dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

N guyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.

Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

N guyễn Lê Toàn Nhật Linh

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS TS Đặng Đức Trọng Thầy

đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn em thực hiện luận văn Có ai

đó đã nói rằng: “ép một người uống nước không bằng làm cho người đó khát”, chính những lần seminar, những vấn đề và những câu hỏi thầy đặt ra

đã làm em khát thật sự Điều này tiếp thêm động lực cho em, một học viên chuyên ngành giải tích, bước đầu tiếp xúc với toán thống kê có thể từng bước thực hiện và hoàn thành đề tài

Em xin gửi lời cảm ơn đến TS Chu Đức Khánh, TS Đinh Ngọc Thanh, hai thầy đã tạo điều kiện và góp nhiều ý kiến quý báo trong quá trình em thực hiện luận văn Em cũng xin cảm ơn anh Dương Thanh Phong, bạn Cao Thị Hồng Nhung và các anh chị trong nhóm seminar đã trao đổi với em về đề tài này

Em cảm ơn các thầy trong Khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm

TPHCM, đã tận tình giảng dạy chúng em, cùng các thầy cô Phòng Sau đại học đã tạo điều kiện cho chúng em trong hai năm học Cao học vừa qua Con xin gửi những tình cảm thân thương nhất đến ba mẹ Ba mẹ luôn quan tâm và dõi theo sự trưởng thành của con Ba mẹ là bến đổ bình yên nhất trong những lần con gặp khó khăn Ba mẹ là điểm tựa vững chắc nhất để con tiếp tục cố gắng Con thương ba mẹ nhiều lắm

Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh

LỜI CẢM ƠN

PHẦN MỞ ĐẦU

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

1.1 Thống kê 1

1.2 Jacobians của phép biến đổi trong m  4

1.3 Giải tích phức 7

1.4 Quá trình ngẫu nhiên 16

Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE 29

2.1 Phân phối của định thức ma trận Laguerre 29

2.1.1 Ma trận Laguerre 29

2.1.2 Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre 30

2.1.3 Phân phối của định thức ma trận Laguerre 32

2.2 Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre 33

Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI 52

3.1 Phân phối của định thức ma trận Jacobi 52

3.1.1 Ma trận Jacobi 52

3.1.2 Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Jacobi 57

3.1.3 Phân phối của định thức ma trận Jacobi 58

3.2 Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Jacobi 59 KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lý do chọn đề tài

Ma trận ngẫu nhiên xuất hiện đầu tiên trong toán thống kê bởi hai nhà toán học Hsu và Wishart Nhiều tính chất của một số ma trận ngẫu nhiên đã được Wigner nghiên cứu trong những năm 1950 đặt trong mối liên hệ với vật

lý hạt nhân

Trong thống kê nhiều chiều, các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi

là các ma trận đối xứng nảy sinh trong quá trình thao tác trên mẫu ngẫu nhiên (xây dựng các ước lượng, kiểm định…) Một cách cụ thể, ma trận ngẫu nhiên Laguerre liên quan đến ma trận hiệp phương sai mẫu, trong khi ma trận ngẫu nhiên Jacobi phát sinh trong phân tích phương sai nhiều chiều Định thức của các ma trận trên đã được Muirhead, Anderson và nhiều nhà toán học khác sử dụng để xây dựng nhiều kiểm định trong thống kê Gần đây, sự phát triển các lý thuyết và ứng dụng của ma trận ngẫu nhiên mở ra yêu cầu nghiên cứu tiệm cận của định thức các ma trận này

Được sự hướng dẫn của GS TS Đặng Đức Trọng và dựa trên bài báo [13], chúng tôi nghiên cứu, tìm hiểu đề tài:

“DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN”

số ước lượng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi

• Thu thập các bài báo khoa hoc, các tài liệu có liên quan đến đề tài

• Nghiên cứu tài liệu, ghi chép các kiến thức liên quan đến đề tài

• Tổng hợp kiến thức, chọn nội dung viết báo cáo

4 Bố cục luận văn

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này cung cấp một số kiến thức về thống kê cơ bản, Jacobians của phép biến đổi trong m

 , giải tích phức và quá trình ngẫu nhiên Đây là các kiến thức được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu các kết quả chính của đề tài

Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Thống kê (xem [2], [11])

1.1.1 Phân phối chuẩn

Cho không gian xác xuất Ω F, , P

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn  2

N µ σ σ  nếu hàm mật độ của nó cho bởi

2 2

1exp

22

1

2

p p

f x x  π  Σ  xµ Σ x µ 

1, , p

x x x

Định lý 1.1.1.1 ([2]-tr 30) Cho véctơ ngẫu nhiên p chiều X có phân phối

chuẩn Nµ,Σ  và ma trận D cấp q p  với rankD q p   Khi đó biến ngẫu nhiên DX sẽ có phân phối chuẩn  '

,

N Dµ D DΣ

Định lý 1.1.1.2 ([11]-tr 82) Cho X là ma trận ngẫu nhiên cấp nm thỏa các véctơ cột của X là độc lập và có cùng phân phối chuẩn N0,I n Nếu

n  thì m P X Θm n,  trong đó 1 Θ m n, là tập các ma trận cấp nm có hạng bằng m

1.1 2 Phân phối Gamma

Cho không gian xác xuất Ω F, , P

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Gamma với cặp tham số α β,  (kí hiệuX Gammaα β, ) nếu hàm mật độ của nó cho bởi

Γ



1.1 3 Phân phối Beta

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Beta với cặp tham số α β,  (kí hiệu

1.1 4 Phân phối của ma trận ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.4.1 Cho không gian xác xuất Ω F, , P Một ma trận ngẫu nhiên X cấp p q ứng với không gian xác xuất Ω F, , P là một ma trận mà mỗi thành phần là một biến ngẫu nhiên trên không gian xác xuất này

Định nghĩa 1.1.4.2 Cho ma trận ngẫu nhiên X  X ij cấp p q Phân phối

của ma trận ngẫu nhiên X là phân phối của véctơ ngẫu nhiên pq chiều sau

X chính là phân phối của véctơ ngẫu nhiên  1

Nếu ma trận ngẫu nhiên X là phản đối xứng cấp p p  thì phân phối của X

chính là phân phối của véctơ ngẫu nhiên  1

1.1.4.1 Phân phối Wishart

Nếu một ma trận ngẫu nhiên đối xứng W cấp p p mà có sự phân tích

' 1

trong đó n p và X1, ,X n độc lập và có cùng phân phối chuẩn N p 0,Σ

thì ma trận ngẫu nhiên W gọi là có phân phối Wishart bậc tự do n với tham

/2

1

22

2

n p

n np

1.2 Jacobians của phép biến đổi trong m

J x→y người ta đưa ra định nghĩa tích ngoài " " cho các đại lượng vi phân

Định nghĩa 1.2.1.2 Tích ngoài " " là phép tính trên các đại lượng vi phân thỏa mãn các tính chất:

1 1

1

1 1

m m

1.2.3 Jacobians của một số biến đổi thường gặp

Trước khi xác định Jacobians của một số biến đổi thường gặp ta có một số quy ước sau:

Nếu X  x ij là ma trận biến cấp n m× thì ta xem X là vectơ trong mn

Định lý 1.2.3.1 Nếu X BY ở đó X và Y là ma trận biến cấp nm , B là

ma trận hằng cấp nn không suy biến thì

  dX  detB  m dY

Tức là J X Y  detBm

Định lý 1.2.3.2 Nếu X BYC ở đó X và Y là ma trận biến cấp nm , B

và C lần lượt là ma trận hằng không suy biến cấp nn và mm thì

  dX  detB m detC  n dY

Tức là J X Y  detB m detCn

Định lý 1.2.3.3 Nếu X BYB' ở đó X và Y là ma trận biến đối xứng cấp

mm , B là ma trận hằng không suy biến cấp mm thì

     1

dX  B  dY Tức là     1

det m

J X Y  B 

Định lý 1.2.3.5 Cho hai ma trận biến , X Y cấp mm Nếu 1



Định lý 1.2.3.7 Cho Z là ma trận biến cấp nm với nm, rankZ  và m

Z được viết dưới dạng Z H T1 ( H 1 là ma trận biến cấp n m  thỏa 

'

1 1 m

H H I , T là ma trận biến tam giác trên cấp m m  với các phần tử trên 

đường chéo chính dương) Đặt H2n n m  sao cho H H1:H2 là ma trận biến trực giao Khi đó

     ' 

1 1 1

,

m

n i ii i

Hàm Gamma được định nghĩa đầu tiên bởi Euler Sau đó nhiều nhà toán học

đã phát triển và tìm ra nhiều cách định nghĩa khác nhau cho hàm Gamma

Định nghĩa 1.3.1.1

  lim   ! , 0, 1, 2,

1

Z n

1 Hàm Gamma giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ các điểm

0, 1, 2, − − các điểm này là các cực điểm đơn của hàm Gamma

m m m

1 1

212

mn m m  chiều trong không gian Euclide mn



Chứng minh

Gọi Z là ma trận ngẫu nhiên cấp nm với n m  mà các phần tử của Z là

độc lập và có cùng luật phân phối N 0,1 Khi đó hàm mật độ của Z là

m

n i ii i

2

1 /2 2

 

,

/2 '

1 1

212

1.3.3 Phép biến đổi Mellin (xem [12])

Định nghĩa 1.3.3.1 Cho hàm f x   khả tích địa phương trên 0, Khi đó 

biến đổi Mellin của hàm f được kí hiệu là Μ f s, và xác định bởi

f x

ε ε

Định nghĩa 1.3.3.2 Một hàm f x   khả tích địa phương trên 0, và có 

biến đổi Mellin Μ f s, giải tích trên miền aRes Khi đó biến đổi Mellin b

ngược cho bởi

  1   , , 

2

c i s

a a ở đó a1  a2  Khi đó ta có thể chọn một dãy các đường tròn C m

tâm tại O và bán kính R sao cho m C m không đi qua bất kì cực điểm nào và

ii) f giải tích trên  bỏ đi các cực điểm

iii) Gọi M M1, 2, là dãy các chặn trên của f trên C C1, 2, thì dãy

 M i i bị chặn trên

Gọi b b1, 2, là các thặng dư của f tại các cực điểm tương ứng a a1, 2, Nếu

x không là cực điểm của f thì ta có

   

1

(1)2

2 2 2 1

2 2 1

Do đó

  2 2 2

1

24

1.4 Quá trình ngẫu nhiên (xem [3], [6], [7], [10], [14], [15])

1.4.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.4.1.1 Cho không gian xác xuất Ω F, , P, F = Ft t0 là một

lớp các σ - đại số con của F F gọi là một bộ lọc nếu Fs Ft, st và

s t



F F

Định nghĩa 1.4.1.2 Cho không gian xác xuất Ω F, , P Lớp các ánh xạ

 X t t0 với X t :Ω  gọi là một quá trình

Một quá trình có thể kí hiệu theo  X t t0; X t t ,  , hoặc X nếu không có 0

Định nghĩa 1.4.1.5 Quá trình  X t t0 gọi là quá trình càdlàg (quá trình càg)

nếu với mỗi ω thì Ω t  X t ω là một hàm càdlàg (hàm càg)

Định nghĩa 1.4.1.6 Quá trình X gọi là tương thích với bộ lọc F  F t t0

nếu với mọi t thì 0 X là t F - đo được t

Định nghĩa 1.4.1.7 Cho  X t t0 là một quá trình và ánh xạ :T Ω  

Quá trình bị dừng tại T là quá trình mà ta kí hiệu là T

X xác định bởi

T

t T t

X  X  trong đó T t inf T t,

Định nghĩa 1.4.1.8 Cho không gian xác xuất Ω F, , P và bộ lọc  Ft t0

Thời điểm dừng là một ánh xạ : T Ω  thỏa  T  t Ft, t 0

Khi T là một thời điểm dừng ta kí hiệu F là tập hợp các tập AT F sao cho

A T t F  t

Định nghĩa 1.4.1.9 Cho C là một lớp các quá trình, ta kí hiệu C là lớp các loc

quá trình X thỏa: X  C nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy tăng các thời điểm loc

dừng  T n thỏa limT n   hầu chắc chắn sao cho quá trình T n

X  C Ta gọi

loc

C là lớp các quá trình bị địa phương hóa

Định nghĩa 1.4.1.10 Cho không gian xác xuất Ω F, , P và bộ lọc  Ft Một quá trình X gọi là martingale nếu X là một quá trình càdlàg, tương thích, X t

khả tích và với s t thì ΕX t Fs X s

Kí hiệu M là tập hợp các martingale

X là một martingale địa phương nếu X  M loc

Định lý 1.4.1.1 ([7]-tr 42) Bất kỳ một martingale địa phương M nào đều

được phân tích duy nhất dưới dạng 0 c d

Định nghĩa 1.4.1.11 Ta kí hiệu L là tập hợp các martingale địa phương M

 sup này lấy theo các phân hoạch của đoạn  0,t )

Một quá trình X gọi là semimartingale nếu có phân tích X  X0  M A

trong đó X là giá trị hữu hạn và F đo được, M  L và A  V

Một quá trình X gọi là semimartingale đặc biệt nếu nó là một

semimartingale và sự phân tích như trên là duy nhất

Định lý 1.4.1.2 ([7]-tr 45) Cho X là một semimartingale Khi đó có duy

nhất martingale địa phương liên tục c

X với X0c  sao cho bất kỳ sự phân tích 0

0

X X  M A (như trong định nghĩa 4.1.11) ta đều có c c

M  X

c

X như trong định lý gọi là phần martingale liên tục của X

1.4.2 Độ đo ngẫu nhiên (xem [7])

Định nghĩa 1.4.2.1 Cho hai không gian đo được A,A và B,B Phép 

biến đổi hạt nhân từ A,A vào  B,B kí hiệu là  αa db,  là một họ

 

α a, :a A những độ đo dương trên B,B sao cho α .,C là A - đo được với mỗi C  B

Định nghĩa 1.4.2.2 Gọi R và R là các σ - đại số Borel trên   và  

Một độ đo ngẫu nhiên trên  là một họ µ µ ω ;dt dx, :ωΩ những

độ đo không âm trên  R, R thỏa  µ ω ; 0   0

Định nghĩa 1.4.2.3 Đặt Ω Ω  trên đó ta xét hai σ - đại số

  

O O R và  P P R với O và P lần lượt là σ - đại số trên Ω sinh bởi tập tất cả các quá trình càdlàg và tập các quá trình càg

Cho hàm W trên  Ω là O đo được

Gọi µ là độ đo ngẫu nhiên trên  Khi đó ta có định nghĩa quá trình tích phân W  như sau: µ

Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn µ trên  gọi là khả tích nếu biến ngẫu nhiên 1* m m., E là khả tích

Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn µ trên  gọi là P -σ - hữu hạn nếu tồn tại hàm V trên Ω là dương và  P đo được sao cho biến ngẫu nhiên Vµ

là khả tích

Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn P -σ - hữu hạn µ cho trước sẽ tồn tại một

độ đo ngẫu nhiên µp mà ta gọi là cái bù của µ µp được mô tả như là một độ

đo ngẫu nhiên dự báo thỏa mãn  p  

Ε   Ε   với mọi hàm P- đo được không âm trên Ω

1.4.3 Đặc trưng của semimartingale (xem [7])

Đặc trưng của semimartingale được xây dựng gắn liền với lớp các hàm chặt

cụt (truncation function)

Định nghĩa 1.4.3.1 Lớp hàm chặt cụt kí hiệu là C là lớp các hàm t

:

h  bị chặn và h x x trong một lân cận nào đó của 0

Với một semimartingale X và một hàm chặt cụt h cho trước, ta xét quá trình bước nhảy tương ứng X∆ xác định bởi

ở công thức trên εa là độ đo Dirac tại điểm a

Định lý 1.4.3.1 ([7]-tr 97) Cho  Z k k1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Với mỗi n   ta đặt

1

nt n

Y ứng với hàm chặt cụt h xác định bởi

 1

0

nt n

k n t

1.4 4 Đặc trưng của quá trình Levi

Định nghĩa 1.4.4.1 Một biến ngẫu nhiên X gọi là chia được vô hạn nếu với

mọi n  tồn tại n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối X1 n, ,X n n sao cho

Định lý 1.4.4.1 Một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thì nó là biến ngẫu

nhiên chia được vô hạn

Định nghĩa 1.4.4.2 Cho v là một độ đo Borel trên  Ta nói v là độ đo Levy nếu nó thỏa các điều kiện

Biến ngẫu nhiên X là chia được vô hạn nếu và chỉ nếu với mỗi hàm chặt cụt

h , tồn tại bộ ba b c v , , với b   , c   và  v là độ đo Levy thỏa mãn

Định nghĩa 1.4.4.3 Một quá trình X gọi là có số gia độc lập nếu với mọi

n  và 0   thi các biến ngẫu nhiên t0 t n 0, 1 0, , 1

Định nghĩa 1.4.4.4 Một quá trình X gọi là có số gia dừng nếu với mọi

0  thì phân phối của s t X tX s trùng với phân phối của X t s

Định nghĩa 1.4.4.5 Một quá trình X gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu với mọi

0

t , ε ta có 0 lim P s t  0

   

Định nghĩa 1.4.4.5 Một quá trình X gọi là quá trình Levy nếu nó là quá

trình có số gia độc lập, có số gia dừng và liên tục ngẫu nhiên

Định lý 1.4.4.3 Cho X là quá trình Levy khi đó với mọi t  thì 0 X t là biến ngẫu nhiên chia được vô hạn

Định nghĩa 1.4.4.6 Cho quá trình Levy X , gọi b c v t, ,t t là đặc trưng của biến ngẫu nhiên X t ứng với hàm cụt h Ta định nghĩa đặc trưng của quá trình

Levy X ứng với hàm cụt h là bộ ba B C v tr, ,  ong đó B và C là quá trình xác

định bởi B t  và b t C t  còn c t v là độ đo ngẫu nhiên trên  thỏa

 

0, ,  t 

v t dx v dx

1.4.5 Sự hội tụ yếu của dãy các quá trình càdlàg (xem [7], [10])

1.4.5.1 Sự hội tụ yếu của dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Polish

Định nghĩa 1.4.5.1.1 Một không gian metric E đầy đủ và khả li thì được

gọi là không gian Polish

Định nghĩa 1.4.5.1.2 Với không gian Polish E ta gọi B là σ - đại số

Borel trên E Cho Pn n1, 2,  và P là các độ đo xác xuất trên B Ta nói dãy  Pn hội tụ yếu về P khi n  nếu với mọi hàm :f E  liên tục

Định nghĩa 1.4.5.1.3 Cho không gian Polish E với B là σ - đại số Borel

tương ứng trên nó Một tập Φ các độ đo xác xuất trên E,B  gọi là chặt (tight) nếu với mọi ε , tồn tại tập compact K E0  sao cho µE K\  ε

Định nghĩa 1.4.5.1.5 Cho  X n và X là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Polish E Ta nói dãy biến ngẫu nhiên  X n là chặt (tight) nếu dãy các phân phối tương ứng là một tập chặt

Định nghĩa 1.4.5.1.6 Cho  X n và X là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Polish E Ta nói dãy biến ngẫu nhiên X n hội tụ yếu đến

biến ngẫu nhiên X khi n  nếu F X n F X

Kí hiệu X n hay X L  X n L  X

1.4.5.2 Sự hội tụ yếu của dãy các quá trình càdlàg

Ta gọi D I là không gian các hàm càdlàg từ I vào  , tập I có thể là

khoảng mở, khoảng đóng, khoảng nửa mở trong  Trong mục này ta sẽ xây dựng các khái niệm ứng với I  0, 

Gọi Λ là tập hợp tất cả các hàm liên tục và tăng ngặt :λ  sao cho λ 0  và 0 λ t   khi t 

Ta có trên D 0, tồn tại một tôpô mêtric (tôpô Skorokhod) sao cho D0,

là một không gian Polish Đặc trưng của D0, với tôpô Skorokhod là một dãy  x n D0, hội tụ theo tôpô này đến xD0, nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy  λn  sao cho Λ

Định lý 1.4.5.2.1 ([7]-tr 350) Cho X n t t,  là dãy các quá trình 0

càd làg Khi đó, X n  nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây thỏa: X

i Điều kiện Lindeberg,

1 n

n k

Khi đó dãy  n

n

k k

ξ χ xác định tốt ngoài ra ta lại có a) Nếu L  ξn µ thì µ là độ đo Gauss trên  ,

b) Để mà L  ξn  N a b , thì cần và đủ là

 n k k

Định lý 1.4.6.2 ([7]-tr 446) Cho h là một hàm chặt cụt Giả sử X là quá

trình liên tục với số gia độc lập và có đặc trưng là bộ ba B C v , ,  trong đó v là

1.4.7 Tích phân Itô (xem [14])

Định nghĩa 1.4.7.1 Cho không gian xác xuất Ω F, , P Một quá trình

 X t t0 gọi là quá trình ngẫu nhiên nếu   thì t 0 X t là một biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.7.2 Một quá trình ngẫu nhiên B t ,t  gọi là một chuyển 0

động Brown nếu các điều sau đây thỏa:

i B 0  , 0

ii B t ,t là quá trình liên tục và có số gia độc lập, 0

iii Với mọi 0 s t  ta có B t B s  là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình và phương sai cho bởi

i Với mọi 0 s t  thì F s F t ,

ii Với mọi t thì 0 B t là   F t - đo được,

iii Với mọi 0 s t  thì biến ngẫu nhiên B t B s  độc lập với F s

1.4.7.1 Tích phân Itô cho quá trình đơn giản

Cho không gian xác xuất Ω F, , P và B t ,t là chuyển động Brown 0với bộ lọc F t ,t0

Giả sử f t ,t 0,T là quá trình đơn giản thích nghi với bộ lọc

Kí hiệu:      

0

t

I t  f u dB u

1.4.7.2 Tích phân Itô cho quá trình ngẫu nhiên tổng quát

Cho không gian xác xuất Ω F, , P và B t ,t là chuyển động Brown 0với bộ lọc F t ,t0

Gọi f t ,t  là quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc 0 F t ,t0 Giả sử với T  quá trình 0 f t   thỏa  2

0

T

f t dt

Ε      Khi đó tồn tại một dãy các quá trình đơn giản  n ,  0, 

n

f t t T sao cho khi n  thì dãy này hội tụ về quá trình f t ; sự hội tụ theo nghĩa

   2 0

T n

    Tích phân Itô của quá trình f t   được xác định như sau



Sự hội tụ ở ở đây là hội tụ theo xác xuất

1.4.7.3 Vi phân ngẫu nhiên

Cho không gian xác xuất Ω F, , P và B t ,t là chuyển động Brown 0với bộ lọc F t ,t0

Một quá trình ngẫu nhiên liên tục ξ t ,t gọi là có vi phân ngẫu 0nhiên nếu với mọi T ta có biểu diễn 0

Trong đó b t là các quá trình thích ngh  i với bộ lọc F t ,t0 cùng với

1.4 7.4 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên (xem [15])

Cho không gian xác xuất Ω F, , P và B t ,t là chuyển động Brown 0với bộ lọc F t ,t0

Gọi T là một hằng số dương f t ,t 0,T là một quá trình thích nghi với bộ lọc trên và thỏa điều kiện  2

vi Với mỗi t 0,T thì I t   là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn nếu

f là hàm không ngẫu nhiên

Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH

W T T



 Suy ra W W n I r , Do đó hàm mật độ của W cho bởi biểu thức sau

2.1.2 Hàm m ật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre

Trước khi đi vào xác định hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre ta có nhận xét sau

Nhận xét

Cho W là ma trận biến đối xứng xác định dương cấp r r Gọi λ1, ,λr là

các giá trị riêng của W Khi đó ta có thể giả sử rằng λ1   λ2 λr 0 Đặt

 1 

diag , , r

L λ λ Khi đó tồn tại duy nhất ma trận biến trực giao U cấp r r

mà các phần tử dòng đầu tiên đều dương sao cho '

Cho W là ma trận Laguerre xác định như trong định nghĩa 1.2.1.1 Ta có W

là ma trận ngẫu nhiên xác định dương hầu chắc chắn Gọi L1, ,L r là các giá trị

riêng của W Khi đó ta có thể giả sử rằng L1   L2 L r 0 Đặt

 1 

diag , , r

L L L Khi đó tồn tại duy nhất ma trận ngẫu nhiên trực giao U cấp

r r mà các phần tử dòng đầu tiên đều dương sao cho W ULU'

.12

2

r r

2.1.3 Phân ph ối của định thức ma trận Laguerre

Cho ma trận Laguerre W như trong định nghĩa 2.1.1 Gọi L1, ,L r là các giá

trị riêng của W Ta có

1

r

j j



 Khi đó, theo trong mục 2.1.2 ta có

L r

j n j

j n j

12

Cho nên

1

12

12

r rs

W j

L

j n j

2.2 Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre

Gọi W là ma trận Laguerre r r  với tham số n Từ mục 2.1.2 ta có kết quả

tiệm cận của W khi n 

Trước hết ta có các cách đặt như sau:

, ,

1

ln : ln

L r

j n L