Viết phơng trình tham số của đờng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng P, biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.. Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với m
Trang 1Bài tập hình học tọa độ trong không gian oxyz
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 2 đờng thẳng: ∆1:
= +
− +
=
− +
−
0 4 2 2
0 4 2
z y x
z y x
và ∆2:
+
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
2 1 2 1
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng ∆1 và song song với đờng thẳng ∆2 b) Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng
(P): 2x - y + 2 = 0 và đờng thẳng dm: ( ) ( )
= + + + +
=
− +
− + +
0 2 4 1 2
0 1 1
1 2
m z m mx
m y m x
m
Xác định m để đờng thẳng dm song song với mặt phẳng (P)
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đờng thẳng:
dk:
= + +
−
= +
− +
0 1
0 2 3
z y kx
z ky
x
Tìm k để đờng thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x - y - 2z + 5 = 0
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh SC
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và BM
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích hình chóp S.ABMN
Bài 4: 3) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đờng
thẳng d:
+
−
=
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
4 1 1
2 3
(t ∈ R) Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d
x− = y+ = z−
mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0
a Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
Trang 2b Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A
và vuông góc với d
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B1(4; 0; 4)
c Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1 Viết phơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1)
d Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phơng trình mặt phẳng P) đi qua hai
điểm A, M và song song với BC1 mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng A1C1 tại
điểm N Tính độ dài đoạn MN
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng:
d1: 1 2 1
x− = y+ = z+
− và d2:
2 0
3 12 0
x y z
+ − − =
+ − =
e Chứng minh rằng: d1 và d2 song song với nhau Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng thẳng d1 và d2
f mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d1, d2 lần lợt tại các điểm A, B Tính diện tích ∆OAB (O là gốc toạ độ)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0) B(1; 0; 0) D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AB và CD
1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng A’C và MN
2 Viết phơng trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cosα = 16
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đờng thẳng :
d1: 1 1
x = y− = z+
− d2:
1
1 2 2
= +
= − −
= +
1 Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2
2 Tìm toạ độ các điểm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng thẳng
d1: 2 2 3
x− = y+ = z−
x− = y− = z+
−
1 Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đờng thẳng d1
2 Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
Trang 3d1: 1 2
x = y− = z+
− và d2:
1 2 1 3
z
= − +
= +
=
1 Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau
2 Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đờng thẳng d1, d2
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
1 Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 3
2 Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2 B(-1 2; 4) và đờng
thẳng ∆: x−−11= y1+2 =2z
1 Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
2 Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng ∆ sao cho MA2 + MB2- nhỏ nhất
Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng (P): x- y + z + 3 = 0
và hai điểm A(-1; -3; -2), B(-5; 7; 12)
a) Tìm toạ độ điểm A' là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: MA + MB
Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đờng thẳng
∆:
= + + +
= + + +
0 2
0 1 2
z y x
z y x
và mặt phẳng (P): 4x - 2y + z - 1 = 0
Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng ∆ trên mặt phẳng (P)
Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng:
d1:
= +
−
=
−
−
0 1
0
z
y
a az
x
và d2:
=
− +
=
− +
0 6 3
0 3 3 z x
y ax
a) Tìm a để hai đờng thẳng d1 và d2 cắt nhau
b) Với a = 2, viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng d2 và song song với đờng thẳng d1 Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a = 2
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đờng thẳng
d:
=
−
− +
= +
−
−
0 4 2 2
0 1 2
2
z y x
z y x
và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x - 6y + m = 0
Trang 4Tìm m để đờng thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai
điểm đó bằng 9
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2),
B(6; -1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5) Tính góc giữa hai đờng thẳng AB và CD Tìm toạ độ
điểm M thuộc đờng thẳng CD sao cho ∆ABM có chu vi nhỏ nhất
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng:
d1:
1 2
1 1
z y
x = + = và d2:
=
− +
= +
−
0 1 2
0 1 3
y x
z x
a) Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau
b) Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng d cắt cả hai đờng thẳng d1, d2 và song song với đờng thẳng ∆:
2
3 4
7 1
4
−
−
=
−
=
x
Bài 20: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0; a 3
), B(0; 0; 0), C(0; a 3 ; 0) (a > 0) Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và OM
Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0)
Viết phơng trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với với mặt phẳng xOy một góc bằng 300
Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng
(P): 2x + 2y + z - m2 - 3m = 0 (m là tham số)
và mặt cầu (S): (x−1)2 +(y+1)2 +(z−1)2 =9
Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm đợc, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
Bài23: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; -1; 3)
và đờng thẳng d:
=
− +
=
−
−
0 8 3
0 11 2
3 z y
y x
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB Gọi
K là giao điểm của đờng thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK b) Viết phơng trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phơng trình: x + y - z + 1 = 0
Bài 24: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho A(1; 1; 2), B(-2; 1; -1) C(2;-2;
a) Viết phơng trình mặt phẳng (ABC)
Trang 5b) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC).
c) Tính thể tích tứ diện OABC
Bài 25: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng:
(D1):
−
=
=
−
= t z
t y
t
x 1
và (D2):
=
−
=
= 't z
't y
't x 1
2 (t, t' ∈ R)
a) Chứng minh (D1), (D2) chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng ấy
b) Tìm hai điểm A, B lần lợt trên (D1), (D2) sao cho AB là đoạn vuông góc chung của (D1)
và (D2)
Bài 26: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng (∆1) và (∆2) có
phơng trình: ∆1:
= +
−
= +
−
0 10 4
0 23 8
z y
y x
∆2:
= + +
=
−
−
0 2 2
0 3 2 z y
z x
1) Chứng minh (∆1) và (∆2) chéo nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng (∆) song song với trục Oz và cắt các đờng thẳng (∆1) và (∆2)
Bài 27: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho ba điểm A(1; 4; 0), B(0; 2; 1),
C(1; 0; -4)
1) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua điểm C và vuông góc với đờng thẳng AB
2) Tìm toạ độ điểm C' đối xứng với điểm C qua đờng thẳng AB
Bài 28: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đờng thẳng d và mặt phẳng (P):
d:
=
−
=
− +
0 3 2
0 3 z y
z x
(P): x + y + z - 3 = 0 1) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa đờng thẳng d và qua điểm M(1; 0; -2)
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng d trên mặt phẳng (P)
Bài 29: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz :
1) Cho 2 đờng thẳng:
(∆1):
=
= 0
0 y
x
(∆2):
=
=
− + 0
0 1 z
y x Chứng minh (∆1) và (∆2) chéo nhau
Trang 62) Cho 2 điểm A(1 ; 1 ; -1), B(3 ; 1 ; 1) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
x + y + z - 2 = 0 Tìm trên mặt phẳng (P) các điểm M sao cho ∆MAB là tam giác đều
Bài 30: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
lần lợt có phơng trình: (P): y - 2z + 1 = 0 (S): x2 + y2 + z2 - 2z = 0
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau Xác định tâm và bán kính của đ-ờng tròn giao tuyến
Bài 31: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho
hai đờng thẳng: ∆1:
3
3 2
2 1
1= − = −
x
∆2:
=
− +
−
=
− +
0 5 3 2
0 2
z y x
z y x
Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng đã cho
1) Cho mặt phẳng (P): 2x+y+z−1=0 và đờng thẳng (d):
3
2 1
2
1
−
+
=
=
x
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với (d) và nằm trong (P)
Bài 32: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho 4 điểm: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1),
C(4; 3; 1), D(4; -1; 1)
a) Chứng minh rằng A, B, C và D là bốn đỉnh của hình chữ nhật
b) Tính độ dài đờng chéo AC và toạ độ giao điểm của AC và BD
Bài 33: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz Cho A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1),
C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2)
a) Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB
và CD
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng:
(D1):
= +
−
= +
−
0 10 4
0 23 8
z y
z x
(D2):
= + +
=
−
−
0 2 2
0 3 2 z y
z x a) Viết phơng trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lợt đi qua (D1)
và (D2)
Trang 7b) Viết phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả hai đờng thẳng (D1), (D2)
Bài 34: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz Cho A(1; 1; 1), B(1; 2; 0) và mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 - 6x - 4y - 4z + 13 = 0 Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng AB và tiếp xúc với (S)
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Với A(2; 0; 2), B(4; 2; 4), D(2; -2; 2) và C'(8; 10; -10)
a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'
b) Tính thể tích của hình hộp nói trên
Bài 35: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho ∆ABC có điểm B(2; 3; -4), đờng
cao CH có phơng trình:
5 2
2 5
1
−
=
−
=
x
và đờng phân giác trong góc A là AI có phơng
trình:
2
1 1
3 7
5= − = +
x
Lập phơng trình chính tắc của cạnh AC
Bài36: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc tọa
độ, A ∈ Ox, B ∈ Oy, C ∈ Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng trình:
6x + 3y + 2z - 6 = 0
a) Tính thể tích khối tứ diện OABC
b) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC
Bài 37: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng:
d1:
= +
−
= +
−
0 5 3
0 5 2
3
z
y
y x
và d2:
2 5
2 1
2
−
=
+
=
x
Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó chéo nhau và tìm phơng trình đờng vuông góc chung của chúng
Bài 38: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(1; 2; -1) , B(7; -2; 3) và
đờng thẳng d:
=
− +
=
− +
0 4
0 4 3 2 z y
y x
1) Chứng minh rằng hai đờng thẳng d và AB dồng phẳng
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng d với mặt phẳng trung trực của đoạn
Bài 39: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho các đờng thẳng:
Trang 8(d1):
+
=
+
−
=
=
t z
t y
x
3
2 4
1
và (d2):
−
=
+
=
−
= 2
2 3 3 z
't y
't x
(t, t' ∈ R)
a) Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)
Bài 40: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(3; -3; 4) và mặt phẳng
(P): 2x - 2y + z - 7 = 0 Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P)
Bài 41: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng
(α): x + y + z + 10 = 0 và đờng thẳng ∆:
+
=
−
=
= t z
t y
t x 3 1
2 (t ∈ R)
Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng ∆' là hình chiếu vuông góc của ∆ lên mặt phẳng (α)
Bài 42: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0),
B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N lần lợt là trung điểm của OA và BC; P, Q là hai điểm
trên OC và AB sao cho
OC
OP = 3
2 và hai đờng thẳng MN, PQ cắt nhau Viết phơng trình
mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỷ số
AB
AQ
?
Bài 43: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; -1) và
D(7, -2, 3)
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng
2) Tính khoảng cách từ điểm C đến đờng thẳng AB
3) Tìm trên đờng thẳng AB điểm M sao cho tổng MC + MD là nhỏ nhất
b) Nếu AB ⊥ CD và AD ⊥ BC , thì AC ⊥ BD
Bài 44: Cho 4 điểm A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(1; 2; 1), D(2; -1; 2) trong hệ toạ độ Đềcác
trực truẩn Oxyz Viết phơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm: C, D và tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp A.BCD
b) Nếu AB ⊥ CD và AD ⊥ BC , thì AC ⊥ BD
Bài 45: Cho 4 điểm A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(1; 2; 1), D(2; -1; 2) trong hệ toạ độ Đềcác
trực truẩn Oxyz Viết phơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm: C, D và tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp A.BCD
Trang 9Bài 46: Trong không gian cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz; và cho các điểm
A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0) Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
1) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD) Tìm điều kiện
đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng (xOy)
Bài 47: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đờng thẳng (d):
=
−
=
+
= t z
t y
t x
3 2
2 1
và
mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0
1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó
đến mặt phẳng (P) bằng 1
2) Gọi K là điểm đối xứng của I(2; -1; 3) qua đờng thẳng (d) Hãy xác định toạ độ
điểm K