Đề tài giới hạn xạ ảnh

Với nội dung và phương pháp nghiên cứu độc đáo riêng, lý thuyết phạm trù với tư cách là một lý thuyết độc lập đã chứng tỏ hiệu lực của nó trong việc giải quyết nhiều vấn lớn của đại số,

Mục lục

2.1 Giới hạn xạ ảnh 3

2.1.1 Định nghĩa 3

2.1.2 Các ví dụ 4

2.2 Một số tính chất của giới hạn xạ ảnh 10

2.2.1 Giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh 10

2.2.2 Biểu đồ xem như hàm tử 11

2.2.3 Giới hạn xạ ảnh trong phạm trù đủ 12

2.2.4 Hàm tử bảo toàn giới hạn 13

1 LỜI MỞ ĐẦU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại , lý thuyết phạm trù chiếm một vị trí ngày càng quan trọng Với nội dung và phương pháp nghiên cứu độc đáo riêng, lý thuyết phạm trù với tư cách là một lý thuyết độc lập đã chứng tỏ hiệu lực của nó trong việc giải quyết nhiều vấn lớn của đại số, tôpô, và nhiều ngành toàn học lý thuyết khác.Vì vậy việc làm quen đến tìm hiểu để nắm được một cách tương đối đầy đủ lý thuyết phạm trù và hàm

tử là một yêu cầu cần thiết đối với người học và làm toán hiện nay Với mục đích đó cùng với sự mong muốn giúp cho các bạn có cái nhìn sâu hơn về lý thuyết phạm trù và hàm tử, trong khuôn khổ tiểu luận này chúng tôi sẽ làm rõ một trong những vấn đề của nó Đó là

Mở rộng một số tính chất của giới hạn xạ ảnh Cấu trúc của tiểu luận này gồm 2 phần :

1 Phần 1 : Trình bày lại khái niệm giới hạn xạ ảnh của hàm tử và một số ví dụ minh họa

2 Phần 2 : là phần chính của tiểu luận, nêu lên một số tính chất mở rộng của giới hạn

xạ ảnh

Do khả năng có hạn cùng với một số điều kiện hạn chế khác nên trong tiểu luận này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nên rất mong sự góp ý của các bạn Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Xuân Tuyến đã hướng dẫn tôi hoàn thành tiểu luận này

Huế, ngày 25 tháng 2 năm 2008

Người thực hiện

2 NỘI DUNG

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử F : C −→ D là một hàm tử hiệp biến Ta gọi giới hạn xạ ảnh của hàm tử F (nếu có) là một vật L ∈ Ob(D) cùng với một họ cấu xạ

(uX: L −→ F (X))X∈Ob(C)

thuộc Mor(D) sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

i)Với mọi cấu xạ α : X −→ Y của C ta có biểu đồ sau giao hoán

F (X)

L

F (Y )

?

F (α)



u X

@

@

vY

ii)Nếu có một vật A ∈ Ob(D) và một họ cấu xạ

(vX: A −→ F (X))X∈Ob(C)

thuộc Mor(D) sao cho với mỗi cấu xạ α : X −→ Y của C biểu đồ sau giao hoán

F (X)

A

F (Y )

?

F (α)



vX

@

@

v Y

thì tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : A −→ L sao cho với mọi vật X biểu đồ sau giao hoán

L

A

F (X)

?

u X



γ

@

@

vX

Giới hạn xạ ảnh còn được gọi là giới hạn nghịch hay giới hạn trái, ký hiệu là L = lim

←−F = lim

←−F (X)

Các cấu xạ uX: L −→ F (X) gọi là cấu xạ chính tắc của giới hạn xạ ảnh

2.1.2 Các ví dụ

1 Trong phạm trù C tích của một họ các vật (Ai)i∈I, Ai∈ Ob(C) là giới hạn xạ ảnh của một hàm tử thích hợp

Thật vậy :

Đặt A = Q

i∈I

Ai, giả sử (A, ui: A −→ Ai; i ∈ I) là tích của họ các vật (Ai)i∈I với Ai∈ Ob(C)

Ta xây dựng hàm tử F như sau:

Ta xem I như một phạm trù rời rạc với:

Ob(I) =i ∈ I [i, j]I =

(

φ nếu i 6= j

1i nếu i = j

Ta xét hàm tử

F : I −→ C

i 7−→ Ai

Ta sẽ chứng minh A cùng với họ cấu xạ (ui : A −→ F (i) = Ai)i∈Ob(I) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F

Thật vậy,

Mọi α = 1i: i −→ i ∈ M or(I) ta có biểu đồ sau giao hoán vì 1Aiui= ui

F (i) = Ai

L

F (i) = Ai

?

F (1i)=1F (i)=1Ai





u i

Q Q

ui

Nếu có vật B ∈ Ob(C) và một họ cấu xạ (vi : B −→ F (i) = Ai)i∈Ob(I) sao cho với mỗi cấu

xạ α = 1i: i −→ i ∈ M or(I) biểu đồ sau giao hoán:

F (i) = Ai

B

F (i) = Ai

?

F (α)=F (1i)=1F (i)=1Ai





v i

Q Q

v i

Theo định tích A = Q

i∈I

Ai thì tồn tại duy nhất γ : B −→ A để biểu đồ sau giao hoán với mọi i ∈ Ob(I)

A

B

F (i) = Ai

?

ui







γ

Q Q

vi

Ngược lại, giả sử tồn tại lim

←−F là (L, ui: L −→ F (i) = Ai, i ∈ Ob(I))

Ta sẽ chứng minh (L, (ui)i∈I) là tích của họ vật (Ai)i∈I

Giả sử có một họ (αi: K −→ Ai)i∈I ta sẽ chứng minh tồn tại γ : K −→ L sao cho uiγ = αi, tức là sơ đồ sau giao hoán:

L

-αi

@γ ui

Thật vậy, mọi α = 1i: i −→ i, sơ đồ sau giao hoán vì 1Aiαi = αi

F (i) = Ai

K

F (i) = Ai

?

F (1 i )=1F (i)=1Ai





α i

Q Q

α i

Mặt khác, vì (L, ui: L −→ F (i) = Ai, i ∈ Ob(I)) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F nên theo điều kiện ii) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh ta có tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho mọi i ∈ Ob(I) biểu đồ sau giao hoán:

L

K

F (i) = Ai

?

ui







γ

Q Q

α i

Tức là uiγ = αi

Vậy A = lim

←−F

2.Trong phạm trù D hạt nhân của một cấu xạ là giới hạn xạ ảnh của một hàm tử thích hợp Thật vậy :

Giả sử f : A −→ B là một cấu xạ của D và (u,K) là hạt nhân của cấu xạ f

Ta lấy một phạm trù C với

Ob(C) =X, Y

M or(C) =1X, 1Y, α, β : X −→ Y

Ta xét hàm tử

F : C −→ D

X 7−→ A

Y 7−→ B

α 7−→ f

β 7−→ 0AB

1X7−→ 1A

1Y 7−→ 1B

Ta sẽ chứng minh rằng (K, uX= u, uY = 0) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F

Thật vậy,

Với cấu xạ α, β : A −→ B ta xét sơ đồ sau:

F (X) = A

K

F (Y ) = B

?

f =F (α)

?

F (β)=0 AB





uX

Q Q

u Y

Do uX= u, uY = 0 và vì u là hạt nhân của cấu xạ f nên f uX = f u = 0KB = uY = 0ABuX

Do đó sơ đồ trên giao hoán

Giả sử có một vật L ∈ Ob(D) và một họ cấu xạ (vX: L −→ F (X) = A, vY : L −→ F (Y ) = B) của Mor(D) sao cho với các cấu xạ α, β : X −→ Y sơ đồ sau giao hoán

F (X) = A

L

F (Y ) = B

?

f =F (α)

?

F (β)=0AB





vX

Q Q Q

vY

Tức là f vX = vY = 0ABvX Suy ra, f vX = 0

Vì (u,K) là hạt nhân của f nên tồn tại duy nhất h : L −→ K sao cho vX = uXh, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

K

L

F (X) = A

?

uX







h

Q Q

vX

Suy ra uYh = f uXh = f vX = vY, nghĩa là sơ đồ sau cũng giao hoán

K

L

F (Y ) = B

?

uY







h

Q Q

vY

Ngược lại, giả sử lim

←−F tồn tại là (L, uX: L −→ F (X), X ∈ Ob(C))

Ta sẽ chứng minh L = Kerf

Thật vậy, theo điều kiện i) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì với α, γ : X −→ Y của C ta

có biểu đồ sau giao hoán:

F (X) = A

L

F (Y ) = B

?

f =F (α)

?

F (β)=0 AB





u X

Q Q Q

uY

Tức là:f uX= uY = 0ABuX = 0

Mặt khác, giả sử tồn tại λ : K −→ A thỏa mãn f λ = 0 Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho uXγ = λ

Thật vậy, vì f λ = 0 do đó sơ đồ sau giao hoán:

F (X) = A

K

F (Y ) = B

?

f

?

0AB





λ

Q Q

f λ

nên theo điều kiện ii) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì tồn tại duy nhất một cấu xạ

γ : K −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán

L

K

F (X) = A

?

u X







γ

Q Q

λ

Tức là uXγ = λ

Từ đó suy ra L = Kerf

Vậy Kerf = lim

←−F

3 Trong phạm trù D đẳng hóa của hai cấu xạ là giới hạn xạ ảnh của một hàm tử thích hợp Thật vậy :

Giả sử f, g : A −→ B là hai cấu xạ thuộc Mor(D) và Equ(f, g) = (u, K)

Ta lấy một phạm trù C với

Ob(C) =X, Y

M or(C) =1X, 1Y, α, β : X −→ Y

Ta xét hàm tử

F : C −→ D

X 7−→ A

Y 7−→ B

α 7−→ f

β 7−→ g

1X 7−→ 1A

1Y 7−→ 1B

Ta sẽ chứng minh rằng (K, uX= u, uY = f u) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F

Thật vậy,

Với cấu xạ α, β : A −→ B ta xét sơ đồ sau:

F (X) = A

K

F (Y ) = B

?

f =F (α)

?

F (β)=g





uX

Q Q

uY

Do uX = u và uY = f u và vì u là đẳng hóa của cặp cấu xạ f và g nên f uX = f u = uY =

gu = guX Do đó sơ đồ trên giao hoán

Giả sử có một vật L ∈ Ob(C) và một họ các cấu xạ (vX : L −→ F (X) = A; vY : L −→

F (Y ) = B) của Mor(D) sao cho với các cấu xạ α, β : X −→ Y sơ đồ sau giao hoán

F (X) = A

L

F (Y ) = B

?

f =F (α)

?

F (β)=g





v X

Q Q Q

v Y

Tức là f vX = vY, gvX= vY Suy ra, f vX= gvX

Vì (u,K) là đẳng hóa của f và g nên tồn tại duy nhất h : L −→ K sao cho vX= uXh, nghĩa

là biểu đồ sau giao hoán

K

L

F (X) = A

?

u X







h

Q Q

vX

Suy ra uYh = f uXh = f vX = vY, nghĩa là sơ đồ sau cũng giao hoán

K

L

F (Y ) = B

?

uY







h

Q Q

vY

Ngược lại, giả sử lim

←−F tồn tại là (L, uX: L −→ F (X), X ∈ Ob(C))

Ta sẽ chứng minh L = Equ(f, g)

Thật vậy, theo điều kiện i) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì với α, β : X −→ Y của C ta

có biểu đồ sau giao hoán:

F (X) = A

L

F (Y ) = B

?

f =F (α)

?

F (β)=g





uX

Q Q Q

uY

Tức là:f uX= uY = guX

Mặt khác, giả sử tồn tại λ : K −→ A thỏa mãn f λ = gλ Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho uXγ = λ

Thật vậy, vì f λ = gλ do đó sơ đồ sau giao hoán:

F (X) = A

K

F (Y ) = B

?

f

?

g





λ

Q Q

f λ

nên theo điều kiện ii) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì tồn tại duy nhất một cấu xạ

γ : K −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán:

L

K

F (X) = A

?

uX







γ

Q Q

λ

Tức là uXγ = λ

Vậy Equ(f, g) = lim

←−F

2.2 Một số tính chất của giới hạn xạ ảnh

2.2.1 Giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh

1 Hệ xạ ảnh

Cho I là một tập hợp sắp thứ tự, có lộc bên phải, tức là với mỗi cặp i,j ∈ I, tồn tại một phần tử k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k

Gọi I là phạm trù gắn với tập I

Ob(I) = i∈ I = I

[i, j]I=

( một phần tử duy nhất(i, j) nếu i ≤ j

Một hàm tử :

i 7−→H(i) = Fi

i ≤ j 7−→fij : Fi7−→ Fj

Gọi là một hệ xạ ảnh

Như vậy, theo định nghĩa một hệ xạ ảnh xác định trong một phạm trù C, là một hệ (Fi, fij) gồm các vật Fi (i ∈ I) của C và các xạ fij : Fj−→ Fi của C, xác định đối với mỗi cặp i,j ∈

I sao cho i ≤ j và thoả mãn các tính chất sau :

* fii = 1fi

* Nếu i ≤ j ≤ k thì fik= fij.fjk

Fk

A A A A

A // Fj

~~}}}}

}}}

Fi

Bây giờ ta sẽ xét giới hạn ảnh của hệ xạ ảnh trong một số phảm trù quen thuộc

2 Trong phạm trù các tập hợp S, giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh (Fi, fij) tồn tại Đó là tập hợp F và Ui : F −→ Fi, xác định như sau, F là tập hợp con của tích Descartes Q IFj, gồm tất cả các họ (ai)I vời ai∈ I sao cho i ≤ j

ui:F −→Fi(i ∈ I) (ai)I −→ai

là cái thu hẹp của phép chiếu chính tắc

Ta chứng minh , tập hợp F và họ phép chiếu ui, i ∈ I là giới hạn xạ ảnh của họ (Fi,fij), thật vậy :

(a) Với i ≤ j thuộc Mor(I) xét biểu đồ :

Fj= H(j)

fij

F

u juu::u u u u

u iII$$I I I I

Fi= H(i) Theo cách xây dựng, với mọi x ∈ F , ta có

fijuj(x) = fij(xj) = xi

mà uij(x) = xi

nên fijuj = ui→ biểu đồ trên giao hoán

(b) Nếu một họ ánh xạ vi: F0−→ Fi,i∈I sao cho biểu đồ sau giao hoán

tức là Fijvj = vi

F

ui

F0

λ t99t t t t t

v iII$$I I I H(i) = Fi

Xét ánh xạ

x0= (x0i)I −→x = (xi)I

sao cho xi= vi(x0i) Khi đó, với mọi i ∈ I, uiλ(x0) = ui(x) = xi= vi(x0i) nên uiλ = vi

Gỉa sử tồn tại λ : F’−→ F sao cho uiλ = vi ⇒ uiλ0 = uiλ

⇒ uiλ0(x0) = uiλ(x0), x0∈ F0, với mọi i ∈ I

⇒ λ0(x0) = λ(x0)

⇒ λ0 = λ

Vậy F và họ ui, i ∈ I là giới hạn xạ ảnh của họ(Fi, fij)

Trong trường hợp riêng I = 1, 2, và fijlà một ánh xạ 1-1 thì băng f cách đồng nhất

xj ∈ Fj với xi= fij(xj) ∈ Fi Nghĩa là xem Ai(i ≤ j) ta có thể cho rằng A1⊃ · · · A2⊃ · · · , tức là ta có một dãy các tập hợp nhỏ dần Khi ấy mỗi dãy x = (xi)i∈I sẽ được xác định bởi môt phần tử bất kì của nó Chẳng hạn bởi x1∈ F1 thành thử tập hợp F có thể đồng nhất vớiT∞

i=1Fi Vậy giới hạn xạ ảnh của một dãy tập hợp nhỏ dần bằng giao của chúng

3 Trong các nhóm abel, tương tự như trong phạm trù các tập hợp, cũng có giới hạn xạ ảnh của một hệ xạ ảnh (Gi, fij) Trong phạm trù các nhóm Ab, trải chỉ số trên I (mỗi Gi1 nhóm, fij là một đồng cấu nhóm từ Gj đến Gi ) là nhóm con G của nhóm tíchQ

i∈IGitạo thành bởi tất cả các phần tử x = (xi)i∈I, xi ∈ Gi sao cho mỗi cặp i ≤ j ta có xi= fij(xi)

Do đó dĩ nhiên tập hợp nền của G là giới hạn xạ ảnh của họ các tập nền của các nhóm Gi theo họ ánh xạ fij

2.2.2 Biểu đồ xem như hàm tử

Một đồ thị τ = (I, u, ξ) có thể xem như một phạm trù mà I là lớp các vật, và Mor(i,j) gồm tất cả các đường đi từ i đến j ta kí hiệu phạm trù này là : I

một biểu đồ D trong một phạm trù C trên đồ thị τ đã biết là một quy tắc D cho tương ứng với mỗi đỉnh i ∈ I một vật Dicủa C, và với mỗi đường đi ω từ i đến j một cấu xạ D(ω)

từ Di đến Dj Đồng thời ứng với đừong đi không taị i là cấu xạ đồng nhất 1Di và ứng với mỗi hợp thành của đường đi ω, σ là cấu xạ hợp thành D(ω)D(σ)

vậy, một biểu đồ D trong phạm trù C trên đồ thị τ được xem như một hàm tử D từ phạm trù I đến phạm trù C

2.2.3 Giới hạn xạ ảnh trong phạm trù đủ

1 Phạm trù đủ Một phạm trù C gọi là đủ bên trái -complete( đủ bên phải - Cocomplete ) nếu mọ biểu đồ trong C, trên bất cứ đồ thị nào cũng có giới hạn xạ ảnh(quy nạp ) Nếu điều này chỉ đúng cho các biểu đồ hữu hạn nói phạm trù đủ hữu hạn bên trái (bên phải) Theo các ví dụ của giới hạn xạ ảnh trong mục 2, chương 1, một phạm trù đủ bên trái thì có tích, có tích thớ, có đẳng hóa và nếu có vật không thì cũng có hạt nhân

Bây giờ ta xét ngược lại, giới hạn xạ ảnh cho những biểu đồ nào tồn tại thì đủ để cho phạm trù đủ bên trái

Xét một biểu đồ D trong phạm C có tích và dẳng hóa trên một đồ thị τ = (I, u, ω) gọi

A là tích của họ vật Di, i ∈ I, ai: A 7−→ Di là phép chiếu thứ i Cho r(u) là gốc, s(u) là mút của mũi tên u và A =Q

u∈UDs(u) p0s(u): A0 −→ Ds(u) là phép chiếu thứ s(u)

Do tính phổ dụng của A’, họ ps(u): A −→ Ds(u)u∈U cảm sinh một cấu xạ xác định α :

A −→ A0 để cho với mỗi u ∈ U :

ps(u)= p0s(u)α (1) mặt khác, họ pr(u): A −→ Ds(u)u∈U cảm sinh một họ cấu xạ xác định β : A −→ A0 thỏa mãn

D(u)pr(u)= p0s(u)β (2)

Từ đó ta có định lí :

2 Định lí 3.1 Trong một phạm trù có tích, họ λi: L −→ Dilà giới hạn xạ ảnh của D khi

và chỉ khi cấu xạ f : L −→ C do nó cảm sinh là đẳng hóa của cặp cấu xạ α, β : C −→ C0

xác định ở trên

Chứng minh Xét một họ bất kỳ λi: L −→ Dii∈I và cho f : −→ C là cấu xạ cảm sinh

do tính phổ dụng của C chỉ cần chứng minh rằng họ λi tưong thích với D khi và chỉ khi α.f = β.f ,có nghĩa họ λi là giới hạn trái của D khi và chỉ khi f la dẳn hóa của α và β Nếu α.f = β.f thì với mỗi u ∈ U ta có p0s(u)αf = p0s(u)βf , cho nên theo (1) và (2)

ps(u)f = Dups(u)f , do đó λs(u)= Duλr(u), chứng tỏ họ λi tương thích với D

Ngược lại, nếu họ này tương thích thì với mỗi u ∈ U ta có λs(u) = Duλr(u) hay

ps(u)f = D(u)pr(u)f , từ đó theo (1) và (2) ta được p0s(u)αf = p0s(u)βf , và vì đẳng thức này đúng với mọi u ∈ U nên α.f = β.f

Vậy định lí được chứng minh

Vậy phép lấy giới hạn xạ ảnh quy về lấy tích và lấy đẳng hóa Muốn có giới hạn xạ ảnh của D, chỉ việc xác định cặp cấu xạ α, β : A −→ A0, và lấy đẳng hóa L −→ A của cặp (α, β)

3 Định lí 3.2 Trong một phạm trù đủ bên trái, giới hạn trái của một biểu đồ là D trên một đồ thị τ = (I, U, σ) là vật

u∈U

Equ(pj, D(u)p(i)) ⊂ P

cùng với họ cấu xạ

λk: L ⊂ P pk

−→ Dk (k ∈ I)

trong đó σ(u) = (i, j), P =Q

i∈IDi, và pk là phép chiếu P −→ Dk Chứng minh Với mỗi mũi tên u : i → j, cho αu: Eu−→ P là đẳng hóa của pjvà D(u)pi

Ta có λj= L → Eu → P → Dj = L → Eu→ P → Di

D(u)

−−−→ D(j) = L ⊂ P → Di

Du

−−→ Dj, tức là biểu đồ sau giao hoán

L

λ i

||zzzzzz

""E E E E E

Mặt khác, nếu một họ gk: X −→ Dk, K ∈ I thỏa mãn gj = D(u)gi với mọi u mà σ(u) = (i, j), thì có một cấu xạ duy nhất g : X → P sao cho gk = pkg (h ∈ I),

do đó pjg = D(u)pigvới mọi u ma σ(u) = (i, j) Vậy theo định nghĩa đẳng hóa, có một cấu xạ duy nhất X → Eu sao cho g = X → Eu → P , rồi theo định nghĩa giao có một cấu xạ duy nhất X → L sao cho X → Eu = X → L → Eu với mỗi u ∈ U Khi ấy

gk= X → P → Dk = X → Eu→ P → Dk = X → L → Eu→ P → Dk = X → L λk

−→ Dk Chứng tỏ rằng L là giới hạn xạ ảnh của D

2.2.4 Hàm tử bảo toàn giới hạn

1 Định nghĩa Cho một hàm tử F : A −→ B.Với mỗi biểu đồ D trong A trên

τ = (I, U, σ), ta xét biểu đồ mathcalF D trong B, cũng trên τ , bằng cách lấy mathcalF Di=

F (Di), mathcalF D(u) = mathcalF (D(u))

Nếu F (σi) : F (X) → F (Di) là giới hạn trái của F Dkhi σi là giới hạn trái của D thì ta nói hàm tử F bảo toàn giới hạn trái hay mạnh bên trái, Kí hiệu :

F (lim

−→D) = lim−→F D

Sau đây ta sẽ xét một số tính chât của hàm tử này

2 Định lí Đối với một hàm tử F, từ một phạm trù A có tích đến một phạm trù B bất kỳ, các tính chất sau đây tương đương:

1 F bảo toàn giới hạn trái

2 F bảo toàn tích và đẳng hóa

3 F bảo toàn tích và níu

4 F bảo toàn tích và hạt nhân (phạm trù A thỏa mãn thêm điều kiện A là phạm trù chuẩn tắc )

Chứng minh 2) =⇒ 1) Cho {L → Di} là giới hạn trái của biểu đồ D trong A Theo định lý 3.1, họ đó cảm sinh một cấu xạ L → P là đẳng hóa của hai cấu xạ α, β : P → P0

Họ {T (L) → T (Di)} cảm sinh cấu xạ T (L) → T (P ), và theo giả thiết cấu xạ này là đẳng hóa của T (α), T (β) : T (P ) → T (P0) Mặt khác dễ thấy rằng đối với biểu đồ TD các cấu xạ

T (α), T (β) có ý nghĩa như α, β trong biểu đồ D Do đó theo định lý 3.1, {T (L) → T (Di)}