 + ) +

với (M2)ij là phần tử nằm trên hàng i, cột j của ma trận M2.

Vì vậy, (2.3) có thể viết dưới dạng sau:

Bất biến dưới biến đổi trực giao

Xét ma trận M và chọn M0 là biến đổi tuyến tính:

biến đổi có nghĩa khi nghịch đảo của ma trận T tồn tại

Nếu T trong (2.6) là ma trận trực giao, OTO = OOT = I, thì:

Do tr(AB) = tr(BA) nên ta có

tr((OTM O)2) = tr(OTM OOTM O) = tr(OTM2O) = tr(M2OOT) = tr(M2). (2.8)Suy ra

và phân bố của nó bất biến dưới phép biến đổi trực giao

2.1.2 Tập hợp các ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE)

Xét ma trận ngẫu nhiên Hermit M = (Mij)n×n với các phần tử là các biếnngẫu nhiên độc lập nhận giá trị phức có dạng

−2|M ij | 2

, i < j.

Do tính liên hợp của các phần tử ở hai bên đường chéo chính nên ma trận

là hoàn toàn xác định khi ta biết phân bố của các phần tử ở nửa trên của matrận kể từ đường chéo chính Do các phần tử của ma trận là độc lập nên hàmmật độ đồng thời là tích các hàm mật độ thành phần

Bất biến dưới biến đổi Unita

Xét ma trận M0 = U+M U với U+ = (U∗)T Trong trường hợp U là ma trậnunita, U U+ = U+U = I, ta có

2.1.3 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE)

Định nghĩa 2.1 Quaternion q được xác định bởi:

Ma trận Q là tự đối ngẫu nếu như Q = Q+

Nhóm đối xứng Sp(n) là tập các ma trận Quaternion cấp n × n sao cho:

SS+ = S+S = I.

Định nghĩa 2.2 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) là tậpcác ma trận Quaternion tự đối ngẫu Q = (qjk)n×n có các phần tử là biến ngẫunhiên chuẩn độc lập có hàm mật độ xác suất

1 với các ma trận thuộc GOE

2 với các ma trận thuộc GUE

4 với các ma trận thuộc GSE

thì hàm mật độ xác suất của ma trận ngẫu nhiên thuộc 3 tập hợp kể trên códạng

2.2 Phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên

Trong phần trước chúng ta đã biết phân bố của các ma trận ngẫu nhiênthuộc Gβn− Gauss có dạng (2.9) nên các phân bố này chỉ phụ thuộc vào các giátrị riêng của ma trận Do đó mối quan tâm đặc biệt của RMT là dáng điệu ngẫunhiên của phân bố các giá trị riêng và cực biên của các giá trị riêng có phân bốnhư thế nào Sau đây, chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu phân bố chính xác của các giátrị riêng khi kích thước ma trận nhỏ và phân bố giới hạn các giá trị riêng của

ma trận khi kích thước tiến tới vô cùng (luật bán nguyệt) cùng với việc đưa raphân bố của giá trị riêng lớn nhất theo luật Tracy - Widom

2.2.1 Phân bố chính xác (với n hữu hạn)

Định lý 2.1 [6] Giả sử M ∈ Gβn− Gauss thì phân bố các giá trị riêng của M là:

Viết ma trận (Hermit) M bởi M = U ΛU∗ với Λ là ma trận đường chéo và U

là ma trận trực giao; các cột của U là vecto riêng của M

Cho F : U (n) ×Rn → Gβn được cho bởi F (U, Λ) = U Λ∗U; thì trên mọi điểm M

với giá trị riêng phân biệt, cấu trúc của F là Tn× Sn Đặc biệt, chúng ta có thểđịnh nghĩa đẳng cấu địa phương F : (U (n)/Tn) × (Rn/Sn) → Gβn

Bổ đề 2.1 [4] Tập hợp các ma trận Hermit cấp n × n với các giá trị riêng phânbiệt là mở, trù mật và có độ đo đầy đủ

Lấy λi, , λn, ρ1, ρn2 −n là tham số địa phương trên (Rn/Sn) × (U (n)/Tn).Chúng ta có thể tính Jacobian: det ∂Mij

∂λα ,

∂Mij

∂ρβ

Chuẩn hóa và viết M như phần tử của Rn2 Đặt

Do đó, biến đổi

LU :Rn2 →Rn2, LU(y) = φ(U∗φ−1(y)U )

là đẳng cự (vì sự liên hợp bởi ma trận unita bảo toàn vết) tức là, det LU = 1).Chúng ta sẽ tính det

0 Re(S1)12(λ2− λ1) Im(S1)12(λ2− λ1) Re(S1)13(λ3− λ1)

0 Re(S2)12(λ2− λ1) Im(S2)12(λ2− λ1) Re(S2)13(λ3− λ1)

Kết hợp với ρβ đưa ra hàm mật độ giá trị riêng của GUE là:

2.2.2 Định lí Wigner và luật bán nguyệt (với n lớn)

Chúng ta xét giới hạn phân bố xác suất giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiênWigner M cấp n × n khi n tiến đến vô cùng

A Trường hợp ma trận Wigner thực:

Định nghĩa 2.3 ([2], p.6) Cho {Zij}1≤i<j và {Yi}1≤i là hai họ biến ngẫu nhiêngiá trị thực độc lập cùng phân bố trung bình 0 sao cho EZ122 = 1, với mọi sốnguyên k ≥ 1,

rk := max E|Z12k |, E|Y1k|
< ∞ (2.12)thì ma trận Wigner là ma trận có dạng:

Cho M là ma trận Hermit ngẫu nhiên cấp n × n và λ1 ≤ ≤ λn là các giátrị riêng của M Thì moment cấpk của FM :

Phân bố giới hạn phổ (Limiting spectral distribution) (LSD) ([3], p.10)

Để chứng minh FM tiến tới giới hạn F nào đó ta thường sử dụng định lý hội

tụ moment (Moment convergency theorem) (MCT), nghĩa là:

Định nghĩa 2.6 ([2], p.7) Phân bố (luật) bán nguyệt (Semicircular distribution)

là phân bố µsc(x)dx trên R với mật độ:

Định lý 2.2 ([2], p.7) Với ma trận Wigner, phân bố thực nghiệm hội tụ yếu,theo xác suất đến phân bố bán nguyệt Hay với mọi hàm liên tục và bị chặn

f ∈ Cb(R)

P(| FM, f− µsc, f| > ε) → 0

khi n → ∞

Chứng minh Để chứng minh ta sử dụng định lý hội tụ moment, dựa trên hai

bổ đề: Thứ nhất, khẳng định rằng moment F M hội tụ đến moment µsc, thứ haikhẳng định moment FM hội tụ theo xác suất đến moment FM

Bổ đề 2.3 ([2], p.11) Khi n → ∞, với mọi k ≥ 0 ta có:

Chúng ta cần khẳng định với mọi δ > 0 tồn tại đa thức Q và số nguyên n0

sao cho ba số hạng trên nhỏ hơn δ với mọi n ≥ n0 Với đa thức Q số hạng thứnhất và số hạng thứ hai tiến đến 0khin → ∞ do sử dụng kết quả của bồ đề 2.3,2.4 tương ứng

Để chứng minh số hạng thứ ba tiến đến không, chúng ta sử dụng định lí xấp

xỉ Weiertrass: Cho φ : [a, b] → R là hàm liên tục Khi đó với mọi > 0 đều có đathức P (x) thỏa mãn:

Cho A = max{|ak|}

Chú ý rằng µsc có giá trên [−2; 2] nên |µsc, f − Q| ≤ ε/8 < ε/4 Do đó cầnchứng minh: với mọi δ > 0, tồn tại n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì

P(| FM, f − Q| > ε/4) ≤ δ (2.16)Chú ý rằng,

k

( F M , x2k≤ 4 k [2]) Với mọi số nguyên k ≥ 0 và n ≥ n0(k)

Do Tk là dãy tăng Với δ > 0 dễ dàng tìm được L ≥ K sao cho:

Hình 2.2: Biểu đồ giá trị riêng của ma trận đối xứng cấp n × n (bên trái n = 1000 và bên phải là n = 25000) với các phần tử độc lập và có phân bố N (0, 1)

Bổ đề 2.5 (Hoffman-Wielandt [2], p.21) Cho A, B là ma trận đối xứng cấp

n × n, với các giá trị riêng λA1 ≤ λA2 ≤ ≤ λAn và λB1 ≤ λB2 ≤ ≤ λBn thì:

nM ij |≥C ] hội tụ đều đến 0 theo n, i, j, khi C hội tụ đến vô cùng

Do đó ta có thể lựa chọn ε đủ lớn C sao cho P(|Wn| > ε) < ε Hơn nữa, cho :

với FMˆ là ESD của Mˆ và bất đẳng thức Jensen sử dụng trong bất đẳng thứcthứ 2 Điều này kết hợp với sự hội tụ yếu theo xác suất của FMˆ đối với luật bánnguyệt trong Định lý 2.2, ta có điều cần chứng minh.

3

Định lý 2.4 (Giá trị riêng lớn nhất [2], p.23) Cho ma trận Wigner M thỏamãn rk ≤ k Ck với hằng số C và mọi số nguyên dương k Khi đó ta có λnn hội tụđến 2 theo xác suất

EZ122 = 0, E|Z 12 |2= 1 và với mọi số nguyên k ≥ 1,

rk := max E|Z12k |, E|Y1k|

Như trước, kí hiệu λ i là giá trị riêng (thực) củaM với λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n Ta

có phân bố thực nghiệm các giá trị riêng của ma trận M là:

FM(x) = 1

n#{k ≤, λk ≤ x}

Định lý 2.5 ([2], p.36) Với ma trận Wigner Hermit, phân bố thực nghiệm hội

tụ yếu, theo xác suất đến luật bán nguyệt

Để chứng minh ta cũng dựa vào hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.7 ([2], p.36) Khi n → ∞, với mọi k ≥ 0 ta có:

Hình 2.3: Sự biểu diễn phân bố các giá trị riêng khi n → ∞ theo luật bán nguyệt.

2.2.3 Luật Tracy Widom

Theo định lý Wigner ta có phân bố thực nghiệm của giá trị riêng tiến đếnluật bán nguyệt khi n lớn Từ hình vẽ 2.3 ta thấy λmax≤ 2√n Vậy λmax sẽ daođộng như thế nào khi n → ∞ (hay có phân bố ra sao)? Để giải quyết vấn đề nàyhai nhà toán học Tracy và Widom đã đưa ra dao động đặc trưng cho λmax nhưsau:

|λmax− 2√n| ∼ n−1/6

Hình 2.4: Sự biểu diễn phân bố giá trị riêng lớn nhất theo luật Tracy - Widom.

Tracy-Widom (2000a) đã chứng minh rằng:

Định lý 2.6 ([5], p.39) Với λmax là giá trị riêng lớn nhất của ma trận thuộc

với q là lời giải của phương trình Painlevé:

có điều kiện biên : q(x) ∼ Ai(x), x → ∞

(q(x) ∼ Ai(x) có nghĩa là lim

x→∞

q(x) Ai(x))Với Ai(x) là hàm Airy

q(x)dx
(F2(t))1/2 (2.23)

F 4 (t) = cosh 1

2

Z ∞ t

q(x)dx
(F2(t))1/2 (2.24)Mật độ xác suất tương ứng cho bởi:

fβ = d

dtFβ(t).

Kết quả được cho bởi hình sau [5]:

Hình 2.5: Phân bố Tracy-Widom với β = 1, 2, 4

2.3 Ma trận hiệp phương sai

Trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, khi làm việc với ma trận hiệp phươngsai, các nhà toán học có mong muốn đưa ra một phân bố có tính tổng quát nhưluật bán nguyệt cho phân bố thực nghiệm của ma trận hiệp phương sai khi cỡmẫu lớn Chính vì vậy, vào năm 1967 hai nhà toán học Vladimir Marchenko vàLeonid Pastur đã đưa ra luật Marchenko - Pastur để biểu diễn giới hạn phân bốthực nghiệm của ma trận hiệp phương sai

Giả sử {xjk, j, k = 1, 2, } là mảng hai chiều của biến ngẫu nhiên phức độclập cùng phân bố với trung bình không và phương saiσ2 Viết xk = (x1k, , xpk)0

và X= (x1, ,xn) Ma trận hiệp phương sai mẫu được cho bởi:

Tuy nhiên trong phân tích phổ, ma trận hiệp phương sai mẫu được đơn giản:

S= 1n

 

k − 1 r



yr

Chứng minh Từ định nghĩa ta có:

(1 + y)k−1−l

2 √ y

 

k − 1 r

biến đổi Stieltjes của µ là:

Chứng minh của định lí dựa trên hai bổ đề sau:

Bây giờ chúng ta phác thảo chứng minh định lí 2.7.

Cho C là số dương, định nghĩa:

Moment cấp h của của FS là:



h − 1 r

(Chứng minh hai điều trên thuộc lĩnh vực lí thuyết đồ thị nên tôi không đưa ra

ở đây Để rõ hơn xem trong [3].)

Vậy do định lý hội tụ moment ta có điều phải chứng minh

(2.32), chúng ta có thể tái kiểm soát và thay đổi tỉ lệ các biến chặt cụt Tiếptục giả sử rằng:

1)|x ij | < η n

√ n 2)E(xij) = 0, Var(xij) = 1

Như trong chứng minh của định lý 2.7, ta có thể thấy hai khẳng định sau đây:



h − 1 r

np(XX

∗ − nσ2I p )

Định lý 2.10 ([3], p.623) Giả sử với mỗi n các phần tử của ma trận X là biếnngẫu nhiên phức độc lập với trung bình chung và phương sai σ2 Giả sử rằng vớimọi hằng số η > 0, khi p → ∞ với p/n → 0,

1

pη 2 √ np

Bổ đề 2.13 (Bất đẳng thức hạng [3], p.614) Cho A, B là hai ma trận Hermitcấp n × n, thì:

||FA − FB|| ≤ 1

nrank(A − B)

Bổ đề 2.14 (Bất đẳng thức sai phân [3], p.614) Cho A, B là hai ma trận phứccấp n × n với các giá trị riêng phức λ1, , λn và η1, , ηn, tương ứng Thì:

với L(F, G) là khoảng cách Levy giữa hàm phân bố F và G

Chứng minh của định lí 2.10 dựa trên những điều sau đây Áp dụng bổ đề2.11, chúng ta giả sử trung bình là không Chặt cụt các phần tử của X tại

Áp dụng bổ đề 2.12 có:

1 p

Vấn đề tiếp theo là cần phải loại bỏ phần tử đường chéo của W Viết yl = I

Ma trận Hermit (ma trận phức đối xứng): ma trận vng với... 0.

Ma trận đối xứng: ma trận vng có cặp phần tử đối xứng qua đườngchéo aij = aji, với i, j

Ma trận. .. Quaternion q xác định bởi:

Ma trận Q tự đối ngẫu Q = Q+

Nhóm đối xứng Sp(n) tập ma trận