Hệ thức VI-ET và ứng dụng

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm... Phương trình vô nghiệm.. Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5.. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Áp dụng bằng 1, tích

ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)

2/ Hãy tính x1+ x2, x1x2 .

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=

• Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 =

• Nếu ∆ < 0 phương trình vô nghiệm

2

a

2

; x

F.Viốte

1 Hệ thức vi- ét

Phrăng-xoa Vi-ột là nhà Toỏn học nổi tiếng người Phỏp (1540 - 1603) ễng đó phỏt hiện ra mối liờn hệ giữa cỏc nghiệm với cỏc hệ số của phương trỡnh bậc hai

Định lí vi- ét

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

phương trình ax 2 + bx + c= 0

(a≠0) thì

1 2

 + =−









b

x x

a c

x x

a

1 Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai

nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì

1 2

1 2

 + = −







b

x x

a c

x x

a

Hoạt Động nhóm

?2

?3

Cho phương trình 2x 2 - 5x+3 = 0 a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.

b) Chứng tỏ x 1 = 1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lớ Vi- ét để tìm x 2. .

?2

Cho phương trình 3x 2 +7x+4=0 a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phư

ơng trình và tính a b + c–

b) Chứng tỏ x 1 = – 1 là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x 2.

?3

Hoạt Động nhóm

Trả lời:

Phương trỡnh 2x 2 - 5x + 3 = 0 a/ a = 2 ; b = - 5 ; c = 3

a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0

?2

1 Hệ thức vi ét

a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là

hai nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì

 + = −







1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

b) Áp dụng :

Tổng quát 1 : Nếu phương trình

ax 2 +bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a+b+c=0

thì phương trình có môt nghiệm

x 1 =1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

b/ Với x 1 = 1 ta cú : 2.1 2 – 5.1 + 3 = 2- 5 + 3 = 0 Vậy x 1 = 1 là một nghiệm của phương trỡnh

=

c 3

a 2 ⇒ = x2 3

2

c/ Ta cú x 1 x 2 =

Hoạt Động nhóm

Trả lời

Phương trỡnh 3x 2 +7x + 4= 0 a/ a = 3 ; b = 7 ; c = 4

a – b + c = 3 - 7 + 4 = 0

?3

1 Hệ thức vi ét

a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai

nghiệm của phương trình ax 2 +

bx + c= 0 (a≠0) thì

Tổng quát 1 : Nếu phương trình

ax 2 +bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a+b+c=0

thì phương trình có môt nghiệm

x 1 =1, còn nghiệm kia là x 2 = c

a

Tổng quát 2 : Nếu phương trình

ax 2 +bx+c=0 (a≠0) có a-b+c = 0

thì phương trình có một nghiệm

x 1 = -1, còn nghiệm kia là x 2 = −c

a

 + = −







1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

b) Áp dụng :

b/ Với x 1 = -1 ta cú:

3.(- 1) 2 +7.(-1) + 4 = 0 Vậy x 1 = -1 là một nghiệm của phương trỡnh

x

c/ Ta cú x 1 x 2 =

?4 : Tính nhẩm nghiệm của phương trình

a/ - 5x 2 + 3x + 2 = 0;

b/ 2004x 2 + 2005x + 1 = 0

?4

b/2004x 2 + 2005x + 1 = 0

(a = 2004, b = 2005, c = 1)

Ta có :

a b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0–

a/ - 5x 2 + 3x + 2 = 0 (a = -5, b = 3, c = 2)

Ta có: a + b + c = - 5 + 3 + 2 = 0.

Vậy x 1 = 1, x2 = = − c 2

Giải

1 Hệ thức vi ét

Tổng quát 1 : Nếu phương trình

ax 2 +bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a+b+c=0

thì phương trình có môt nghiệm

x 1 =1, còn nghiệm kia là x 2 = c

a

Tổng quát 2 : Nếu phương trình

ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) có a-b+c = 0

thì phương trình có một nghiệm

x = -1, còn nghiệm kia là x = −c

a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai

nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì

 + =−









1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

Vậy x 1 =-1, x 2 = − = −c 1

b) Áp dụng :

1.Hệ thức vi ét

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Định lí Vi - ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì  + = −





1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

Áp dụng

1.Hệ thức vi ét

a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai

nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) thì

 + =−







1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

Tổng quát 1 : (SGK)

Tổng quát 2 : (SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và

tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình

x 2 – Sx + P = 0 (1) Điều kiện để

có hai số đó là S - 4P ≥ 0.

x(S x) = P–

Nếu Δ= S 2 - 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.

Giải :

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình : x 2 _ 27x + 180 = 0

Δ = 27 2 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

+ Gi s hai số có tổng b ng ả ử ằ S và tích bằng P S- x

Theo giả thiết ta có phương trình:

<=> x 2 - Sx + P= 0 (1)

Gọi một số là x thì số kia là

Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình : x 2 – x + 5 = 0 Δ= (-1) 2 – 4.1.5 = -19 < 0.

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5.

Vớ dụ 2 : Tớnh nhẩm nghiệm của phương trỡnh : x 2 – 5x + 6 = 0.

Vỡ 2 + 3 = 5; 2 3 = 6 Nờn x 1 = 2, x 2 = 3 là hai nghiệm của phương trỡnh đó cho.

Giải

1.Hệ thức vi ét

a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai

nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) thì

 + =−







1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

Tổng quát 1 : (SGK)

Tổng quát 2 : (SGK)

Nếu hai số có tổng bằng S và

tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình

x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có

hai số đó là S 2 - 4P ≥ 0

b) Áp dụng :

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Áp dụng

bằng 1, tích của chúng bằng 5.

?5

b/ áp dụng :

- Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) có a+b+c=0 thì phương trình có môt nghiệm x 1 =1, còn nghiệm kia là x 2 = c

a

- Nếu phương trình ax 2 +bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a-b+c=0 thì phương trình

có môt nghiệm x 1 = -1, còn nghiệm kia là x 2 = − c

a

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số

đó là S 2 – 4P ≥ 0

1.Hệ thức vi ét

a/ Định lí Vi - ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình

ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì  + = −





1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

a/ 35x 2 37x + 2 = 0 ;– c/ x 2 49x 50 = 0;– –

GIẢI

a/ 35x 2 – 37x + 2 = 0

Do a+b+c= 35 +(–37) +2

= 35 – 37 + 2 = 0

Nên : x 1 = 1 ; x 2 = c = 2

a 35

c/ x 2 – 49x – 50 = 0

Do a – b + c = 1- (- 49) + (– 50 ) = 1 + 49 – 50 = 0 Nên x 1 = – 1 ; x 2 = − =c 50

a

• Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-et trong giải phương trình bậc hai

• Làm bài tập 27,28; 29; 30; 31; 32 sgk

• Chuẩn bị ‘‘Luyện tập’’

( )

2

d/ Với m 1 ( m 1 x − ) 2 − ( 2m 3 x m 4 0 + ) + + = ≠

a = m – 1 ; b = – 2m – 3 ; c = m + 4

a + b + c = m – 1 – 2m – 3 + m + 4 = 0 2/ Bài tập 32 (SGK – 54)

c/ u – v = 5, u.v = 24

u + (– v) = 5, u.(– v) = – 24

u, (– v) là nghiệm của phương trình bậc hai X 2 – 5X – 24 = 0

Chóc c¸c em tiÕn bé h¬n trong häc tËp !