ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII (Long)

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau: AB CD= ⇔ »AB CD= » 2.. Đường kính đi qua điểm chính giữa của

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011

PHẦN I: LÝ THUYẾT

A HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Dạng tổng quát: ax by c

a ' x b ' y c '

+ =



 (với a, b, c, a’, b’, c’∈R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0)

II/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

1) Phương pháp thế:

- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ một phương trình của hệ rồi thay vào phương trình còn lại

- Bước 2: Giải phương trình một ẩn x (hoặc y)

- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình còn lại để suy ra giá trị của ẩn còn lại

- Bước 4: Kết luận

2) Phương pháp cộng đại số:

Chú ý: Hệ số của cùng một ẩn bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân.

B HÀM SỐ y=ax 2 (a≠0)

I/ Tính chất của hàm số y=ax 2 (a≠0):

1/ TXĐ: ∀x∈R

2/ Tính chất biến thiên:

* a>0 thì hàm số y=ax2 đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0

* a<0 thì hàm số y=ax2 đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0

3/ Tính chất về giá trị:

* Nếu a>0 thì ymin = 0 ⇔x=0 * Nếu a<0 thì ymax = 0 ⇔x=0

II/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a≠0):

1/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a≠0):

- Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng

- Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành Ox

2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax 2 (a≠0):

- Lập bảng giá trị tương ứng:

- Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ

- Vẽ (P) đi qua các điểm đó

III/ Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a≠0) và đường thẳng (d): y=mx+n:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y=ax2 và đường thẳng (d): y=mx+n là:

ax2= mx+n ⇔ ax2- mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt⇔phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆>0 (hoặc '∆ >0) 2/(P) tiếp xúc (d) ⇔phương trình (*) có nghiệm kép⇔ ∆=0 (hoặc '∆ =0)

3/(P) và (d) không có điểm chung ⇔phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆<0 (hoặc '∆ <0)

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

I/ Khái niệm ph trình bậc hai một ẩn số (x): là ph.trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (với a,b,c ∈R và a ≠0)

II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:

1 Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0:

ax2 + bx = 0 ⇔x.(ax+b)=0 ⇔

0 0

0

x x

b

a

=



=

 + =  = −

2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0:

* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax2 + c > 0 ∀x )

* Trường hợp c<0, ta có: ax2 + c = 0 ⇔ ax2 2

c x

x

a



= −





= − ⇔ = − ⇔



= − −





3 Dạng đầy đủ – Dạng ax + bx + c = 0 (với a, b, c 2 ≠0 :

- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c

- Bước 2: Lập ∆ = b2 - 4ac (hoặc ∆' = b'2 – ac) rồi so sánh với 0

I M

o

B A

o

B A

D

C

(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆(hoặc tính ∆')

- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:

C«ng thøc nghiÖm tổng quát C«ng thøc nghiÖm thu gän

∆ = b2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

b x

2 1

∆ +

−

a

b x

2 2

∆

−

−

=

- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

a

b x x

2 2 1

−

=

=

- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

∆' = b'2 - ac (víi b’ =

2

b

2b')

- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

b x

' ' 1

∆ +

−

a

b x

' ' 2

∆

−

−

=

- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

a

b x

x

' 2

- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)

III/ Định lí Vi-ét:

1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) th×:

1 2

1 2

b

a c

P x x

a

−

 = + =







2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh:

x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn: S2 - 4P ≥ 0)

3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):

*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = c

a

*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = c

a

−

* Chú ý: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×:

ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:

1/ Phương trình tích: ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

A x

A x B x

B x

=



= ⇔  =

2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)

- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế

- Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2

- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm

3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠0 )

+ Đặt : x2 = y ≥ 0 , ta có PT đã cho trở thành : ay2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trình (*)

+ Chọn các giá trị y thỏa mãn y≥0 thay vào: x2 = y ⇔x=± y

+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai:

+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có

+ Giải phương trình ẩn phụ

+ Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu

+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

D HÌNH HỌC

I Quan hệ cung và dây Góc với đường tròn:

1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,

hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau: AB CD= ⇔ »AB CD= »

2 Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

»MA MB=» ⇒IA IB=

3 Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy

o C

A

B

D

o

B A

C

A B

A

B

C

E

o

A B D

C F M

o

A B

C

B

o

A C

E

o

C

D

A

B

B

A

C

D

và ngược lại ằMA MB= ằ ⇔OM ⊥ AB

4 Đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy khụng đi qua tõm thỡ vuụng gúc với dõy ấy

và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau IA IB= ⇒OI ⊥AB MA MB;ằ = ằ

5 Đường kớnh vuụng gúc với một dõy thỡ đi qua trung điểm của dõy ấy và chia cung bị căng

ra hai phần bằng nhau OI ⊥AB⇒IA IB MA MB= ;ằ =ằ

6 Hai cung chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau AB CD/ / ⇒ ằAC BD=ằ

7 Số đo của gúc ở tõm bằng số đo của cung bị chắn ãBOC sd BC = ằ

8 Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn ã 1 ằ

2

=

9 Số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

ã 1 ằ

2

=

10 Trong một đường trũn :

a) Cỏc gúc nội tiếp bằng nhau chắn cỏc cung bằng nhau ãACB DFE=ã ⇒ằAB DE= ằ

b) Cỏc gúc nội tiếp cựng chắn một cung thỡ bằng nhau ãAMB ACB=ã (cựng chắn ằAB )

c) Cỏc gúc nội tiếp chắn cỏc cung bằng nhau thỡ bằng nhau ằAB DE=ằ ⇒ãACB DFE=ã

d) Gúc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o cú số đo bằng nửa số đo của gúc ở tõm cựng

chắn một cung ã 1ã

2

ACB= AOB (cựng chắn cung ằAB )

e) Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng và ngược lại, gúc vuụng nội tiếp

thỡ chắn nửa đường trũn ãACB=90o ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)

f) Gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung và gúc nội tiếp cựng chắn một cung thỡ bằng nhau

ãBAx BCA=ã ( cựng chắn cung AB)

11.Số đo của gúc cú đỉnh bờn trong đường trũn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

ã 1 (ằ ằ )

2

BED sd BD AC (gúc cú đỉnh bờn trong đường trũn)

12 Số đo của gúc cú đỉnh bờn ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

ã 1 (ằ ằ )

2

CED sd CD AB (gúc cú đỉnh bờn ngoài đường trũn)

II Tứ giác nội tiếp:

a) Tính chất: Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800

b) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc α

III Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung tròn:

- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2πR = πd - Độ dài cung tròn n0 bán kính R :

180

Rn

l=π

IV Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn:

- Diện tích hình tròn: S = πR2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: 2

R n lR

V C ỏc cụng thức hỡnh học khụng gian :

1 Hỡnh trụ: S xq = C đỏy h (Cđỏy: chu vi đỏy; h: chiều cao), S xq =2πr.h (r: bỏn kớnh đỏy)

V= S đỏy h (Sđỏy: diện tớch đỏy; h: chiều cao), V=πr 2 h (r: bỏn kớnh đỏy)

2 Hỡnh nún: S xq =πrl (l: đường sinh), V= 1

3S đỏy h , V=1

3 πr 2 h

3 Hình cầu: S xq =4π r 2 , V=4

3 πr 3 PHẦN II: BÀI TẬP

Dạng 1: Giải hệ phương trình.

a) 3x y 3

2x y 7

+ =



 − =

2x 5y 8 2x 3y 0

+ =



 − =

4x 3y 6 2x y 4

+ =



 + =

+ = −



 − = −

2 x 3 y 1





1 1

2

x 2 y 1

2 3

1

x 2 y 1







Dạng 2: Một số bài toán quy về giải hệ phương trình.

Bài 1: Tìm a, b: 1/ để hệ phương trình 2x by a

bx ay 5

− =



 + =

 có nghiệm (1;3).

2/ để hệ phương trình ax 2y 2

bx ay 4

+ =



 − =

 có nghiệm ( 2 ;- 2 ).

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(3;2).

Dạng 4: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax 2 (a≠0)

Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x2 và y= 1

2

− x2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Cho hàm số y=ax2 Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A(1;-1) Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó

Dạng 5: Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a≠0) và đường thẳng (d): y=mx+n:

Bài 1: Cho hàm số y=x2 (P) và y=3x-2 (d)

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số

c) Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3

Bài 2: Cho hàm số y=

2 6

x

(P) và y=x+m (d) a) Vẽ (P)

b) Tìm m để (P) và (d): - Cắt nhau tại hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Không có điểm chung

Dạng 6: Giải phương trình:

Bài 1: Giải phương trình: a) 2x2 + 5x = 0 b) x - 6x2 = 0 c) 2x2 + 3 = 0 d) 4x2 -1 = 0 e) 2x2 + 5x + 2 = 0 f) 6x2 + x + 5 = 0 g) 2x2 + 5x + 3 = 0 h) 25x2−20x 4 0+ =

Bài 2: Giải phương trình: a) 3x4 + 2x2 – 5 = 0 b) 2x4 - 5x2 – 7 = 0 c) 3x4−5x2− =2 0

d) 16 x3 – 5x2 – x = 0 e) ( 2 ) (2 2 )2

x + 3x 5 − − 2x 1 − = 0 f) − + = −

3x 2 6x 5

x 5 x 5 4 g) ( ) ( )

2

x 3x 5 1

x 3

x 3 x 2

−

7

16 2

1 2

−

− + x x

Bài 4: Giải phương trình: a) x – 7 x 8 0 − = b) x 5 5 x 1 0+ − − = c) ( 2 )2 ( 2 )

2x + x − 13 2x + + x 12 0 =

Dạng 7: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH:

Bài 1: Cho phương trình: x2−8x 15 0+ = , không giải phương trình hãy tính:

a) x1+x2 b) x x1 2 c) 2 2

1 2

x +x d) ( )2

1 2

1 2

2 1

x + x

Bài 2: Cho phương trình: x2+3x 15 0+ = , không giải phương trình hãy tính: a) x1+x2 b) x x1 2

Bài 3: a) Cho phương trình: x2 −2mx 5 0+ = có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại b)Cho phương trình: x2 +5x q 0+ = có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại

Dạng 8: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm:

Bài 1: Tìm hai số u và v biết:

a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u2+v2=61 và u.v=30

Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) x1=8 và x2 =3 b) x1=5 và x2 = −7

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai:

Bài 1: Cho phương trình: x2−2x m 1 0+ − = , tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm

d) Cú hai nghiệm trỏi dấu e) Cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món 2 2

x +x =

Bài 2: Cho phương trỡnh: 3x2−2x m 1 0− + = , tỡm m để phương trỡnh:

a) Cú nghiệm b) Cú hai nghiệm trỏi dấu c) Cú hai nghiệm dương

Dạng 10: Chứng minh phương trỡnh bậc hai luụn cú hai nghiệm phõn biệt (cú nghiệm kộp; vụ nghiệm) với mọi tham số:

Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trỡnh: x2−2x m− 2− =4 0luụn cú hai nghiệm phõn biệt ∀m

b) Chứng minh rằng phương trỡnh: x2−2 m 1 x m 4 0( + ) + − = luụn cú hai nghiệm phõn biệt ∀m

c) Chứng minh rằng phương trỡnh: x2+2 m 2 x 4m 12 0( + ) − − = luụn cú nghiệm∀m

d) Chứng minh rằng phương trỡnh: c x2 2+(a2− −b2 c x b2) + 2 =0vụ nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc

Dạng 11: Toỏn tổng hợp:

Bài 1: Cho phương trỡnh: x2−2 m 1 x 4m 0( + ) + =

a) Xỏc định m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú

b) Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 4 Tớnh nghiệm cũn lại

c) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu

d) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món: x1= 2x2

e) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món: x12+x22 =5

f) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 sao cho A= 2 2

2x +2x −x x đạt giỏ trị nhỏ nhất

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH

- Bước 1: Chọn ẩn (kốm theo đơn vị) và đặt điều kiện thớch hợp cho ẩn

- Bước 2: Biểu thị cỏc đại lượng chưa biết thụng qua ẩn và cỏc đại lượng đó biết

- Bước 3: Lập phương trỡnh (hệ phương trỡnh) biểu diễn sự tương quan giữa cỏc đại lượng

- Bước 4: Giải phương trỡnh (hệ phương trỡnh)

- Bước 5: Đối chiếu giỏ trị ẩn vừa tỡm được với ĐK và trả lời

A

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.

L u ý:+ Qđờng = Vtốc Tgian; Tgian = Qđờng : Vtốc; Vtốc = Qđờng : Tgian

+ v(xuôi)= v(riêng)+v(nớc); v(ngợc)= v(riêng)-v(nớc)

+ v(riêng)= [v(xuôi) + v(ngợc)]:2; v(nớc)= [v(xuôi) - v(ngợc)]:2

* Chú ý: - Vận tốc dòng nớc là vận tốc của đám bèo trôi, của chiếc bè trôi

- Vận tốc thực của canô còn gọi là vận tốc riêng (hay vận tốc của canô khi nớc yên lặng)

Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 36 km Khi đi từ B trở về A, người đú tăng vận tốc

thờm 3 km/h, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi là 36 phỳt Tớnh vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ

A đến B

Giaỷi: Gọi x (km/h ) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (ĐK: x > 0)

Khi đú: vận tốc của người đú khi đi từ B về A là : x + 3 (km/h)

Thời gian người đú đi từ A đến B là:

x

36

(h); Thời gian người đú đi từ B về A là:

3

36 +

x (h) Theo ủeà baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh: 36 36 3

3 5

+

Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x 2 + 3x - 180 = 0

Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 12 (thoả món điều kiện của ẩn)

x 2 = -15 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)

Vậy vận tốc của người đú đi từ A đến B là 12 km/h.

Bài 2: Hai thành phố A và B cỏch nhau 50km Một người đi xe đạp từ A đến B Sau đú 1giờ 30 phỳt,

một người đi xe mỏy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ Tớnh vận tốc của mỗi người

biết rằng vận tốc của người đi xe mỏy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h

Gọi x(km/h) là vận tốc của người đi xe đạp, ta cú phương trỡnh: 50 50 5

18 2

x - x+ =

Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chạy ngợc dòng từ B về A hết tổng thời gian

là 5 giờ Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là 5 km/h Tính vận tốc thực của

ca nô

Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nụ, ta có PT: 60

5

x+ +

60 5

x− = 5

Bài 4: Một xe mỏy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thờm 14km/giờ thỡ đến

sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thỡ đến muộn 1 giờ.Tớnh vận tốc dự định và thời gian dự định

Giải: Gọi thời gian dự định là x(h) và vận tốc dự định là y(km/h) (ĐK: x > 0, y > 0)

* Quóng đường AB dài là: x.y (km)

* Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thỡ thời gian đi sẽ tăng thờm 1 giờ nờn ta cú:

(x + 1)(y - 4) = x.y ⇔-4x + y = 4

* Nếu vận tốc tăng thờm 14km/h thỡ thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nờn ta cú:

(x - 2)(y + 14) = x.y ⇔14x - 2y = 28

Theo đề bài ta cú hệ phương trỡnh:

Vậy : Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/h.

Bài 5: Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km Sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A

hai ngời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h

Gọi x (h) là thời gian của ngời đi từ A đến C (ĐK: x> 0), ta cú phương trỡnh: 36

1

x− - x

42

=4

C

DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIấNG.

Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời

thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% khối lợng công việc Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu

Giải: Gọi x(giờ) là thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc.

Gọi y(giờ) là thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: x > 16; y > 16) Trong 1 giờ, ngời thứ nhất làm đợc:

x

1(công việc) ; Trong 1 giờ, ngời thứ hai làm đợc:

y

1

(công việc)

Trong 1 giờ, cả hai ngời làm đợc: 1

16 (công việc).

Theo đề bài ta có hệ phơng trình:













= +

= +

4

1 6 3

16

1 1 1

y x

y x

Giải hệ phơng trình ta đợc:







=

= 48

24

y

x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy: thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).

thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ).

Bài 2: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ 1

làm nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?

Giải : Gọi x( giờ ) là thời gian một mình tổ 1 sửa xong con đờng ( ĐK: x >4 )

Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )

Trong 1 giờ, tổ 1 sửa đợc:

x

1 ( con đờng ); Trong 1 giờ, tổ 2 sửa đợc:

6

1 +

x (con đờng ) Trong 1 giờ, cả hai tổ sửa đợc:

4

1 (con đờng ) Theo bài ra ta có hệ phơng trình:

x

1+

6

1 +

x =

4 1

Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: 2

x − x− =

Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 6 (thoả món điều kiện của ẩn)

x 2 = -4 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)

Vậy: một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày

một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày

Bài 3: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể (ban đầu khụng chứa nước) thỡ sau 6 giờ đầy bể Nếu chảy một

mỡnh cho đầy bể thỡ vũi I cần nhiều thời gian hơn vũi II là 5 giờ Hỏi nếu chảy một mỡnh để đầy bể thỡ mỗi vũi cần bao nhiờu thời gian ?

Gọi x( giờ ) là thời gian vũi II chảy một mỡnh đầy bể( ĐK: x >6 ) , phương trỡnh : 1

x 5+ +

1

x =

1 6

D

DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU.

Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú 180 học sinh đợc điều về thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn

chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn ?

Giải: Gọi số xe lớn là x (chiếc) (ĐK: x nguyên dơng).

Số xe nhỏ là: x + 2 ( chiếc )

Số học sinh mỗi xe lớn chở đợc là:

x

180

( Hs); Số học sinh mỗi xe nhỏ chở đợc là:

2

180 +

x ( Hs) Vì mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, do đó ta có phơng trình:

x

180

-

2

180 +

x = 15 Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x2+2x−24 0=

Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 4 (thoả món điều kiện của ẩn)

x 2 = -6 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)

Vậy số xe lớn là 4 chiếc

Bài 2: Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có 1 bạn

trong tổ đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho mỗi bạn đều bằng nhau Gọi x là số học sinh của tổ (x nguyờn và x>1), ta cú ph ơng trình : 56 56 1

1

−

Bài 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều nh nhau Nếu số

dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế

Gọi x(dãy) là số dãy ghế ban đầu, phơng trình: 400 360 1

1

+

Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân của

đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày

Gọi x là số cụng nhõn của đội (x nguyờn và dương), phơng trình:

x

420 -5

420 +

x = 7

E

DẠNG TOÁN Cể NỘI DUNG HèNH HỌC.

Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài

giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi

Bài 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m 2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy

Bài 3: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17.

Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ).

Ta có: cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm).

Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13cm, do đó ta có phơng trình:

x 2 + ( 17 - x ) 2 = 13 2 ⇔x 2 - 17x + 60 = 0 Giải PT trên ta đợc: x 1 = 12, x 2 = 5 ( thỏa mãn điều kiện )

Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lợt là 12 cm, 5 cm.

F

MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC.

Bài 1: Bạn Hải đi mua trứng gà và trứng vịt Lần thứ nhất mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết

10.000đ Lần thứ hai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt hết 9.600đ Hỏi giá một qủa trứng mỗi loại

là bao nhiêu?

Bài 2: Tổng số công nhân của hai đội sản suất là 125 ngời Sau khi điều 13 ngời từ đội thứ I sang đội thứ II thì

số công nhân của đội thứ I bằng 2/3 số công nhân đội thứ II Tính số công nhân của mỗi đội lúc ban đầu

BÀI TẬP HèNH HỌC:

Bài 1: Cho ∆ABC vuụng tại A (AB < AC), vẽ AH ⊥ BC Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, E là hỡnh

chiếu của C trờn AD Chứng minh:

a) Tứ giỏc AHEC nội tiếp, xỏc định tõm O của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc này b) ∆AHE cõn c) Biết BC = 2a, ACB = 300, tớnh theo a:

c1) Diện tớch xung quanh và thể tớch của hỡnh tạo bởi khi quay ∆ABC vuụng tại A quanh cạnh AB

c2) Diện tớch hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn AC, CH và cung AH của (O)

Bài 2: Cho đường trịn (O; 10cm) và điểm A nằm bên ngồi đường trịn Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB và

AC (B, C là tiếp điểm) sao cho gĩc BAC = 450

a) Tính độ dài các cung AB của đường trịn (O);

b) Tia CO cắt AB ở D, chứng minh: ∆BOD và ∆ACD là các tam giác vuơng cân;

c) Tính độ dài đoạn AC; d) Tính d.tích hình giới hạn bởi các đoạn AC, AB và cung BC của (O)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuơng tại A Đường phân giác gĩc C cắt AB tại E Kẻ AH vuơng gĩc với BC và

AK vuơng gĩc với CE, gọi I là giao điểm của AH và CE Chứng minh:

a/ Bốn điểm A, K, H, C cùng nằm trên một đường trịn Xác định tâm O của đường trịn

b/ OK vuơng gĩc AH c/ Tam giác AEI cân

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng 2a và góc B bằng 600 Trên cạnh AC lấy một điểm M ( M khác A;C) Vẽ đường tròn tâm I đường kính MC Đường tròn này cắt tia BM tại D và cắt cạnh BC tại điểm thứ hai là N

a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn

b Chứng minh DB là tia phân giác của góc ADN

c Khi tứ giác ABCD là hình thang , tính diện tích hình tròn tâm I theo a

Bài 5: Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn Kẻ đường cao AH Trên đoạn AH lấy điểm M Đường trịn tâm

O đường kính AM cắt AB ở D và AC ở E

a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp b) Chứng minh : ·AMD ABC=· c) Cm: AD.AB = AE.AC

d) Cho ·HAC=30o, AM= 3 cm Tính diện tích phần của hình trịn ( O) nằm ngồi tam giác AEM (lấy π= 3,14)

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O;R) Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ »AC Đường

thẳng AM cắt đường thẳng BC tại S

a) Chứng minh: ·SMC=·ACB b) Cm: AC 2 = AM.AS

c) Trường hợp Aˆ = 600 Tính độ dài ¼BAC , độ dài dây AB và d.tích phần h.trịn nằm ngồi ∆ABC theo R

Bài 7: Cho ∆ABC nội tiếp (O;BC2 ) cĩ AB>AC, Hai tiếp tuyến của đường trịn tại A và B cắt nhau ở M a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp Xác định tâm I của đường trịn đĩ b) Chứng minh: ·OAB IAM=· c) Đường cao AH của ∆ABC cắt CM ở N Chứng minh : N là trung điểm của AH

d) Giả sử ·ACB = 600 Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của (O) theo R

PHẦN III: TRẮC NGHIỆM

1/ Đánh dấu “X” vào ơ em chọn

a/ Hai cung bằng nhau thì cĩ số đo bằng nhau

b/ hai cung cĩ số đo bằng nhau thì bằng nhau

d/ Trong hai cung, cung nào lớn hơn thì cĩ số đo lớn hơn.

e/Trong hai cung trên một đường trịn, cung nào cĩ số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn

f/ Trong một đường trịn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

g/ Đường kính chia cung thành hai phần bằng nhau thì vuơng gĩc với dây cung

h/ Đường kính vuơng gĩc với dây cung thì chia dây cung thành hai phần bằng nhau.

i/ Đường kính đi qua trung điểm của cung thì vuơng gĩc với dây căng cung ấy

k/ Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua trung điểm của cung căng dây ấy

l/ Trong một đường trịn hay hai đường trịn b/n, hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì

b/n

m/Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

n/Các gĩc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung

o/ Hai gĩc nội tiếp cùng chắn một dây cung thì bằng nhau

p/Trong một đường, gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc n.tiếp cùng chắn một cung thì bằng

nhau.

q/ Số đo của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo gĩc ở tâm cùng chắn cung

ấy.

2/ Gĩc ở tâm AOB cĩ số đo là 650 Hỏi cung lớn AB cĩ số đo bao nhiêu?

a/ 650 b/ 1150 c/ 2950 d/ cả a, b, c đều sai

3/ Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường trịn (O;R) Khẳng định nào sau đây đúng?

» » »

a / AB BC CA= = b / AB BC CA» >» =» c / AB BC CA» < » =» d / AB BC CA» =» >»

4/ Trên tiếp tuyến Ax của đường trịn (O;R) lấy một điểm M sao cho AM = R Tia OM cắt đường trịn tại

B Số đo cung AB là bao nhiêu? a/ 300 b/ 450 c/ 600 d/ 900

5/ Cho đường trịn (O;R) một dây AC = R Hỏi số đo cung AC?

6/ Cho tam giác ABC vuơng cân tại A nội tiếp đường trịn (O;R) Hỏi số đo cung nhỏ AB?

7/ Cho AB, AC là hai tiếp tuyến của đường trịn (O;R) lần lượt tại các tiếp điểm B và C Biết rằng

BAC 40= Tính số đo cung nhỏ BC? a/ 1200 b/ 1400 c/ 1600 d/ 700

8/ Cho đường trịn (O; R) và cung AB cĩ số đo bằng 900 Lấy một điểm M nằm trên cung lớn AB Tính số

9/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Biết µA 2C= µ Tính Â?

10/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Biết µB D 20− =µ 0.Tính µB ? a/ 1000 b/ 1600 c/ 2000 d/ 800 11/ Tứ giác nào sau đây nội tiếp được trong một đường trịn?

a/ hình vuơng, hình thang cân, hình chữ nhật b/ hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi c/ hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuơng d/ hình thoi, hình bình hành, hình thang vuơng 12/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường trịn Khẳng định nào sau đây là đúng?

a / A B C D+ = + b / A C B D+ = + c / A D B C+ = + d / A B C D= = =

13/ Tứ giác nào luơn cĩ đường trịn ngoại tiếp và đường trịn nội tiếp?

14/ Một cung trịn 600 của một đường trịn cĩ bán kính R cĩ độ dài bao nhiêu?

R

a /

3

b /

16/ Nếu tăng bán kính của một h.trịn lên 4 lần thì diện tích h.trịn đĩ tăng bao nhiêu lần?

17/ Một đường trịn bán kính R ngoại tiếp lục giác đều Tính chu vi lục giác đều đĩ?

18/ Cho đường trịn (O;R) hai đường kính AC và BD vuơng gĩc nhau Tứ giác ABCD là hình gì?

a/ hình chữ nhật b/ hình vuơng c/ hình thoi d/ hình bình hành

19/ Cho đường trịn (O;R) hai đường kính AC và BD vuơng gĩc nhau Số đo của cung ACD là bao nhiêu?

20/ Cạnh của một tam giác đều nội tiếp đường trịn (O;R) là?

3R 3

d / 2 21/ Diện tích xung quanh của một hình nĩn cĩ chiều cao h = 3cm và bán kính đường trịn đáy R = 4cm là

22/ Nếu chiều cao của một hình trụ tăng lên 3 lần thì thể tích của hình trụ đĩ thay đổi như thế nào?

a/ tăng 3 lần b/ tăng 9 lần c/ giảm 3 lần d/ khơng thay đổi

23/ Nếu bán kính đáy của một hình trụ tăng 4 lần thì thể tích hình trụ thay đổi như thế nào?

a/ tăng 4 lần b/ tăng 16 lần c/ giảm 4 lần d/ giảm 16 lần

23/ Một hình trụ cĩ bán kính dáy là 5cm, chiều cao 10cm Thể tích hình trụ đĩ là bao nhiêu cm3?

25/ Một hình trụ cĩ bán kính đáy là 5cm, thể tích là 100cm3 Hỏi diện tích xung quanh của hình trụ là bao

26/ Diện tích mặt cầu là 314cm2 Hỏi đường kính của mặt cầu đĩ là bao nhiêu? (lấy π = 3,14)

27/ Một hình nĩn cĩ bán kính đáy là 7cm, đường sinh dài 10cm Diện tích tồn phần của hình nĩn là bao nhiêu cm2? (lấy 22

7

28/ Hình nón có bán kính đường tròn đáy là 5cm, độ dài đường cao là12øcm.Thể tích hình nón này bằng:

A 20π(cm3) B 200π(cm3) C 100π(cm3) D 200π(cm3) 1> phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình bậc nhất hai ẩn:

A x y− =0 B 0x+4y =5 C 2x−0y=7 D 0x+0y=9

2> Cặp số nào sau đõy là nghiệm của phương trỡnh: 2x y− =3

3> Phương trỡnh bậc nhất hai ẩn cú bao nhiờu nghiệm?

A Một nghiệm duy nhất B Hai nghiệm C Vụ nghiệm D Vụ số nghiệm

5> Cho phương trỡnh 2

3x −2 3x− =3 0 Cỏc nghiệm của phương trỡnh là:

A 1 3, 2 3

3

3

3

3

6> Phương trỡnh 4x2 −6x− =1 0 cú ∆’ là: A.∆ =' 5 B ∆ =' 13 C.∆ =' 52 D ∆ =' 20 7> Phương trỡnh 2

x − x− = cú tổng hai nghiệm là: A 8 B -7 C.7 D 7

2 8> Phương trỡnh −2x2 +9x+20 0= cú tớch hai nghiệm là: A 10 B -10 C 9

2 D

9 2

−

9 / Điền vào chỗ trống để được kết luận đỳng:

a/ Hàm số y=ax2, với a > 0 hàm số đồng biến khi………., nghịch biến khi ………

với a < 0 hàm số đồng biến khi………., nghịch biến khi ………

b/ Nếu ph.trỡnh bậc hai ax2 + bx + c = 0 cú a+b+c = 0 thỡ ph.trỡnh cú 2 nghiệm là: x1 =……và x2 = …… b/ Nếu ph.trỡnh bậc hai ax2 + bx + c = 0 cú a - b+c = 0 thỡ ph.trỡnh cú 2 nghiệm là: x1 =……và x2 = …… 10/ Nghieọm cuỷa heọ ph.trỡnh







= +

−

=

− 1

3 2

y x

y x

là: A (1;-1) B (1;1) C (4;5) D (-4;5) 11/ Bieỏt ủoà thũ haứm soỏ y=ax2 (a≠0) ủi qua ủieồm A( 3 ;3) Heọ soỏ a baống :

A a=1 B a= 3 C a= -1 D a= 3

12/ Phương trỡnh ax2 +bx +c =0 (a≠0) cú hai nghiệm phõn biệt khi:

13/ Phương trỡnh x2 -8x +7 =0 cú nghiệm đỳng là?

a x1=1; x2=- 7 b x1=-1; x2= -7 c x1=-1; x2= 7 d x1=1; x2= 7 14/ Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào là phương trỡnh bậc hai một ẩn?

a 2x -5 = 0 b x2 -2x= 0 c (x+2)(x2 -2x +3) =0 d 6x - y= 8

15:

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x2 – 7x – 12 = 0, khi đú tổng và tớch của chỳng là:

A







=

= +

12

7 2

1

2 1

x

x

x

x

B







−

=

−

= + 12

7 2

1

2 1

x x

x x

C







−

=

= + 12

7 2 1

2 1

x x

x x

D







=

−

= + 12

7 2

1

2 1

x x

x x

16: Phương trỡnh 64x2 + 48x + 9 = 0

A cú vụ số nghiệm B cú nghiệm kộp C cú hai nghiệm phõn biệt D vụ nghiệm

3 Phơng trình bậc hai x2- 3x +2= 0 có các nghiệm là:

A x1 = 1; x2 = -2 B x1 = -1; x2 = 2 C x1 = 1; x2 = 2 D Vô nghiệm

4 Đờng thẳng (d) y = ax + 1 = 0 tiếp xúc với parabol (P) y = -x2 khi a bằng:

17: Ph.trỡnh x2 + 6x – m = 0 coự nghieọm keựp khi m baống: A.9 B – 9 C 6 D – 6

18: Phửụng trỡnh 3x2 + bx + 2 = 0 coự nghieọm baống 1 khi b baống: A – 5 B – 1 C 5 D 1

19 Cho hàm số y = 1 2

x 2

− Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số trên luôn nghịch biến B Hàm số trên luôn đồng biến

C Giá trị của hàm số bao giờ cũng âm D Hàm số trên nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0

20 Phương trỡnh: 3x2+4x-5=0 cú ∆ là: A 19 B – 11 C 76 D Kết quả khỏc

21 Phương trỡnh nào sau đõy là phương trỡnh bậc hai một ẩn?

A x3 + 3x – 4 = 0 B 0x2 + 3x – 4 = 0 C 3x – 4 = 0 D.2x - x2 = 0