Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều

Kết quả chính của chươngnày nói rằng, nếu F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ là một chiều thì một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ kh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN TẤT THẮNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC

VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN TẤT THẮNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC

VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU

cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều 17

2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn 232.2 Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại của phép chiếu tốt 352.3 Tô pô của thớ 41

3.1 Các giá trị rẽ nhánh 463.2 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn 53

3.2.1 Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler 543.2.2 Điều kiện Malgrange và điều kiện M-tame 623.2.3 Điều kiện Fedoryuk 68

Mở đầu

Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các đa tạp đại số có thể chia thành haimảng đề tài:

(i) Nghiên cứu các đa tạp xạ ảnh;

(ii) Nghiên cứu các đa tạp affine

Thành tựu cơ bản của các nghiên cứu về mảng đề tài thứ nhất là lý thuyết schetz Bằng cách khảo sát các Lefschetz pencil, cụ thể là thông qua việc mô tả tô

Lef-pô của thớ tổng quát và mô tả các toán tử đơn đạo quanh các thớ đặc biệt - mà ởđây chính là các thớ có kỳ dị, các tính chất tô pô của các đa tạp xạ ảnh đã được hiểukhá rõ ([10], [38], [36])

Với mảng đề tài thứ hai, như nhiều chuyên gia trong lĩnh vực đã nhận xét, tìnhhình là rất khác Còn nhiều câu hỏi về các đa tạp affine và các ánh xạ đa thức vẫnchưa có câu trả lời, ngay cả cho trường hợp hai biến

Cái tương tự của Lefschetz pencil trong trường hợp affine là phân thớ Milnortoàn cục Từ một kết quả rất tổng quát của R Thom ([43]), nếu f là một ánh xạ đathức từ một tập đại số không kỳ dị V vào không gian Ck thì f xác định một phânthớ tầm thường địa phương lớp C∞ ngoài một tập đại số B của không gian đích Ck

Đó là phân thớ Milnor toàn cục Do tính không compact của không gian Cn, ở đâyxuất hiện một hiện tượng mà ta không gặp khi nghiên cứu Lefschetz pencil, đó là

hiện tượng kỳ dị ở vô hạn Một thớ f−1(t0) là thớ đặc biệt không chỉ vì nó chứa mộtđiểm kỳ dị, mà còn do ánh xạ f không xác định một phân thớ tầm thường trongmọi lân cận của điểm vô hạn của thớ f−1(t0) Bởi vậy, ngoài các giá trị tới hạn, tập

Bcòn chứa các giá trị tới hạn tại vô hạn.

Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục cho việc nghiên cứu các tính chất tô pôcủa các tập đại số affine, một trong những bài toán đầu tiên cần phải giải quyết là

Đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn.

Mặc dù trong khoảng gần 30 năm trở lại đây rất nhiều nhà toán học đã nghiêncứu bài toán này, nhưng cho đến nay đây vẫn còn là một bài toán mở Ngay cả khi

V là toàn bộ Cn và f là ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta vẫn chưa biết cách trảlời, ngoại trừ đối với một ít trường hợp đặc biệt mà ta sẽ liệt kê dưới đây

Khi V = C2 và k = 1, tức là f là một đa thức hai biến phức, các giá trị tới hạn tại

vô hạn được đặc trưng theo nhiều cách khác nhau Đầu tiên là kết quả của Hà HuyVui – Lê Dũng Tráng ([45]) và M Suzuki ([42]), nói rằng giá trị t là giá trị tới hạntại vô hạn của f khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ f−1(t) khác đặc trưng Euler

của thớ tổng quát Sau đó Hà Huy Vui ([44]) đưa ra khái niệm số mũ Lojasiewicz

tại vô hạn của thớvà chứng minh ba điều kiện sau là tương đương:

(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;

(ii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f−1(t) nhỏ hơn 0;

(iii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f−1(t) nhỏ hơn −1

Nói cách khác, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu và chỉ nếu điều kiện

Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange của đa thức tại t không được thỏa mãn.

Khi V = Cn, n > 2 và k = 1, trong [30] M Tibar chỉ ra rằng tiêu chuẩn thôngqua đặc trưng Euler nói chung không còn đúng Cũng bằng các ví dụ cụ thể, L.Paunescu và A Zaharia ([32]) đã chứng tỏ rằng các đặc trưng thông qua số mũLojasiewicz như trong trường hợp hai biến là không còn đúng

A Parusinski đã thực hiện được một bước đột phá khi tìm cách khai thác đượcmột ưu điểm cơ bản của trường hợp các ánh xạ từ C2 vào C, đó là tất cả các đa thức

hai biến chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn Trong [24], với giả thiết đa thức f : Cn → Cchỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn và n là tùy ý, A Parusinski đã chứng minh được rằng

ba điều kiện sau là tương đương:

(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;

(ii) đặc trưng Euler của thớ f−1(t) khác đặc trưng Euler của thớ tổng quát;(iii) số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f−1(t) nhỏ hơn −1

Luận án này tìm cách khai thác một ưu điểm khác của trường hợp các ánh xạ

từ C2 vào C: thớ tổng quát có chiều phức bằng một Trong luận án này chúng tôi

nghiên cứu các cấu xạ từ M vào N, với M, N là các tập đại số không kỳ dị vàdimM = dimN + 1 Điểm chung của các ánh xạ này với các đa thức hai biến là thớtổng quát đều là các đường cong Với điều kiện này ta hy vọng rằng các kết quả củatrường hợp C2 vào C có thể mở rộng được cho lớp các ánh xạ đang xét

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại

vô hạn của các ánh xạ trong các tình huống sau:

1 Các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1;

2 Hạn chế của một đa thức trên một mặt đại số không kỳ dị trong Cn;

3 Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức là các ánh xạ có dạng gf : C2\ {g = 0} → Cvới f , g là những đa thức hai biến phức

Một nội dung khác của luận án là đưa ra mối quan hệ giữa tập các giá trị tới hạntại vô hạn của một ánh xạ đa thức với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giátrị mà tại đó ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame

Luận án gồm 3 Chương và 1 Phụ lục

Chương 1 gồm hai phần Trong phần đầu, chúng tôi giới thiệu bài toán đặc trưngcác giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết Kết quảchính của Chương 1 được trình bày trong phần thứ hai Theo định lý của Hà HuyVui - Lê Dũng Tráng và M Suzuki, có thể đặc trưng các giá trị tới hạn của đa thứchai biến thông qua một bất biến tô pô là đặc trưng Euler Kết quả chính của chươngnày nói rằng, nếu F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ

là một chiều thì một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi địaphương tại t0 thì F xác định một phân thớ tầm thường tô pô Như vậy, nếu F là một

cấu xạ có thớ một chiều (phức) thì về bản chất, bài toán đặc trưng các giá trị tới hạntại vô hạn của F vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của Fcho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.Kết quả chính của Chương này được trình bày trong bài báo [28] Định lý chínhcủa Chương là như sau:

tập đại số phức không kỳ dị sao cho dimM = dimN + 1 và t0 ∈ N là một giá trị

chính qui của F Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0 và một

vi phôiΦ : F−1(D) → F−1(t0) × D sao cho sơ đồ

Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại

vô hạn của các ánh xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp sau:(a) F = (F1, F2, , Fn−1) : Cn

→ Cn−1 là một ánh xạ đa thức;

(b) F = g|V là hạn chế của hàm đa thức g : Cn → C lên V, trong đó V ⊂ Cn làmột mặt đại số không kỳ dị, tức là V = {x ∈ Cn : g1(x) = g2(x) = · · · = gn−2(x) = 0}

là tập đại số không kỳ dị và dimCV = 2

Cho t0 là một giá trị chính qui của F Khi đó, với mọi t đủ gần t0 thớ F−1(t) làmột tập đại số phức một chiều không kỳ dị

Hàm tuyến tính L : Cn → C được gọi là một phép chiếu tốt đối với t0 nếu tồn tạilân cận đủ nhỏ D của t0 sao cho với mọi t ∈ D ta có

đó V ⊂ Cn là một mặt đại số không kỳ dị và g là một đa thức n biến Cho t0 là một giá trị chính qui của F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F−1(t0) lớn hơn đặc

trưng Euler của thớ tổng quát.

Các Định lý này cho phép mô tả sự thay đổi tô pô giữa thớ tổng quát và thớ ứngvới kỳ dị tại vô hạn

Cho V là một tập con của Cn Ta định nghĩa một phép gắn k đoạn lên V là một

ánh xạ liên tục φ : U := ∪i =1, ,k[ai, bi] → Cn thỏa mãn

• φ((ai, bi)) vi phôi với (0, 1),

• φ(ai) = φ(a1) với mọi i,

• với mọi a , b ta có φ(a) , φ(b) hoặc a, b ∈ {ai, i = 1, , k},

• φ(U) ∩ V = {φ(b1), , φ(bk)}

Đặt V0 = V ∪ φ(U) Ta nói rằng V0

nhận được từ V bởi một phép gắn k đoạnthẳng

Định lý (xem Định lý 2.3.7) Cho F là cấu xạ được xác định như trong một trong

hai trường hợp (a) hoặc (b) Cho t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, sai khác một tương đương đồng luân thì thớ tổng quát F−1(t) nhận được từ thớ đặc biệt F−1(t0) sau s phép gắn, trong đó

s là số điểm tới hạn của Lt chạy ra vô hạn khi t → t0.

Cũng trong chương này chúng tôi đưa ra các ví dụ chứng tỏ các tiêu chuẩn thôngqua các số Lojasiewicz của một giá trị tới hạn tại vô hạn mặc dù đúng với trườnghợp ánh xạ từ C2 vào C, nhưng sẽ không còn đúng với các trường hợp (a) và (b).Nội dung của Chương 2 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([33], [34]).Trong Chương 3 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại

vô hạn của các hàm hữu tỷ hai biến phức

Cho P : Cn → C là một ánh xạ đa thức và z ∈ Cn là một điểm kỳ dị cô lập của

P Khi đó, số Milnor của P tại z được định nghĩa là

µz(P) := dimCOz/(∂P

∂x1, ,

∂P

∂xn),với Oz là vành các chuỗi lũy thừa hội tụ tại z và (∂x∂P

g: C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong đó f, g ∈ C[x, y] không

có nhân tử chung khác hằng Theo Định lý phân thớ Thom hàm hữu tỷ F cũng làmột phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞ bên ngoài một tập hữu hạn B(F) ⊂ C.Đặt A(F) := {(x, y) ∈ C2 : f (x, y) = g(x, y) = 0} Ký hiệu K0(F) là tập các giátrị chính qui của F và K1(F) là tập hợp các giá trị t0 ∈ C \ K0(F) sao cho tồn tại

p ∈ A(F) để µp( f − t0g) , µp( f − tg) với mọi t khác và đủ gần t0

Định lý (xem Định lý 3.2.9) Cho F = f

g : C2\{g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong

đó f , g ∈ C[x, y] không có nhân tử chung khác hằng Giả sử t0 ∈ C\(K0(F)∪ K1(F))

sao cho deg( f − t0g) = max{deg f, deg g} Khi đó, hai khẳng định sau là tương

deg( f − t0g) = degx( f − t0g) = max{deg f, deg g}

Khi đó t0 ∈ B∞(F) khi và chỉ khi χ({ f − t0g = 0}) > χ({ f − tg = 0}), với mọi t đủ

f, g ∈ C[x, y] và deg f > deg g Cho t0 ∈ C \ (K0(F) ∪ K1(F)) Khi đó, các khẳng

định sau là tương đương:

(i) t0 ∈ B∞(F);

(ii) F không thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t0;

(iii) F không thỏa mãn điều kiện M-tame tại t0.

Chương 3 được viết dựa trên bài báo [29]

Trong phần Phụ lục chúng tôi đưa ra một quan hệ giữa tập các giá trị tới hạn tại

vô hạn với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị mà tại đó ánh xạ khôngthỏa mãn điều kiện M-tame

Cho F : Cn → Cm là một ánh xạ đa thức Nhắc lại rằng B∞(F) là tập các giá trịtới hạn tại vô hạn và K0(F) là tập các giá trị tới hạn của F

Với mỗi ánh xạ tuyến tính A : Cn → Cm đặt ν(A) := inf{ ω∈C m :kωk =1}kAωk Kýhiệu K∞(F) là tập hợp các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại một dãy xl → ∞ thỏa mãnF(xl) → t và kxlk ·ν(dF(xl)) → 0 Các phần tử của K∞(F) được gọi là các giá trị

tới hạn tiệm cậncủa F

Ánh xạ F được gọi là M-tame tại t ∈ Cmnếu không tồn tại dãy {pk}∞k=1 sao cho

trong đó J(F) là ma trận Jacobi của F Ký hiệu M∞(F) là tập hợp các giá trị t ∈ Cm

mà F không là M-tame tại t

B(F) ⊆ K0(F) ∪ M∞(F) ⊆ K0(F) ∪ K∞(F)

Cho đa thức f (x) = Pβ∈Zn

≥0cβxβ Ký hiệu supp( f ) = {β | cβ , 0} Đa diện Newton

Γ−( f ) được định nghĩa là bao lồi của tập {(0, 0, , 0)} ∪ supp( f ) ⊂ Rn Ký hiệuΓ( f ) là hợp của các mặt đóng của Γ−( f ) mà không chứa (0, 0, , 0) ∈ Rn Với mỗimặt γ đặt

fγ = X

β∈γ

cβxβ

Gọi supp( f ) là tổ hợp lồi của tập supp( f ) \ {0} Một mặt đóng∆ của supp( f ) được

gọi là xấu nếu:

(i) gốc tọa độ thuộc không gian affine nhỏ nhất chứa∆, và

(ii) tồn tại một siêu phẳng H = {x ∈ Rn : a1x1+ a2x2 + · · · + anxn = 0}, sao cho:(iia) tồn tại i và j để ai · aj < 0, và

(iib) H ∩ supp( f ) = ∆.

Về mặt hình học, điều kiện (iia) có nghĩa là siêu phẳng H có điểm chung với Rn+

Ta ký hiệu B( f ) là tập hợp các mặt xấu của supp( f )

Cho F = (F1, F2, , Fm) : Cn

→ Cmlà một ánh xạ đa thức Ánh xạ F được gọi

là không suy biến (theo đa diện Newton) nếu

{a : rank(J((Fi)γi)(a) < m} ∩ (C∗)n = ∅với mọi i= 1, , n và với mọi mặt đóng γi củaΓ(Fi)

Giả sử∆ = (∆1, ∆2, , ∆m), trong đó∆i ∈ B(Fi), ∀i= 1, , m Ký hiệu Σ0

0(F∆)

là tập hợp tất cả các giá trị (F1∆1(z0), F2∆2(z0), , Fm∆m(z0)) ∈ Cmmà z0 ∈ (C∗)n vàrank(J((Fi)γ i)(z0)) < m Đặt

Chương 1

Giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ

giữa các tập đại số phức với thớ một chiều

Chương này bắt đầu bằng việc nhắc lại các kết quả đã biết về bài toán đặc trưngcác giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ phức Một điều đáng chú ý là trong tất

cả các trường hợp đã biết, các giá trị tới hạn tại vô hạn đều được đặc trưng qua mộtbất biến tô pô là số Euler Kết quả chính của Chương là Định lý 1.2.1, nói rằng nếu

F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ là một chiều thì mộtgiá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi F xác định một phân thớtầm thường tô pô trong một lân cận nào đó của t0 Như vậy về bản chất, đối với cấu

xạ có thớ một chiều (phức), bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn vẫn còn

là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liêntục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi

1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn

Trong mục này, ta giới thiệu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn củacác cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết

khả vi Ánh xạ F được gọi là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞ nếu với

mọi t ∈ M2, tồn tại lân cận D của t và vi phôiΦ : F−1(D) → F−1(t) × D sao cho sơ

đồ sau giao hoán

M2 được gọi là một cấu xạ nếu tồn tại một ánh xạ đa thức h : Cn → Cm, sao choF(a) = h(a) với mọi a ∈ M1

F : M → N là một cấu xạ Khi đó, tồn tại tập đại số A ⊂ N với dimA < dimN sao

cho ánh xạ hạn chế

F : M \ F−1(A) → N \ A

xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞.

Ký hiệu B(F) là tập nhỏ nhất trong các tập A nói trên Các phần tử của B(F)

được gọi là các giá trị rẽ nhánh của F.

của F và giá trị tới hạn tương ứng là F(0, 0) = 0 Ta thấy F−1

Vậy B(F) = {0}.

đóng BR đồng phôi với F−1(0) ∩ BR nhưng F−1(t) \ BR và F−1(0) \ BR có số thànhphần liên thông khác nhau Ở đây, sự khác biệt về tô pô giữa F−1(t) và F−1(0) "xảyra" trong lân cận của điểm vô hạn

F : M1 → M2 là một cấu xạ và t0 ∈ M2

(i) Ta nói rằng t0 là một giá trị chính qui tại vô hạn của F nếu tồn tại một tập

compact K trong Cn và tồn tại lân cận D của t0 trong M2 sao cho ánh xạ hạn chế

F: F−1(D) \ K → Dxác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞

(ii) Giá trị t0 được gọi là giá trị tới hạn tại vô hạn của F nếu t0 không phải là giátrị chính qui tại vô hạn của F

Ta ký hiệu K0(F) là tập các giá trị tới hạn và B∞(F) là tập các giá trị tới hạn tại

vô hạn của F Khi đó

B(F) = K0(F) ∪ B∞(F)

Nói cách khác, tập các giá trị rẽ nhánh bao gồm:

(i) các giá trị tới hạn của F;

(ii) các giá trị tới hạn tại vô hạn của F

Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các cấu xạ F : M → N giữa các tập đại sốkhông kỳ dị, theo một nghĩa nào đó, là nghiên cứu phân thớ

F : M \ F−1(B(F)) → N \ B(F)

Bởi vậy, một trong những vấn đề đầu tiên cần được giải quyết là:

Cho tới nay đây vẫn còn là một bài toán mở Ta chỉ có câu trả lời cho một sốtrường hợp riêng.

giá trị chính qui của F Khi đó t0 ∈ B∞(F) khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ

F−1(t0) khác đặc trưng Euler của thớ F−1(t) với mọi t đủ tổng quát.

là tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại dãy {xk}∞k=0 ⊂ Cn, xk → ∞, thỏa mãnF(xk) → t và k grad F(xk)k → 0 Ta nói rằng F thoả mãn điều kiện Fedoryuktại t nếu t < eK∞(F)

tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại dãy {xk}∞

k =0 ⊂ Cn, xk → ∞, thỏa mãn F(xk) → t

và kxkk · k grad F(xk)k → 0 Ta nói F thoả mãn điều kiện Malgrange tại t nếu

t < K∞(F)

là tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại các dãy {λk}∞k=0 ⊂ C và {xk}∞k=0 ⊂ Cn thỏa mãn

xk → ∞, F(xk) → t và grad F(xk) = λkxk Tương tự, ta nói F thoả mãn điều kiệnM-tame tại t nếu t < M∞(F)

các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 ∈ B∞(F);

(ii) t0 ∈ eK∞(F);

(iii) t0 ∈ K∞(F);

(iv) t0 ∈ M∞(F)

Nhận xét 1.1.14 Bằng các ví dụ cụ thể, M Tibar ([30]), L Paunescu và A Zaharia

([32]) chỉ ra rằng các Định lý 1.1.9 và 1.1.13 nói chung không còn đúng đối với các

đa thức F : Cn → C, n ≥ 3 Tuy nhiên, Parusinski ([24]) đã chứng tỏ rằng các định

lý đó vẫn còn đúng đối với các đa thức "chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn"

Cho F : Cn → C là một đa thức bậc d, F = Fd + Fd−1 + · · · + F0, trong đó Fj làthuần nhất bậc j Đặt

của F Giả sử F chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) Giá trị t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F;

(ii) χ(F−1(t0)) , χ(F−1(t)), với mọi t khác và đủ gần t0;

Định nghĩa 1.1.19 ([15, 26, 13]) Cho F : Cn → Cm là một ánh xạ đa thức Giá trị

t0 ∈ Cm được gọi là một giá trị tới hạn tiệm cận của F nếu tồn tại một dãy xl → ∞sao cho F(xl) → t và kxlk ·ν(dF(xl)) → 0 Ký hiệu K∞(F) là tập các giá trị tới hạntiệm cận của F

Đặt K(F) := K0(F) ∪ K∞(F) Ta gọi K(F) là tập các giá trị tới hạn suy rộng của

F

hạn suy rộng trong định nghĩa trên trùng với các khái niệm được nêu ra trong Địnhnghĩa 1.1.11

Định lý sau chứng tỏ rằng giá trị tới hạn tại vô hạn của F được chứa trong tậpcác giá trị tới hạn suy rộng của F

B(F) ⊆ K(F)

1.2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô

hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều

Cho F : M → N là một cấu xạ, trong đó M, N ⊂ Cn là các tập đại số không kỳ

dị và dimCM = dimCN+ 1

Trong mục này, ta sẽ đưa ra một nhận xét về bài toán đặc trưng các giá trị tới hạncủa F Kết quả chính của mục này là

không kỳ dị sao chodimCM = dimCN + 1 và t0 ∈ N là một giá trị chính qui của F.

Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0 và một

vi phôiΦ : F−1(D) → F−1(t0) × D sao cho sơ đồ

Nhận xét 1.2.2 Khi F là một đa thức hai biến phức, theo Định lý 1.1.9, có thể phân

biệt được thớ tổng quát của F với thớ tại các giá trị tới hạn tại vô hạn thông qua mộtbất biến tô pô đơn giản là đặc trưng Euler Khi F là một cấu xạ giữa các tập đại sốphức và thớ tổng quát là một chiều, Định lý 1.2.1 chỉ ra rằng, về bản chất, bài toánđặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầmthường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởicác ánh xạ khả vi

Cho ánh xạ liên tục h : X → Y Một đồng luân của h là một ánh xạ liên tục

H : X × [0; 1] → Y, sao cho H(x; 0) = h(x) với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phân thớ, hay một

cách tương đương, có tính nâng đồng luân, nếu với mọi đa diện X và với bất kỳ ánh

xạ liên tục h : X → E, mọi đồng luân Φ của π ◦ h nâng được thành một đồng luâncủa h, tức là, tồn tại đồng luân H của h để lược đồ sau giao hoán:

Định nghĩa 1.2.4 ([17]) Cho X, Y là các không gian tô pô Hai đồng luân

H, H0

: X × [0; 1] → Y

được gọi là có cùng mầm nếu chúng đồng nhất bằng nhau trong một lân cận của

X × {0}

Định nghĩa 1.2.5 ([17]) Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phép ngập

đồng luân , hay có tính nâng mầm đồng luân, nếu với mọi đa diện X và mọi ánh xạ

liên tục h : X → E, mỗi mầm đồng luân của π ◦ h đều nâng được thành mầm đồngluân của h

Định nghĩa 1.2.6 ([17]) Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phép ngập

đồng luân địa phương nếu với mọi x ∈ E tồn tại lân cận U(x) ⊂ E sao cho ánh xạhạn chế π|U(x) là một phép ngập đồng luân từ U(x) lên π(U(x))

mọi x ∈ V1, ánh xạ vi phân d fx : TxV1 → Tf (x)V2 là một toàn ánh

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn kiểm tra khi nào một ánh xạ mở là một phépngập đồng luân

Bổ đề 1.2.8 ([17], Bổ đề 6) Cho ánh xạ mở π : E → B Giả sử π là một phép ngập

đồng luân địa phương Khi đó π là một phép ngập đồng luân.

Giả sử f là một phép ngập Khi đó f là một phép ngập đồng luân.

Chứng minh. Vì f là một phép ngập, nên f là ánh xạ mở và địa phương tại mọiđiểm x ∈ V1, có thể coi f như là một phép chiếu Do đó, tồn tại một lân cận U của

xđể f|U là một phép ngập đồng luân Bởi vậy, theo Bổ đề 1.2.8, f là một phép ngập

Định nghĩa 1.2.10 Ánh xạ liên tục f : X → Y được gọi là một tương đương đồng

luân yếunếu các ánh xạ cảm sinh lên các nhóm đồng luân

f∗ : π∗(X) → π∗(Y)

là các đẳng cấu

Bổ đề 1.2.11 ([17], Hệ quả 15) Cho lược đồ giao hoán các ánh xạ liên tục

Bổ đề chính mà ta sử dụng trong mục này là như sau

Bổ đề 1.2.12 ([17], Hệ quả 32) Cho ánh xạ khả vi π : E → B, trong đó E, B là các

đa tạp trơn vàdimRE = dimRB+ 2 Giả sử π thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) π là một toàn ánh;

(ii) π là một phân thớ;

(iii) π là một phép ngập.

Khi đó, π là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞.

Chứng minh Định lý 1.2.1. (i) ⇒(ii): Hiển nhiên

(ii) ⇒(i): Giả sử F là tầm thường tô pô địa phương tại t0, tức là tồn tại một lâncận D của t0 và một đồng phôiΦ : F−1(D) → F−1(t0) × D, sao cho lược đồ sau giaohoán:

Thêm nữa, với mọi t ∈ D ánh xạ hạn chế

Bổ đề 1.2.12 F là tầm thường địa phương lớp C∞ tại t0 

phức không kỳ dị vàdimCM = dimCN + 1 Cho t0 ∈ N là một giá trị chính qui của

F Khi đó, t0 là giá trị chính qui tại vô hạn nếu và chỉ nếu tồn tại một quả cầu đủ nhỏ D có tâm là t0 sao cho với mọi t ∈ D phép nhúng của thớ F−1(t) vào F−1(D) là

một tương đương đồng luân yếu.

Chứng minh của Định lý dựa trên

Bổ đề 1.2.14 ([17], Hệ quả 13) cho π : E → B là một phép ngập đồng luân và là

một toàn ánh Nếu phép nhúng của mỗi thớ của π vào E là một tương đương đồng luân thì π là một phân thớ.

Chứng minh Định lý 1.2.13. Giả sử t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F Khi đótồn tại một lân cận D của t0 sao cho ánh xạ hạn chế F|F−1 (D) là tầm thường địaphương lớp C∞ Không mất tính tổng quát, có thể giả sử D là quả cầu tâm tại t0 Dễdàng kiểm tra được rằng phép nhúng của mỗi thớ F−1(t) vào F−1(D) là một tươngđương đồng luân yếu

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử D là quả cầu tâm tại t0 để phép nhúng củamọi thớ F−1(t) vào F−1(D) là một tương đương đồng luôn yếu Theo Bổ đề 1.2.14ánh xạ F : F−1(D) → D là một phân thớ Khi đó, theo Bổ đề 1.2.12, F xác địnhmột phân thớ tầm thường trên D 

Ta biết rằng đối với hàm đa thức f : C2 → C một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại

vô hạn của f nếu và chỉ nếu

(i) (điều kiện qua đặc trưng Euler) χ( f−1(t0)) , χ( f−1(t)) với mọi t đủ tổng quát(Định lý 1.1.9), hoặc

(ii) (điều kiện qua số Lojasiewicz) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ tại t0nhỏ hơn

0, hoặc nhỏ hơn −1, hay một cách tương đương, f không thỏa mãn điều kiệnFedoryuk hoặc điều kiện Malgrange tại t0 (Định lý 1.1.13)

Điểm chung giữa các ánh xạ F ở (a), (b) và các đa thức hai biến là thớ của chúng

là các đường cong Bởi vậy, hy vọng rằng có thể mở rộng được các kết quả trongtrường hợp đa thức hai biến cho các cấu xạ đang xét Hai vấn đề được quan tâmtrong Chương này là:

(1) Mở rộng kết quả về điều kiện qua đặc trưng Euler của bài toán đặc trưng cácgiá trị tới hạn tại vô hạn trong trường hợp đa thức hai biến cho các lớp cấu xạđang xét;

(2) Đối với các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1, tìm một tương tự cho kết quả vềđiều kiện qua số Lojasiewicz để một giá trị cho trước là giá trị tới hạn tại vôhạn

Các kết quả chính của chương này bao gồm:

(i) Nếu tồn tại "phép chiếu tốt đối với giá trị t0", thì t0 là giá trị tới hạn tại vô hạncủa F khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F−1(t0) khác đặc trưng Euler củathớ tổng quát Kết quả này có thể xem là sự mở rộng của Định lý 1.1.9 sangcác tình huống (a) và (b)

Mặt khác, các ví dụ chứng tỏ rằng kết quả đó không còn đúng khi không tồntại phép chiếu tốt, ngay cả khi thớ của cấu xạ có chiều bằng một

(ii) Đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng không có một mở rộng tự nhiên cho các đặc trưngthông qua số Lojasiewicz của các giá trị tới hạn tại vô hạn cho các ánh xạ đathức từ Cn vào Cn−1

(iii) Trong trường hợp tồn tại phép chiếu tốt, mô tả cơ chế tạo nên sự thay đổi về tô

pô của thớ đặc biệt so với thớ tổng quát

2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn

Nội dung của mục này là đưa ra câu trả lời cho hai vấn đề (1) và (2) được nhắctới ở trên Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại khái niệm và một số kết quả liên quan tớibậc của ánh xạ và bội nghiệm của một hệ phương trình giải tích

Định nghĩa 2.1.1 Cho Sn là mặt cầu n chiều và cho ánh xạ liên tục f : Sn → Sn Ta

định nghĩa bậc của ánh xạ f , ký hiệu deg f , là giá trị f∗(1), trong đó f∗ là đồng cấucảm sinh:

f∗: Hn(Sn) = Z → Hn(Sn)= Z

Bậc ánh xạ là một bất biến đồng luân

và z0 là một nghiệm cô lập của hệ {gi = 0 : i = 1, , m} Ta định nghĩa bội của

nghiệm z0 của hệ {gi = 0 : i = 1, , m} là bậc của ánh xạ:

S → S1

z 7→ (g1(z), g2(z), , gm(z))k(g1(z), g2(z), , gm(z))ktrong đó  > 0 đủ nhỏ để z0 là nghiệm duy nhất của hệ trên trong B

là không suy biến thì bội của z0 bằng 1.

(ii) Nếu R > 0 sao cho SR không chứa nghiệm nào của hệ

{gi = 0 : i = 1, , m}

thì số nghiệm, đếm cả bội, của hệ đó trong BR, bằng bậc của ánh xạ

SR → S1

z 7→ (g1(z), g2(z), , gm(z))k(g1(z), g2(z), , gm(z))k

chiều trong Cn Nếu hạn chế

Chứng minh. Giả sử A1 và A2 là hai giá trị bất kỳ của hV Xét họ các ánh xạ

Vậy số nghiệm, đếm cả bội, của hV = A không phụ thuộc vào A

Theo Mệnh đề 2.1.3 (i), khi A1, A2 là các điểm chính qui của hV thì bội của cácnghiệm của hV = A1 và hV = A2 bằng 1 Từ đó ta có điều phải chứng minh 

Cho F là cấu xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp (a) và (b).Cho t0 là một giá trị chính qui của F Khi đó, với mọi t đủ gần t0 thì F−1(t) là mộttập đại số phức một chiều Với mọi ánh xạ tuyến tính L : Cn → C sao cho hạn chế

Lt := L|F −1 (t) : F−1(t) → C

là ánh xạ riêng ta có số #L−1t (A) không phụ thuộc vào giá trị chính qui A của Lt

(theo Bổ đề 2.1.4)

với t0 nếu tồn tại một lân cận đủ nhỏ D của t0 sao cho với mọi t ∈ D ta có

i) ánh xạ hạn chế Lt : F−1(t) → C là riêng và

ii) số dL(F−1(t)) := #L−1

t (A), trong đó A là một giá trị chính qui của Lt, khôngphụ thuộc vào t

Mệnh đề 2.1.6 Hai khẳng định sau là tương đương:

(i) Ánh xạ tuyến tính L là một phép chiếu tốt đối với t0;

(ii) Tồn tại một lân cận D của t0, sao cho với mọi dãy {pk}k ⊂ F−1(D) mà

limk→∞kpkk = ∞, thì limk→∞|L(pk)| = ∞

Chứng minh Trường hợp (a): Giả sử F = (F1, F2, , Fn−1) : Cn

→ Cn−1 là mộtánh xạ đa thức Với t0 = (t0

và t∗ ∈ Dδ(t0)

Vì L là một phép chiếu tốt nên giá trị d := dL(F−1(t)) không phụ thuộc vào

t ∈ Dδ(t0) Vì Lt∗ = L|F −1 (t ∗ ) là ánh xạ riêng nên số nghiệm, đếm cả bội, của Lt∗ = a∗

Φτ : Sr → S2n−11

Φτ(x) = (F(x) − t∗ + τ(t∗ − t), L(x) − a∗+ τ(a∗− a))

k(F(x) − t∗ + τ(t∗ − t), L(x) − a∗+ τ(a∗− a))k.Vì

min

S r

k(F − t∗, L − a∗)k > 0nên khi kt − t∗kvà ka − a∗k đủ nhỏ thì

min

S r

k(F − t∗ + τ(t∗ − t), L − a∗+ τ(a∗ − a))k > 0

Do đó,Φτ xác định một đồng luân giữa Φ0 và ánh xạ

Φ1 : Sr → S2n−11

Φ1(x) = (F(x) − t, L(x) − a)

k(F(x) − t, L(x) − a)k.Vậy deg(Φ1) = d

Ta có, với kt − t∗k và ka − a∗k đủ nhỏ, thì

d ≥ #(F−1(t) ∩ L−1(a)) ≥ deg(Φ1) = deg(Φ0) = d

Do đó

F−1(t) ∩ L−1(a) ⊂ Br.Tức là không thể tồn tại dãy {xk}, xk → ∞, L(xk) → a∗ và F(xk) → t∗

(ii)=⇒ (i): Cho L : Cn

→ C là một hàm tuyến tính và Dδ(t0) là lân cận của t0.Giả sử limk→∞|L(pk)| = ∞ với mọi dãy {pk}k ⊂ F−1(Dδ(t0)) mà limk→∞kpkk = ∞.Tức là ánh xạ hạn chế

là ánh xạ riêng với mọi t ∈ Dδ(t0)

Để chứng minh L là một phép chiếu tốt đối với t0 ta sẽ chứng tỏ rằng

dL(F−1(t))= dL(F−1(t0))với mọi t ∈ Dδ(t0)

Cho A là một giá trị chính qui của Lt0 Khi đó, với mọi t ∈ Dδ(t0) ta có

là bị chặn Bởi vậy, tồn tại quả cầu B để U ⊂ intB.

Lập luận tương tự như trên, ta dựng được đồng luân giữa các ánh xạ

Ψ0 : ∂B → S2n−11

Ψ0(x) = (F(x) − t0, L(x) − A)

k(F(x) − t0, L(x) − A)kvà

Bởi vậy dL(F−1(t)) = dL(F−1(t0)) với mọi t ∈ Dδ(t0)

mặt đại số V = {x ∈ Cn : g1(x) = g2(x) = · · · = gn−2(x) = 0} không kỳ dị Chứng

Các kết quả sau là một đặc trưng cho các giá trị tới hạn tại vô hạn của các ánh xạ

đa thức từ Cn vào Cn−1 và của các hàm đa thức xác định trên một mặt đại số không

kỳ dị

Định lý 2.1.7 Cho F = (F1, F2, , Fn−1) : Cn

→ Cn−1 là một ánh xạ đa thức và

t0 là một giá trị chính qui của F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi

đó, t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F−1(t0) lớn

hơn đặc trưng Euler của thớ tổng quát.

Chứng minh. Chọn L là một phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.6tồn tại lân cận Dδ của t0 sao cho ánh xạ hạn chế

L|F−1(D

δ ) : F−1(Dδ) → C

Ti không tự cắt, i = 1, , s(t), sao cho Ti ∩ Tj = A, i , j Mọi co rút biến dạngcủa C vào ∪i=0s(t)Ti đều có thể đươc nâng thành một co rút biến dạng của F−1(t) vào

Mỗi "cạnh" của "đồ thị" nối một "đỉnh" thuộc loại thứ nhất với một "đỉnh" thuộcloại thứ hai hoặc loại thứ ba Hơn nữa, mỗi "cạnh" mà có một "đỉnh" thuộc loại thứ

ba, đều có thể co rút biến dạng vào "đỉnh" còn lại (là "đỉnh" thuộc loại thứ nhất).Khi đó ta nhận được không gian tô pô mới, có cùng kiểu đồng luân với L−1t (∪s(t)i=0Ti)

"Đồ thị" tương ứng với không gian này có các "đỉnh" là

• d điểm của L−1t (A) ("đỉnh" loại 1);

• r(t) điểm x1(t), , xr(t)(t) ("đỉnh" loại 2)

Mỗi "cạnh" của "đồ thị" nối một "đỉnh" loại 1 với một "đỉnh" loại hai Với mỗi

i, gọi ρi(t) là số "cạnh" chứa "đỉnh" xi(t) (ρi(t) chính là bội của điểm xi(t) xét như lànghiệm của hệ L(x)= a, F(x) = t)

(F−1(Dδ) \ U(a)) ∩ ∪t∈D δΣt = ∅

nên với i = 1, , n, ta có thể dựng được một trường véc tơ trơn vi(x) trong

F−1(Dδ) \ U(a), sao cho

Ta sẽ chứng minh rằng có thể mở rộng khoảng xác định của φi(τ, x) ra toàn bộđĩa D = {t ∈ C : |t| < δ}

Thật vậy, bằng phản chứng, giả sử rằng φi(τ, x) không xác định trên toàn bộ D.Khi đó, tồn tại một điểm τ1 với |τ1| < δ sao cho φi(τ, x) → ∞ khi τ → τ1

Dễ thấy φi(τ, x) ∈ F−1(Dδ) và L(φi(τ, x)) = C Điều này mâu thuẫn với Mệnh đề2.1.6

Dòng φi(τ, x) cảm sinh một phép tầm thường hóa Φ của ánh xạ

F : F−1(Dδ) \ U(a) → Dδ,được xác định như sau

Φ : (F−1(t0) \ U(a)) × Dδ → F−1(Dδ) \ U(a)Φ(x, (t1, t2, , tn−1)) = φn−1

( , φ2(φ1(x, t1 − t01), t2− t02), , tn−1− t0n−1).Như vậy, ta đã chứng minh được:

(a) χ(F−1(t0)) ≥ χ(F−1(t)) với mọi t đủ tổng quát,

(b) t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi χ(F−1(t0)) > χ(F−1(t)), trong

đó F−1(t) là thớ tổng quát Chứng minh hoàn toàn tương tự định lý trên, ta nhận được

số không kỳ dị và g: Cn → C là một đa thức Cho t0 là một giá trị chính qui của F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F−1(t0) lớn hơn đặc trưng Euler của thớ tổng

quát.

Nhận xét 2.1.9 Đối với các đa thức hai biến, luôn tồn tại các phép chiếu tốt Do

vậy, các Định lý 2.1.7 và 2.1.8 là mở rộng của Định lý 1.1.9 cho các ánh xạ đượcxác định trong các trường hợp (a) và (b) Khi không tồn tại các phép chiếu tốt, cácđịnh lý trên không còn đúng (xem các ví dụ 2.1.10, 2.1.11)

a = yz(xyz + z − 1) + (xyz + 1)yz,

b = xz(xyz + z − 1) + (xyz + 1)xz,

c = xy(xyz + z − 1) + (xyz + 1)(xy + 1)

Khi đó điểm tới hạn của F là nghiệm của hệ

Ta có

F−1(t0) = {(−1/y, y, 1) | y ∈ C∗}và

F−1(t1, t2) = {((t1− 1)/y, y, zi) | y ∈ C∗, i = 1, 2}

với t = (t1, t2) ∈ C2 tổng quát, ở đây z1, z2 là các nghiệm của phương trình

t1(t1 − 1)z2 + z − (1 + t2) = 0

Do đó F−1(t0) đồng phôi với C∗ và với mọi t đủ tổng quát F−1(t) đồng phôi với

C∗q C∗ Vậy t0 là giá trị tới hạn vô hạn của F và χ(F−1(t0)) = χ(F−1(t)) với mọi t

trong đó Vt là thành phần liên thông tương ứng với {((t1 − 1)/y, y, zi) | y ∈ C∗} mà

zi → ∞ Tức là, có một thành phần của thớ F−1(t) "triệt tiêu ở vô hạn" khi t → t0(xem định nghĩa cho trường hợp thực trong [32], trường hợp phức là tương tự) Đây

là một hiện tượng mới và không xảy ra trong trường hợp đa thức hai biến phức

Ví dụ 2.1.11 Chọn

V = {(x, y, z) ∈ C3 : x2yz − x = 0},g(x, y, z) = z và F := g|V : V → C Dễ thấy V là mặt không kỳ dị và t0 := 0 là mộtgiá trị chính qui của F Ta có

F−1(t0)  Cvà

F−1(t)  C t C∗, t , 0

Do đó t0 ∈ B∞(F) và χ(F−1(t0)) = χ(F−1(t)), với mọi t đủ tổng quát

Ví dụ 2.1.14 chỉ ra rằng không có một mở rộng tự nhiên của Định lý 1.1.13cho các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 Nói cách khác, bao hàm thức trong Định

lý 1.1.21 nói chung không phải là đẳng thức đối với các ánh xạ đa thức từ Cn vào

bỏ đi hàng thứ j (nếu m= 1 ta đặt MJ( j)= 1) Khi đó, số Gaffney của A được định

nghĩa là

g(A) = (PI|MI|2)1/2

(P

J , j|MJ( j)|2)1/2,trong đó tổng ở tử lấy theo tất cả các tập con I có m phần tử của {1, 2, , m}, tổng ởmẫu lấy theo tất cả các tập con J có m − 1 phần tử của {1, 2, , m} và j= 1, , m

Mệnh đề sau nói rằng các giá trị tới hạn tiệm cận còn có thể được xác định thôngqua số Gaffney

K∞(F) = {t ∈ Cm | tồn tại một dãy xl → ∞, sao cho

F(xl) → t và kxlk · g(dF(xl)) → 0}

Ví dụ 2.1.14 Xét

F = (xy − 1, y2

z) : C3 → C2.Đặt t0 = (0, 0) Ta có

F−1(t0) = {(1/y, y, 0) : y ∈ C∗}và

Φ: F−1

(D) → F(0,0)× C

g2(dF) = 4|y4z2|+ |x2y4|+ |y6|

|y2|+ |x2|+ 4|y2z2|+ |y4|.Xét dãy

2.2 Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại của phép chiếu tốt

Cho A , ∅ là một tập con của Cn và x ∈ Cn Ta định nghĩa

Nhận xét 2.2.1 Khi F là một hàm đa thức thì bất đẳng thức Lojasiewicz luôn tồn

tại với số mũ α > 0 nào đó Trong trường hợp tổng quát điều đó không đúng

qui của F Giả sử tồn tại các số dương c, α và δ > 0 sao cho

kF(x) − t0k > c.d(x, F−1

(t0))α

với mọi x ∈ F−1(Dδ(t0)) Khi đó, tồn tại phép chiếu tốt đối với t0.

của F sao cho F−1(t) là một đường cong Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính đủ tổng

Với mỗi k chọn x0k ∈ F−1(t0) sao cho kxk− x0kk = d(xk, F−1(t0)) Ta có

Mâu thuẫn với (2.5) Định lý được chứng minh 

qui của F Giả sử

lim

k→∞

d(xk, F−1(t0))

kxkk = 0

với mọi dãy {xk}∞k=0 ⊂ F−1(Dδ(t0)) mà kxkk → ∞, ở đây Dδ(t0) là một lân cận nào

đó của t0 Khi đó, tồn tại phép chiếu tốt đối với t0.

Chứng minh. Đặt

Dt0 := {v ∈ Cn|v = lim

kxk→∞,x∈F −1 (t 0 )

xkxk}

Vì F−1(t0) là một đường cong nên Dt0 ⊂ S2n−1 có hữu hạn phần tử Ta chọn L saocho 0 < L(Dt 0) Khi đó Lt0 là một ánh xạ riêng

Ta sẽ chứng minh L là một phép chiếu tốt đối với t0 Thật vậy, cho dãy {xk}∞

k =0

trong F−1(Dδ(t0)) sao cho kxkk → ∞ khi k → ∞ Chọn ak ∈ F−1(t0) sao cho

kxk− akk = d(xk, F−1(t0)) Khi đó kakk → ∞, khi k → ∞ (nếu trái lại thì

d(xk, F−1(t0))

kxkk = kxk − akk

kxkk > kxkk − kakk

kxkk → 1

Trái với giả thiết) Từ đó ta có

Do kak −x k k

kxkk → 0 và L(v) , 0 với mọi giới hạn v của ak/kakk, nên tồn tại M > 0 để

|L(xk)| > M.kxkk.Bởi vậy, L(xk) → ∞ khi k → ∞ Tức là L là phép chiếu tốt đối với t0 

x0 ∈ Cn Ký hiệu Vx0 = {x ∈ Cn : F(x) = F(x0)} Ta định nghĩa số Lojasiewicz

Lx0(F) của F tại x0 là số nhỏ nhất trong các số v ∈ R thỏa mãn

kF(x) − F(x0)k > C · d(x, Vx 0)vvới mọi x trong lân cận đủ nhỏ của x0và số C > 0 nào đó Đặt L(F) := maxx 0Lx0(F)

là một ánh xạ đa thức Khi đó, tồn tại các hằng số l ∈ Q và c > 0, sao cho

→ Cn−1 là một ánh xạ đa thức Với mỗi i =

1, , n − 1, ta ký hiệu (Fi)d i là thành phần thuần nhất cao nhất của Fi, trong đó di

là bậc của Fi