De thi thu dai hoc khoi A

Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A1B1C1 thuộc đờngthẳng B1C1.. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn C B, C là hai t

SO GD ĐT HA NOI đề LUYấN THI đại học khối A 2011

Trờng THPT Trần Hng Đạo Môn: Toán Thời gian: 180 phút

I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số

2

1 2 +

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,

B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Câu II (2 điểm)

1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

2.Giải bất phơng trình log log 3 5(log 2 3)

4

2 2

2

Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm = ∫

x x

dx

cos.sin

Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnhbên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờngthẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA1 và B1C1 theo a

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c≥0 và a2+ + =b2 c2 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu VIa (2 điểm).

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 =

9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó

kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABCvuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng

t

y

t x

3 1

2 1

Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ

d tới (P) là lớn nhất

Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số

luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ

2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm)

Câu VIb (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đờngthẳng d có phơng trình x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà

từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giácABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng

trình

3

11

-Hết-đáp án đề thi thử đại học lần 1 khối a môn toán–

I.Phần dành cho tất cả các thí sính

Câu Đáp án Điể

m

I

(2

điểm)

1 (1,25 điểm)

a.TXĐ: D = R\{-2}

b.Chiều biến thiên

−

−

→ +∞

→

−∞

lim

; lim

; 2 lim lim

x x

x x

y y

y y

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là

y = 2

0,5

x

+

) 2 (

3

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−2) và (−2;+∞) 0,25

+Bảng biến thiên

x −∞ -2 +∞

y’ + +

+∞ 2

y

2 −∞

0,25

c.Đồ thị:

Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0;

2

1) và cắt trục Ox tại điểm(

2

1

− ;0)

2 (0,75 điểm)

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng

trình







=

− +

− +

−

≠

⇔ +

−

= +

+

) 1 ( 0 2 1 ) 4 (

2 2

1 2

x

x m x x

x

Do (1) có∆=m2 +1>0 va(−2)2 +(4−m).(−2)+1−2m=−3≠0∀m nên đờng

thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

0,25

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 +

12) suy ra AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m = 0 Khi đó AB= 24

0,5

II

(2

điểm)

1 (1 điểm)

Phơng trình đã cho tơng đơng với

9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8

 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

0,5

x y

O 2 -2

−

)(07sin2cos6

0sin1

VN x

x x

log

0

2 2

1log

43

1)

3(5)3)(

1(31

2

2

x t

t t

t t t

2

10

III

x x

dx x

x x

dx

cos.2sin

8cos.cos.sin

đặt tanx = t

dt t t t

t

dt I

t

t x x

dx dt

2

2 2

)1()1

2(8

1

22sin

;cos

0,5

C x x

x x

dt t t t t

dt t

t t t

+

−+

+

=+

++

=

+++

4 3

3 3

2 4 6

tan2

1tan

ln3tan2

3tan4

1)

33(

133

0,5

Câu

IV

1 điểm Do AH ⊥(A1B1C1) nên góc ∠AA1Hlà góc giữa AA1 và (A1B1C1), theo giả

thiết thì góc ∠AA1Hbằng 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc

a H

a H

A = nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác

1

1C B

AH ⊥ nên B1C1 ⊥(AA1H)

0,5

Kẻ đờng cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1

1

AA

AH H A

3 2 2

3

1 1

c c c

b b b

a

+ + + + + + + +

24

11

21

224

2

2 2

b

a b

a

+

++

=+

24

11

21

2

2 2

2 2

c

b c

+

+++

24

11

21

2

2 2

2 2

a

c a

+

++

6 3

6 3

6

216

3216

3216

≥

6 2 2 2

9)(

222

32

322

922

322

C

C1

B1K

H

Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2

tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình vuông

12

32

1

m

m m

m

0,5

2 (1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó

khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi

;

;21

H d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên

)3

;1

;2((0

;1

;7()

4

;1

;3

12

32

1

m

m m

;

;21

H d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên

)3

;1

;2((0

;1

;7()

4

;1

;3

0,5

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= −3 3mx+2( )C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )C1

2 Tìm m để đồ thị của hàm số ( )C m có tiếp tuyến tạo với đường thẳngd x y: + + =7 0

dx I

và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)

Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+ + =b2 c2 1

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d x y: − − =3 0 và d x y' : + − =6 0 Trung điểm một

cạnh là giao điểm của d với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M(0; 1; 2)− và N( 1;1;3)− .

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K(0;0; 2) đến (P) đạt giátrị lớn nhất

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển ( )

0

n

n k

=

+ =∑ với quy ước số hạng thứ i của khaitriển là số hạng ứng với k = i-1

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT BỈM SƠN KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: B+D

(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát

đề)

Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC cân tại A, phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là x+2y− =1 0

và 3x y− + =5 0 Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;-3).

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;3;1 ,) (B −1; 2;0 ,) (C 1;1; 2− ).

Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình x(3log2x− >2) 9log2x−2

……….Hết………

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT BỈM SƠN KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: A

(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát

đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= −3 3mx+2( )C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )C1

2 Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C m cắt đường tròn tâm

x I

1

2ln3ln1ln

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a= 2.Gọi I là trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏamãn uurIA= −2IHuuur Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC

và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)

Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+ + =b2 c2 1

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d x y: − − =3 0 và d x y' : + − =6 0 Trung điểm một

cạnh là giao điểm của d với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M(0; 1; 2)− và N( 1;1;3)− .

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K(0;0; 2) đến (P) đạt giátrị lớn nhất

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển ( )

0

n

n k

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình

cạnh AB và đường chéo BD lần lượt là x−2y+ =1 0 và x−7y+ =14 0, đường thẳng AC đi qua

điểm M( )2;1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;3;1 ,) (B −1; 2;0 ,) (C 1;1; 2− ).

Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình x(3log2x− >2) 9log2x−2

22

m

m m

t t

xdxlnx3dxxln1x

xln

+) Tính =∫e + dx

x x

x I

1 1

ln1

dxdudx

xdv

xlnu

3 2

=I1 3I2

I

3

e222

K

.

*Ta có IAuur= −2IHuuur⇒H thuộc tia đối của tia IA và IA=2IH

Lại có MA MD= = 2⇒tọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình

Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2)

x x

x x

Kí hiệu nuuurAB = −(1; 2 ,) nuuurBD = −(1; 7 ,) nuuurAC =( )a b, lần lượt là vtpt của các đường

Với a = -b chọn a= 1, b = -1 Khi đó phương trình AC: x – y – 1 = 0

A AB= ∩AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

2 15

I (x y z; ; ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi

( )

,

AI =BI CI I= ∈ ABC

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

13

f x = x, hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

Suy ra bất phương trình có nghiệm x > 4

+ Với x≤ 4 thì f x( ) ≤ f ( )4 = =3 g( )4 ≤g x( )⇒bất phương trình vô nghiệm

−

−

+ Với x≥ 1 thì f x( ) ≥ f ( )1 = =0 g( )1 ≥g x( ) ⇒bất phương trình vô nghiệm

+ Với x < 1 thì f x( ) < f ( )1 = =0 g( )1 <g x( )⇒Bất phương trình có nghiệm 0

< x <1 Vậy bất phương trình có nghiêm

y

0,25

2.(1,0 điểm)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến⇒ tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến nur1=(k; 1− ),

1 2

31

' 2 1

.

2 33

Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2)

(2điểm)

1.(1,0 điểm)

Đường thẳng AC có vec tơ pháp tuyến nur1=( )1; 2

Đường thẳng BC có vec tơ pháp tuyến nur1=(3; 1− )

Đường thẳng AC qua M(1; -3) nên có phương trình:

211

215

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

13

f x = x, hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

Suy ra bất phương trình có nghiệm x > 4

+ Với x≤ 4 thì f x( ) ≤ f ( )4 = =3 g( )4 ≤g x( )⇒bất phương trình vô nghiệm

−

−

+ Với x≥ 1 thì f x( ) ≥ f ( )1 = =0 g( )1 ≥g x( ) ⇒bất phương trình vô nghiệm

+ Với x < 1 thì f x( ) < f ( )1 = =0 g( )1 <g x( ) ⇒Bất phương trình có nghiệm 0

< x <1 Vậy bất phương trình có nghiêm

0,25