Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong đó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich,Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng r

Mục lục

1.1 Những khái niệm chung 8

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 8

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc 9

1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng 10

1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường 10

1.1.5 Xác suất có điều kiện 12

1.1.6 Martingale 13

1.2 Quá trình Gauss 17

1.2.1 Định nghĩa 17

1.2.2 Định lý 17

1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 18

1.3.1 Các định nghĩa 18

1.3.2 Vài tính chất quan trọng 19

1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown 19

1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown 20

1.4 Quá trình Poisson 20

1.4.1 Quá trình đếm 20

1.4.2 Quá trình Poisson 20

1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson 21

1.5 Quá trình Markov 21

1.5.1 Định nghĩa 21

1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 22

1.5.3 Chú ý 22

2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 23 Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 23

2.1 Tích phân Ito 23

2.1.1 Mục đích 23

2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô 24

2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô 26

2.1.4 Các thí dụ 28

2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 29

2.2.1 Khái niệm và định nghĩa 29

2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên 30

Phần II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 32

2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải 32

2.4 Định lý tồn tại và duy nhất 33

2.4.1 Sự duy nhất 33

2.4.2 Sự tồn tại 35

2.5 Tính Markov của lời giải 39

3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41 Phần I QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41

3.1 Phương án đầu tư 41

3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán 42

3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 42 3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO 44

3.2.1 Định nghĩa 44

3.2.2 Nguyên lý AAO 45

3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ 45

3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ 45

3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) 45

3.3.2 Phái sinh đạt được trong thị trường M. 46

3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market) 46

3.4 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) 46 3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu 46

3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ

chênh thị giá 47

3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale 49

3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) 50

3.5.1 Quyền chọn mua (Call) 51

3.5.2 Quyền chọn bán (Put) 51

Phần II MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES 52

3.6 Mô hình Black-Scholes 52

3.6.1 Định nghĩa mô hình 52

3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes 53

3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes 53

3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua 54

3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 55

3.7.1 Cách xây dựng 55

3.7.2 Công thức Black-Scholes 56

3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan 57

KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

(x n ) = {x n } Dãy số (hoặc dãy các phần tử)

|x| Giá trị tuyệt đối của x

MỞ ĐẦU

Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX Đầu tiên phải

kể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trìnhWiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905) Đặc biệt

là sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bàitoán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý, mà Giải tích tất định cổ điển không

sử lý được

Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính :

1 Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên

2 Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên

3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và lànhững công cụ không thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính Lý do làbản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫunhiên nên có thể xem chúng như các quá trình ngẫu nhiên

Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cảtrên thị trường tài chính Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong

đó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich,Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiêncứu thị trường tài chính Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black– Scholes, đều dựa trên kiến thức về Giải tích ngẫu nhiên

Luận văn này gồm 3 chương :

Chương I Quá trình ngẫu nhiên

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng

trong nghiên cứu về tài chính Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trìnhGauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đềcập

Chương II Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫunhiên

Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố

cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên Chương này nói về tích phân ngẫunhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình viphân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụminh họa

Chương III Vài ứng dụng trong thị trường tài chính

Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quátrình ngẫu nhiên, các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phươngpháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính vàđặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black - Scholes

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùngtrong nghiên cứu về tài chính Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trìnhGauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều được đềcập

Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm

• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện chomột yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nàođó

• F là một họ nào đó các tập con củaΩ, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếmđược và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường các tập con của Ω.Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo được (Ω, F)

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

(a) Một quá trình ngẫu nhiênX là một họ các biến ngẫu nhiên X = (X t (ω), t ∈

T ) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆R T có thể hữu hạn, đếm đượchoặc vô hạn không đếm được Đôi khi ta cũng kí hiệu X t (ω) = X(t, ω) Vậy với

mỗi t, X t là một hàm đo được từ (Ω, F) vào (T, B T ) trong đó BT là σ-trườngBorel trên T ⊆R

(b) Một quá trình ngẫu nhiên (X t , t ≥ 0) gọi là đo được là một hàm hai biến

X(t, ω) xác định trên tích BR + ×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo đượcđối với σ-trường tích BR + × F, trong đó BR + là σ-trường các tập Borel trên

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

(a) Một họ các σ-trường con ( F t, t ≥ 0) của F, Ft ⊂ F, được gọi là một bộ lọcthỏa mãn các điều kiện thông thường nếu

• Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ F t nếu s < t,

• Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = T

ε>0 F t+ε

Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F (và do đó A nằm trong mọi F)

(b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) Ta xét σ-trường FX

t sinhbởi tất cả các biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t : F X

t = σ(X s , s ≤ t) σ −trường nàychứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thờiđiểm t Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của

X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X

(c) Một không gian xác suất(Ω, F, P )trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc( F t ),được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω, F, (F t ), P )

1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng

Cho một không gian xác suất có lọc (Ω, F, (F t ), P )

(a) Một biến ngẫu nhiênT được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọit ≥ 0

(a) Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, G là một σ-trường con của F, G ⊂ F

và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F) vào (R, B R )

trong đó BR là σ-trường các tập Borel tập đường thẳng R

Khi đó, một biến ngẫu nhiên X∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X

đối với σ-trường G, nếu:

• X∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G

(b) Nếu ta chọnσ-trường G là σ −trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên

Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được kíhiệu là E(X |Y )

E (X + Y |G) = E (X|G) + E (Y |G) (3) Nếu X là đo được đối với G thì

(7) Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu g(x) là một hàmlồi trên tập I ⊂R, tức là

(8) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện

Nếu 0 ≤ X n vàX n ↑ X (X n đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) vớiE |X| < ∞

Định nghĩa 1.1.5.1 Xác suất có điều kiện P (A |G) của một biến cố A ∈ F làmột biến ngẫu nhiên xác định bởi

P (A |G) = E ( 1 A |G)

trong đó 1 A là hàm chỉ tiêu của biến cố A, tức là

Giả thử s và t là hai giá trị ≥ 0 bất kì sao cho s ≤ t Khi đó:

(1) Nếu E(X t |F s ) ≤ X s thì X gọi là martingale trên (supermartingale)

(2) Nếu E(X t |F s ) ≥ X s thì X gọi là martingale dưới (submartingale)

(3) Nếu E(X t |F s ) = X s thì X gọi là martingale đối với bộ lọc ( F t , t ≥ 0)

Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng ( F t ) là bộ lọc tự nhiên của X t,tức là Ft = σ(X s , s ≤ t) = F X

(2) ChoX = (X t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên khả tích thích nghi với bộlọc ( F t ), và giả thử rằng:

Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s < t thì X t − X s độc lập với ( F s )( ∗) Tính chất ( ∗) đượcgọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ

Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Z = (Z t , t ≥ 0) xác định bởi

Z t = X t − E (X t )

là một martingale đối với ( F t )

(3) Cho (X t ) là một quá trình số gia độc lập, không nhất thiết phải khả tích.Gọi ϕ X t (u) là hàm đặc trưng củaX t, tức là

Gọi hạn chế của P trên Ft là P t và hạn chế của Q trên Ft là Q t khi đó đạohàm Radon - Nikodym L t = dQt

dP t tồn tại, và quá trình L = (L t , t ≥ 0) là mộtmartingale đối với Ft

1.1.6.3.Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong toán tài chính

Định lý 1.1.6.1 Nếu X = (X t , t ≥ 0) là một martingale dưới đối với ( F t ), khảtích (tức E |X t | < ∞, ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phântích như sau:

X t = M t + A t

trong đó M t là một martingale đối với ( F t ) liên tục phải và A t là một quá trìnhtăng và thích nghi với ( F t )

( ∗) Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính

Ý tưởng chính là như sau:

Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổphiếu S t, giá trái phiếu B t) cũng như giá của các tài sản phái sinh (như giáQuyền chọn V t) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên Nói chung chúngkhông phải là những martingale đối với một trường thông tin ( F t ) đang xét

Giả thử X t là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định Nói chung

X t không phải là một martingale Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được

X t thành một quá trình Z t = ϕ(X t ) là một martingale và giả thử ta biết giá trịđáo hạn X T Khi đó, vì

E (Z T |F t ) = Z t (t < T )

nên ta có thể tính được giá trị X t tại thời điểm t < T bởi

X t = ϕ−1[E (Z T |F t )] (t < T )

có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:

(a).Áp dụng phân tích Doob-Meyer

Giả thử X t là một martingale dưới Ta có phân tích

X t =martingale M t +quá trình tăng A t

Nếu tìm được có thể quá trình tăng A t thì ta biến đổi được X t thành mộtmartingale cụ thể M t = X t − A t Nếu (X t ) là một martingale trên thì ( −X t ) làmột martingale dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự

(b).Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất

Khi ta nói X t nói chung không phải là martingale, ấy là ta xét dưới độ đoxác suất ban đầu P đã cho Bây giờ giả thử ta tìm được một độ đo xác suất mớie

P tương đương với độ đo xác suất P (có nghĩa là nếu P (A) = 0 với A ∈ F thìe

P (A) = 0 và ngược lại cũng đúng) và một phép biến đổi quá trình X t thành một

quá trình eX t sao cho dưới xác suất eP mới này thì eX t trở thành một martingale.

Giả thử bằng cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn X t, tức là biết eX T Khi đó,

Ta lưu ý hai điều quan trọng:

•Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro (tức làmột phép tính lùi), sao cho

người ta đã chứng minh được rằng:

Sự tồn tại của một độ đo martingale Q như vậy thì tương đương với sự kiện

"thị trường đang xét là không có độ chênh thị giá", có nghĩa là tương đương vớiNguyên lý AAO (định nghĩa Nguyên lý AAO mục 3.2.2)

• Thông thường phép biến đổi ϕ : X t → Xet là một phép chiết khấu, chẳnghạn

X t → Xet+u = e−ruX t+u , (0 < u < T − t)

thì eX t là martingale đối với ( F t ) và xét dưới độ đo eP, cho nên:

Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn

Một điều kiện cần của quá trình Gauss (X t ) là với mọi t thì X t là một biếnngẫu nhiên chuẩn

Nhưng nó không phải là điều kiện đủ Một điều kiện cần và đủ được cho bởiđịnh lý sau đây

(a) E(X t ) = 0, ∀t, tức là X t là qui tâm.

(b) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) = t + s− |t − s|

• Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai

σ là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là

• Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của X t − X s

là σ2(t − s)

1.3.2 Vài tính chất quan trọng

Từ bây giờ, ta kí hiệu W = (W t , t ≥ 0) là một chuyển động Brown

(a) W t là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó Ft, với

F t = F W

t = σ(W s , s ≤ t): σ −trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính chođến thời điểm t

(b) Hầu chắc chắn là W t không khả vi theo t

(c) Hầu chắc chắn là W t không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữuhạn nào của t

(d) W tuân theo luật logarit-lặp như sau:

lim

t →∞ sup √ Wt

2t ln ln t = 1 (hầu chắc chắn) 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown

Định lý

Cho (W t ) là một chuyển động Brown vàFt = F W

t Khi đó ta có 3 martingalequen biết là:

(a) Bản thân W t là một martingale đối với Ft

(b) Wt2− t là một martingale đối với Ft

(c) Với mọi u ∈R thì euWt − u2

2 t là một martingale đối với Ft

1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown

Điều kiện ( ∗) được gọi là đặc trưng Lévy của chuyển động Brown

(c) Số biến cố xẩy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào đó có độ dài t là mộtbiến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λt(λ > 0) Điều đó cónghĩa là, với mọi s, t ≥ 0 ta có

P {N t+s − N s = n } = e−λt(λt)

n

n! ; n = 0, 1, 2,

Từ đó ta có E(N t ) = λt Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson

1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson

Cho N t là một quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập, N 0 = 0 Điều kiện cần

và đủ để N t là một quá trình Poisson có cường độ λ là

( ∗∗) N t − λt là một martingale đối với ( F tN).

Diều kiện( ∗∗)được gọi là đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson Martingale

M t = N t − λt được gọi là martingale Poisson ứng với quá trình Poisson N t Nếu

N t là một quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì M t = N t − t

1.5 Quá trình Markov

Lớp các quá trình Markov rất rộng, bao gồm các quá trình có đặc tính là diễnbiến tương lai khi đã biết hiện tại thì không phụ thuộc vào diễn biến trong quákhứ Đặc tính này gọi là tính chất Markov, hay tính chất mất trí nhớ (loss ofmemory)

(c) Một quá trình Markov có không gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm đượcthì gọi là một xích Markov.

(a) Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson

(b) Quá trình Lévy (quá trình có số gia độc lập và dừng) là một quá trìnhMarkov

(c) Một quá trình Markov cũng có thể là một quá trình Gauss hoặc có thểkhông Khi một quá trình vừa là Gauss vừa là Markov thì người ta gọi đó làmột quá trình Gauss-Markov Chuyển động Brown là một quá trình Gauss-Markov Nhưng quá trình Poisson tuy là Markov nhưng không phải là Gauss.Một quá trình Gauss qui tâm với hàm tương quan cho bởi

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố

cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên Chương này nói về tích phân ngẫunhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phânngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minhhọa

Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 Tích phân Ito

2.1.1 Mục đích

Ta biết rằng một hàm thực F (t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còngọi là biến phân hữu hạn) trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C sao cho với

mọi phân hoạch của đoạn ấy a = t 0 < t 1 < < t n = b thì có bất đẳng thức

2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô

Cho f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho E

f2(t, ω)

< ∞ với mọi t

và W t là một chuyển động Brown tiêu chuẩn (một chiều), tất cả quỹ đạo của f

và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b

Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]:

trong đó f (t i , ω) là giá trị của f (t, ω) tại đúng đầu mút bên trái của đoạn nhỏ

t i , t i+1 và không thể thay thế f (t i , ω) bằng giá trịf (s i , ω) tại một điểm s i bất kỳthuộc đoạn t i , t i+1 như vẫn làm trong định nghĩa tích phân tất định được

Ta làm mịn phân hoạch của đoạn [a, b], tức là xét các phân hoạch mau dầnsao cho mỗi khoảng t i , t i+1 đều thu nhỏ dần: max

n →∞ S n (ω) (l.i.m =limit in mean: giới hạn theo trung bình).

Điều đó có nghĩa là S n → S ∗ trong L2(Ω, F, P ) khi n → ∞

(b) Những quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) nào thì có tích phân Itô? Người ta

đã chứng minh được rằng đó là các quá trìnhf (t, ω) thỏa mãn các điều kiện sauđây:

(i) Đo được đối với σ-trường tích B[0,t] × F và thích nghi đối với Ft = F tW,trong đó B[0,t] là σ-trường Borel trên [0, t] và FW

t là σ-trường sinh bởi chuyểnđộng Brown W t đã cho

f (t, ω) = g(t, ω) hầu khắp nơi đối với độ đo tích dt × dP

Các tính chất quan trọng của tích phân Itô

Giả sử rằng X = (X t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:

(a) Hầu hết các quỹ đạo t → X t là liên tục

(b) Hầu chắc chắn X t có biểu diễn:

trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phântrong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằngX là một quá trình Itô và có vi phân ItôdX.

Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau:

vi phân ngẫu nhiên

Định lý Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + f dW Giả thử

Theo công thức Itô (I 1 ), ta có

trong đó [f, W]t là một quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi:

[f, W]t =giới hạn theo xác suất của một tổng S n (f, W )

2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich

2.2.1 Khái niệm và định nghĩa

Với định nghĩa tích phân Itô nêu ở phần trên, thì giá trị của quá trình f trongtổng tích phân S lấy tại đầu một bên trái t của mỗi đoạn nhỏ [t , t ] của