Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau... Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm củ
Trang 1Gv: Traàn Quoác Nghóa 1
Bài 3 Phương trình đường thẳng
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phương trình của đường thẳng.
• Phương trình tham số của đường thẳng :
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vectơ chỉ phương
=( ; ; 1 2 3 )
ar a a a , có phương trình tham số là :
= +
0 1
0 3
x x a t
z z a t
Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng.
• Phương trình chính tắc của đường thẳng :
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:
1 2 3
( 0 )
• Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (∆ β ) :
(α): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 có vtpt nr1=( A B C 1 ; ; 1 1 ) (β): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có vtpt nr2 =( A B C 2 ; 2 ; 2 )
Điểm M (x ; y ; z) ∈∆⇔ Tọa độ M thỏa hệ phương trình :
≠
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên ∆.
Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là:
1 2
r r r
Thường kí hiệu đường thẳng ∆:
0 :
0
A x B y C z D
A x B y C z D
∆
2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng: ∆1 đi qua A và có vectơ chỉ phương ar.
∆2 đi qua B và có vectơ chỉ phương br.
Ta có các trường hợp sau:
Trang 2• ∆1 và ∆2 cùng nằm trong một mp ⇔ [ ar, br].uuurAB = 0
• ∆1 và ∆2 cắt nhau ⇔ =
a b AB
a b
uuur r r
r r r
• ∆1 và ∆2 song song với nhau ⇔ ≠
a AB
a b
uuur r r
r r r
• ∆1 và ∆2 trùng nhau ⇔ =
a AB
a b
uuur r r
r r r
• ∆1 và ∆2 chéo nhau ⇔ [ ar, br].uuurAB ≠ 0
• Nếu
= +
= +
= +
1 1 1
1 3 1 :
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
2 1 2
2 3 2 :
x x b t
y y b t
z z b t
∆ thì số giao điểm của
hai đường thẳng trên là số nghiệm của hệ :
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2
1 3 1 2 3 2
x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t
Hệ vô nghiệm ⇔∆1 và ∆2 song song với nhau hoặc chéo nhau.
Hệ có một nghiệm ⇔∆1 và ∆2 cắt nhau
Hệ có vô số nghiệm ⇔∆1 và ∆2 trùng nhau
Trang 3Gv: Traàn Quoác Nghóa 3
3 Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Cho hai đường thẳng
= +
= +
= +
1 1 1
1 3 1 :
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
2 1 2
2 3 2 :
x x b t
y y b t
z z b t
có vectơ chỉ phương lần lượt là : ar=( ; ; a a a 1 2 3 ) và br=( ; ; b b b 1 2 3 ) :
1 1 2 2 3 3
.
a b
∆ ∆
r r r r
r r
Chú ý:
• Cho đường thẳng
= +
= +
0 0 0 :
x x at
y y bt
z z ct
∆ có vectơ chỉ phương ur=( ; ; ) a b c
và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt nr=( ; ; ) A B C :
sin ;( ) sin ;
u n
∆ α
r r
r r
r r
4 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), có vectơ chỉ phương
1
∆
A
B
r
a
r
b 2
∆
A B
r
a
r
b 1
∆
2
∆
A
B
r
a
r
b 1
∆
2
∆
A
B
r
b 1
∆
2
∆
(∆ cheùo∆ ) (∆1 caét∆2 )
1 2
0 (∆ ∆; ) 90
Trang 4=( ; ; 1 2 3 )
ar a a a và điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) Khi đó :
( 1 ; ) = M M a 1 0 ,
d M
a
∆
uuuuuur r r
• Cho hai đường thẳng
= +
= +
= +
1 1 1
1 3 1 :
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
2 1 2
2 3 2 :
x x b t
y y b t
z z b t
Trong đó ∆1 đi qua M 1 và có vectơ chỉ phương ar=( ; ; a a a 1 2 3 ) và ∆2
đi qua M 2 và có vectơ chỉ phương br=( ; ; b b b 1 2 3 ) :
( ) =
1 0
1 2
,
;
,
a b M M d
a b
∆ ∆
uuuuuur r
r r r
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1 – Viết phương trình đường thẳng
-3.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua M(1 ; 2; 3) và có VTCP a = (1 ; – 4 ; – 5).r
b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0)
c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0 d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:
1 2
3 3 4
= +
= − +
=
Đs: a)
1
2 4
3 5
= +
= −
= −
b)
1 2
2 2
3 3
= +
= − +
= −
c)
2 1 3
= +
= − +
= −
d)
2 2 3
3 4
= +
=
= − +
y t
3.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d:
2
3 2
1 3
= +
= − +
= +
lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz)
Đs: a)
2
3 2 0
= +
= − +
=
z
b)
0
3 2
1 3
=
= − +
= +
x
c)
2 0
1 3
= +
=
= +
y
Trang 5Gv: Traàn Quoác Nghóa 5
3.3 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0
và (β): x + 3y – 2z + 3 = 0
∆ − = − = −
−
3.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α)
Đs: : (∆ x= +1 t y ; =2; z=2 )
3.5 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (α): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0
∆ − = − = +
−
3.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: 1 1 2
và
mp (P): x – y – z – 1 = 0 Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
∆ đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d
∆ − = − = +
− −
3.7 Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2)
∆ − = + = +
− −
3.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x +y + z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P)
∆ − = = +
− −
3.9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d:
3 2 1
1 4
= − +
= −
= − +
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt
và vuông góc với đường thẳng d
∆ + = + = −
−
Dạng 2 – Vị trí tương đối.
Trang 63.10 Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau:
a) d:
12 4
9 3 1
= +
= +
= +
5 '
1 4 '
20 '
= +
= − −
= +
b) d:
1 2 3
= +
= +
= −
1 2 '
1 2 '
2 2 '
= +
= − +
= −
c) d:
1
2 2 3
= −
= +
=
1 '
3 2 ' 1
= +
= −
=
d) d:
3 4
5 2
= −
= +
= −
2 3 '
5 3 '
3 6 '
= −
= +
= −
3.11 Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau:
a) d:
1
1 2
= +
=
= − +
y t
1 '
2 2 '
3 '
= −
= +
= −
−
m và d′:
−
Đs: m=103 13
3.12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆: 1 2
và mặt phẳng (α): mx + 3y – 5z + 1 = 0 Xác định m để ∆ cắt (α)
Đs: m ≠ –1
3.13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và
đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α), (β) với:
(α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0, (β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0 Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)
Đs: 1
2
= −
m
3.14 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z + 13 = 0 và đường thẳng d
đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chì phương ra = (1; m; –2) Biện luận theo
m số giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng d
< ∨ >
m m : d không cắt (S) 5 15
= ∨ =
m m : d tiếp xúc (S).
2< <m 2 : d cắt (S) tại 2 điểm.
Trang 7Gv: Traàn Quoác Nghóa 7
3.15 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
−
và d2: 1 3
a) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau Tìm giao điểm của chúng
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và d2
Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0
3.16 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
d1:
5 2 1 5
= +
= −
= −
và d2:
3 2 '
3 '
1 '
= +
= − −
= −
a) Chứng minh d1 và d2 song song với nhau
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và d2
Đs: b) y – z + 4 = 0
3.17 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
−
và d2: 1 3
c) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau Tìm giao điểm của chúng
d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và d2
Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0
3.18 Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1, d2:
−
và d2: 4 3
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
b) Lập phương trình đường thẳng ∆⊂ (P) đồng thời cắt cả d1 và d2
∆ − = + = −
− −
3.19 Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:
d1: 1 2
và d2:
1 1
= −
= − +
=
x
z t Lập phương trình đ.thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2
∆ = − = −
−