Tứ giác ONDI nội tiếp.. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI, ta có: KD KI=.
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo hà nam
đề chính thức
Đáp án và hớng dẫn chấm
Đề thi chọn HSG năm 2010-2011 Môn tO N HÁ ỌC 9
Bài 1 1.(3 điểm)
(6 điểm) a)(1,5 điểm)
A
1,0
3 1
6 2( 3 1)
1
+
0,5
b)(1,5 điểm): Thay A = 1 vào phương trỡnh đó cho ta được
2 4 3 2
y =x +x +x + +x 1
Khi x 0≠
Ta cú: 4y2 =(2x2 +x)2 +3x2 +4x 4 (2x+ > 2 +x)2 (1) 0,25 Lại cú 4y2 =(2x2 + +x 2)2 −5x2 <(2x2 + +x 2)2 (2)
Từ (1) và (2), suy ra (2x2 +x)2 <4y2 <(2x2 + +x 2)2
⇒4y2 =(2x2 + +x 1)2
4(x4 x3 x2 x 1) (2x2 x 1)2 x2 2x 3 0 x 1
x 3
= −
0,25 0,25
2 2
Kết luận: Vậy phương trỡnh đó cho cú cỏc nghiệm nguyờn (x; y) là (0;
1), (0; -1), (-1, 1), (-1, -1), (3; 11), (3; -11) 0,25 2.(3 điểm)
a.(1,5 điểm):
2
1 2
m 1
=
1,5
b.(1,5 điểm):
+ x, y R,∀ ∈ ta luụn cú
(2x y 3m 2)− + + 2 ≥0 và (m2 +m)x y 4− − 2 ≥0
nờn (2x y 3m 2)− + + 2 +(m2 +m)x y 4− − 2 ≥ ∀0 , x, y R∈ 0,5
Xột hệ phương trỡnh: 2x y 3m 2 02 y 2x 3m 22 (1)
⇔
(I)
Trang 2Phương trình (1), (2) chính là phương trình các đường thẳng d 1 , d 2
-Với m = 1 ⇒d // d1 2 Khi đó:
2
81 81
min B = 81khi t 0 hay 2x y 1 0
- Với m = - 2 ⇒ ≡d1 d2 ⇒ Hệ (I) có nghiệm nên minB = 0 0,25
- Với 1 2
m 1
d ,d
≠
≠ −
cắt nhau nên hệ (I) có nghiệm nên min B = 0
Vậy Khi m 1 min B 81; Khi m 1 min B 0
2
Bài 2 1.(3 điểm): Điều kiện: x≥ −2 0,5 (6 điểm) Pt đã cho ⇔2(x2 −2x 4) 2(x 2) 3 (x 2)(x+ − + = + 2 −2x 4) (1)+ 0,5
Đặt
2
, Điều kiện
u 0
v 0
≥
≥
Pt (1) trở thành 2u2 3uv 2v2 0 (2u v)(u 2v) 0 2u v 0
u 2v 0
+ =
+ Với
u 2v 0− = ⇔ x2 −2x 4 2 x 2+ = + ⇔ x2 −6x 4 0− = ⇔ = ±x 3 13 0,5
+ Với
2
2u v 0
=
=
+ = Hệ pt vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3= ± 13 0,5 2.(3 điểm)
Pt đã cho ⇔m2 −(2x2 +3x 1)m x− + 4 +3x3 +x2 − =x 0 (1)
Pt(1) là pt bậc hai ẩn m có ∆ =(x 1)− 2 nên
2
2
2x 3x 1 (x 1)
2 (1)
m
2
Giả sử x là nghiệm chung của 2 pt (2), (3)0
2
2
0 0
m 2
Ngược lại, với m = 2 thì 2 pt (2) và (3) có nghiệm chung 1,0 Pt(1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔các phương trình (2), (3) cùng có 2
nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung
Trang 31 ( m 1) 0 1
m
m 2
m 2
− − − >
Bài 3
(1 điểm) Điều kiện: x 1y 1≥
≥
Hệ đã cho
2 2
3 3
2x y 1 2y x 1 x y
⇔
Theo Côsi, ta có: 2 (x 1).1 (x 1) 1− ≤ − + ⇔2y x 1 xy− ≤
Tương tự, ta được: 2x y 1 xy− ≤ ⇒2x y 1 2y x 1 2xy− + − ≤ (1) 0,25 Mặt khác, Theo Côsi, ta có: x2 +y2 ≥2xy (2)
Từ (1) và (2)⇒2x y 1 2y x 1 x− + − ≤ 2 +y2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 2= = . 0,25
Dễ thấy x = y = 2 thoả mãn pt còn lại Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y
= 2
0,25
Bài 4
(6 điểm)
·AFB BCF=· ⇒ ∆ABF: ∆AFC
2
AF AB.AC
⇒ = không đổi
Vậy, E và F nằm trên đường tròn tâm A cố định và bán kính không đổi R = AB.AC
1,0
1,0
0,5
2.(2,5 điểm)
Tứ giác AEOF nội tiếp ⇒AEF AOF· = ·
1,0
1,0 0,5
Tứ giác AOIF nội tiếp ⇒AOF AIF· =·
Do đó, ·AIF AEF=·
Mặt khác, ·EE'F 1EOF AOF AEF· · ·
2
Nên ·AIF EE'F=· ⇒EE'// BC hay tứ giác BCE’E là hình thang
3.(1 điểm)Gọi D là giao điểm của EF với AC
Tứ giác ONDI nội tiếp Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ONI, ta có: KD KI= Lại có,
2
D
⇒ cố định Vậy K luôn nằm trên đường trung trực của đoạn ID
0,5
0,5
E
F
C B
O N
I D
E’
A
Trang 4Bài 5
(1 điểm)
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống AM Gọi K là giao điểm của AM với BC
Ta có:
AM.BC AM(BK CK) AM(BE CF)= + ≥ +
hay
( ABM ACM)
AM.BC AM.BE AM.CF 2 S≥ + = +S
Tương tự, ta được
( CMABMA CMBBMC)
Từ đó, ta được:
AM.BC BM.CA CM.AB 4S+ + ≥ ABC
Đẳng thức xảy ra
⊥
là
trực tâm tam giác ABC.
0,5
0,25
0,25
A
B
C
M E
K F