bo de thi HSG lop

Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA... Tìm giá trị lớn nhất của bi

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

(Thời gian làm bài 150’)

Câu 1: Giải phương trình

x x

= 3 + 2 x−x2

Câu 2: Cho hệ phương trình:

x - 3y - 3 = 0

x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên Hãy tìm giá trị của biểu thức

M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2

Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB

và AC (B,C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q Chứng minh rằng tỷ số

EF

PQ

không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức

2(y+z) = x (yz-1)

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3

đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó

ĐỀ SỐ 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

(Thời gian làm bài: 150’)

Câu 1: Cho biểu thức.

2 2

≤

− +

− +

−

y x

y y x x

a Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy

Câu 5: Giải phương trình.

x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2 + 1

Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: 1n 1n 1n n 1n n

Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,

x3, x4 thoả mãn điều kiện

b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:

1 Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được

2 Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB

Bài 9: Cho tam giác ABC có µA≠900, M là một điểm di động trên cạnh BC Gọi O và

E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất

a

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

−

−

− + + +

+

Với a =

4 3

Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1

Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

−

−

−

− +

−

−

− +

−

− +

−

x x x

x x

x x

x x

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm

đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo

AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M,

y y x x y x

y x y y x x

y x

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=

1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD

2, Tam giác EPQ là tam giác cân

Đề số 11

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – BẢNG B

1 1 1

1 2

2

1 2

này bằng bình phương nghiệm kia

Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên

( ) ( )

+

= +

2 1 2 2

1 1 2

m my x

m y mx

Bài 5: Giải phương trình x2 + x+ 5 = 5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm

của d với Ox, Oy Xác định m để S∆ABO bằng 4

Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC vuông ở A biết rằng đường

phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10

cm và 20 cm

Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,

∧

BAC = 600, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D,

E Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp

Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất

phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia

Tài liệu:

- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9

- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9

- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính

- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9

ĐỀ SỐ 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

THANH HOÁ Môn thi : Toán

( Thời gian làm bài : 150 phút)

a

a

−+++

1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phương trình :x2+cx +d = 0 có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh rằng :

2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chứng minh rằng nếu phương trình :

ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a≠0)

có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a2=2b2+ac

Bài III (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ lần lượt là các

đường cao H là trực tâm

nối với các đỉnh của hình bình hành đó

Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trongcác đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành

Bài V (2,0 điểm):

Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :

x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y

Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn

Đề số 13

Sở GD-ĐT Thanh Hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 -

HC

CH HB

BH HA

AH

m H A

AH =

'

A=

3 2 2

1 3

2 2

1

−

−

+ + +Bài 2: (5,0đ)

a Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với

1 điểm thứ ba cố định

b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC

c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính

độ dài ấy theo R

Đề số 14

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ MÔN : TOÁN

NGA SƠN Thời gian : 150 phút không kể thời

Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 2 : (3 điểm)

Cho Phương trình : x2 – 2 (m - 1) x + m – 3 = 01)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m

2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau

Đề số 22

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Cho biểu thức

(a a)

a

a a a a

+

+ +

1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn A

Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B

Bài 3 : Cho phương trình

2

1 ) 1 ( 4

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m∀ ∈R

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả mãn biểu thức 2

2 1 2

nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?

Bài 5 : Giải phương trình

5 1 6 8 1

b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A∈(P)

Bài 7:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

1820 13

7x2 + y2 =

Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác

Chứng minh rằng

C B

A S

S ABC HIK = 1 − cos 2 − cos 2 − cos 2

Bài 9:

Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên

4 cạnh của hình vuông Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất

Bài 10 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì tìm quỹ tích các điểm O 1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P

=+

4 4 7 7

3

yxyx

yx

2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21

1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn

2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r

Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

BÀI V (2 điểm)

1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0≤a≤3 ; 8≤ b≤11

và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b

2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ;

Oz

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P)

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:

………

Đề số 24

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

Trường THPT Hoằng Hoá 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

1

139

19

5

15

1

1

++

++

++

++

Bài 2 (2 điểm)

Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1

Hãy tính giá trị của biểu thức sau :

2 2

2

2 2

2

2 2

1

)1)(

1(1

)1)(

1(1

)1)(

1

(

z

y x

z y

x z

y x

z y

x

+

++

++

++

++

++

Bài 3 ( 2 điểm)

23

132

53

2

2

++

++

x x

x x

3

3 3

y x

y x y

x

Bài 5 (2 điểm)

Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :

4524

42818

3x2 − x + + x2 − x+ = – x2 + 6x -5

Bài 6 (2 điểm)

Cho Parabol (P) : y = 2

4

1

x và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên

(P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4 Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng có hoành độ x ∈[-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

x

là số nguyên dương

4 2 4 10 17 5 17 5

− +

−

− +

=

A

Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử

24x3 - 26x2 + 9x - 1

Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:

x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:

m y x

y x

= +

= +

2

3 2

Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1

Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2

a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất

Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả

3 2

5 11

2 3 2

−

+

− +

=

x

x x

x y

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a ⊥ b

Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D Trên b về hai phía của I lấy

2 điểm B, C

Thoả mãn IA.ID = IB.IC

a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn

1 3

2

1

−

= +

= +

m y x y mx

b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F Hãy xác định điểm E trên FD sao cho AE ⊥ FI Khi đó ICED là hình gì?

Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p M, N

Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là

30m3 2 đáy là 2 đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O), C di động trên đường tròn (O) S thuộc đường tròn tâm (O')

a) Xác định C để diện tích ∆ ABC là lớn nhất

b) Khi ∆ ABC đạt giá trị lớn nhất Hãy tính thể tích hình chóp SABC

Đề số 28

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSTRƯỜNG THPT BC LÊ VIẾT TẠO

****************************

Bài 1:

a) Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3

9

4 9

2 9

1 1

b) Tính giá trị biểu thức

1 3

b a a c

a c c b

c b b c a c

b a a

b c b

a c c

− + +

−

= + +

− +

+ +

− +

+

+

−

) )(

( ) )(

( ) )(

(

2 2 2

2 2

2

Bài 3: Cho phương trình: x2 − 2mx+ 2m− 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Bài 4: Giải phương trình: 8 + x + 5 − x = 5

Bài 5: Chứng minh nếu a > 2 thì hệ sau vô nghiệm:

5

y x

a y x

Bài 6: Cho Parabol (P) 2

NB =Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1 Hỏi đường chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu

Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN Tiếp tuyến với (0) tại A cắt BM và BN tại M1, N1 Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1 Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đường kính MN thay đổi

ĐÊ SỐ 30

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

−

− +

− +

x 9 x

3

2 x x 2

3 x : 9 x

x 3 x 1 P

c Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?

Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a) x x 1 0

5 x x

= + +

7 y x

4 y 1 x

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ

đường tròn tâm O đường kính AH Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E

a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng

b Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC

c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN

Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:

xy 1

2 y

1

1 x

x x P

1

11

3 1

2 1

x x

x x

2> Giải phương trình:

4)

11

2

−

=+

x x

BE =

b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD

2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

Bầi 4: (5 điểm)

1> Tìm a∈R để phương trình ẩn x sau: ) 4 7 0

2

11 4 (

2x2 − a+ x+ a2 + =

có nghiệm nguyên

2> Chứng minh rằng:

3)

(

4

2

2 2

2 2

y y

x y

Sở GD & ĐT Thanh Hoá

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

3 1

2

3 1 1

2

3 1

−

−

− + + + +

b Giải phương trình:

3 3

−

= +

−

= +

1 4

1 4

1 4

y z

x

x z y

z y x

b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9

Bài3 (5điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c b a

c b

c a

b a

c b

a

− +

+

− +

+

− +

16 9

4

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

b Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:

x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm

Bài 4 (5điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB⊥AH Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O

a Chứng minh ∆ABH đồng dạng với ∆MKO

b Chứng minh 3

3 3 3

3 3 3

IB IH IA

IM IK IO

+ +

+

4 2

ĐỀ SỐ 33 NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

1 3

1 6 27 3

+ +

2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: 3 3

4 2 2 3 1

1

− +

=+

12

102 2

x

y x

2

2y yx

Bài 5:

Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam giác AEB và CED trong các trường hợp:

1) (2đ) AB và CD song song

2) (2đ) AB và CD không song song

HẾT

ĐỀ SỐ 35

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN: TOÁN - THANG ĐIỂM: 20

Bài 1: (6đ)

1 (2đ) Rút gọn biểu thức A =

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

−

−

− +

+ + +

2 (4đ) Tính giá trị của tổng

100

1 99

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

+

+ +

+

c b

b a a

(khác BC) của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh rằng.

5

5 6

+

− +

−

=

a

a a a

2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi

z x y x

a

+

= +

5

và (x+z) = (z−y)(2x+y+z)

16 25

m x

m m

m y

1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (Dm)

2.Tìm m để đường thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 tại hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy

Câu4: (4đ)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O M là một điểm bất kỳ trên đường tròn đó Gọi A/,B/,C/ lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC , CA , AB

1.Chứng minh các tứ giác BC/A/M và CA/MB/ nội tiếp

2.Chứng minh 3 điểm A/, B/ , C/thẳng hàng

3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M1≠M Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu của M1 lên các đường thẳng BC , CA , AB Tìm vị trí của điểm M1 trên đường tròn tâm O để đường thẳng A1B1C1 vuông góc với đường thẳng A/B/C/

2 >

+ + +

+

n n

n  với mọi số tự nhiên n> 1./

2 1

+ +

2 1

Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0

Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

) 1 (

2

3 2

2 1

2 2

2 1

2 1

+ +

+

+

=

x x x

x

x x C

Với x1,x2 là các nghiệm của phương trình đã cho

Câu 3:

a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1 +x -9) = 27

b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

z

xy

+

x yz

+zx y =3

Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn

(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + zChứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27

Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN Các đường thẳng

BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A

a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp

b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của ∆BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA

ĐỀ SỐ 40

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN TOÁN

Đề đề xuất Thời gian150’

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4 ∀m ≠ 0

Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0

a Giải và biện luận theo thámố m

1

4 1

1 1

3

2 3 4 5 3

4 3

=

x x x x x x x x x x x P

b Khi phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1,

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán Thời gian:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ

+

− + +

x

x x

b) Giả sử x1, x2là 2 nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của

3

1 + = +

y

x y x

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm tam giác; M

là một điểm trên cung BC không chứa điểm A

a) Tìm vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành

b) Gọi E,F lần lượt là 2 điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh rằng E,H,F thẳng hàng

Bài 6: (2 điểm) Cho a∈[ ]0 ; 1 Chứng minh rằng: a2 −a+ 1 + a−a2 + 1 ≤ 2

dấu bằng xảy ra khi nào?

x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32

Bài 2: (4 điểm)

Giải hệ phương trình

1) Tính độ dài đoạn MN theo R.

2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng

AM và BN là K Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó theo R

3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán

Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)

1

1 1

x

z y x

1

1 1

y

x z

y

+

+ +

2

2 2

1

1 1

z

y x

z

+

+ +

2) Tìm nghiệm nguyên của hệ:







= + +

= + +

8

5

zx yz xy

z y x

x

Bài 3: (4 điểm)

1) Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đường chéo BD Gọi E,

F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AD

Chứng minh 3 đường thẳng CM, DE, BF đồng qui

2) Chứng minh rằng nếu các cạnh của một tam giác không lớn hơn 1 (đơn vị dài) thì diện tích của nó không lớn hơn

4

3 (đơn vị diện tích).Bài 4: (6 điểm)

+ +

Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:

( 3 2 )2006

2 8

5 6 14 5

38 5 17

3

− +

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x

x P

+ +

Bài 3 :Chứng minh rằng phương trình :

x2 − 2mx+ 2 2005 2006 = 0 không có nghiệm nguyên với mọi m∈Z

Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện

tích bằng số đo chu vi

Bài 5: Giải phương trình :x2 + 2 −x = 2x2 2 −x

Bài 6 : Cho Parabol (P): 2

Bài 7 : Trên một đường tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung

bình cộng của 2 số đứng liền trước và sau nó Chứnh minh rằng tất cả các số

đó bầng nhau

Bài 8 : Các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H Biết rằng

HC=AB , tìm góc ở đỉnh C

Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến

PA và PB với A,B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông goc hạ từ điểm A đến đường kính BC

a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

b.Tính AH theo R và PO =d

Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) Nối từng cặp 2 điểm với

nhau ta được các đoạn thẳng Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không?

ĐỀ SỐ 56

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài I (3 điểm)

1/ Rút gọn biểu thức:

A = 4+ 5 3+5 48−10 7+4 32/ Giải phương trình:

7yx31y2

Bài II: (5 điểm)

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B =

1x

3x4

2 +

+

2/ Cho parabol y = x2 gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = kx +

2 với parabol (k là tham số) Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất Cho biết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1;y1)

và B(x2;y2) là:

1 2

2 1

Bài IV: (4 điểm)

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F là hai tiếp điểm của

AB, BC với đường tròn (O), K là giao điểm của đường phân giác trong BAC với EF Chứng minh rằng CKA = 900

Bài V: (4 điểm)

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đường trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích của hình thoi theo a và b.

Đề số 57

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ

======***=====

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn Thi : Toán

(Thời gian 150 phút,không kể giao đề )

Người ra đề: Trinh Thị Thanh Huyền

Đơn vị: Trường THPT Triệu Sơn 3

Bài 1 (2đ): (Các đề thi học sinh giỏi Toán ở Mĩ)

1 Tổng của trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương là

200 Tính tổng các căn bậc hai của 2 số đó

2 Tính giá trị biểu thức:

S= 1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + + 2003 2 − 2004 2 + 2005 2

Bài 2 (2đ): (Phương pháp giải 36 đề thi Toán của Võ Đại Mau)

Phân tích thành nhân tử:

A =(xy +yz + zx)(x + y + z) – xyz

Bài 3 (2đ): (Phương pháp giải Toán Đại số của Trần Phương_Lê Hồng Đức)

3 2 2

2 2 1

1

x

m y

y

m x

1 Giải hệ phương trình với m = 1

2 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm

Bài 5 (2đ): (Luyện thi vào THPT môn Toán của Vũ Đình Hoàng – Hà Huy

Bằng)

Giải hệ phương trình:

= + +

+

65 )

(

185 )

(

2 2 2 2

2 2 2 2

y x y xy x

y x y xy x

Bài 6 (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ)

Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình:

Bài 7 (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2 + 2004 x + 2005 y2 + y = xy + 2005 xy2 + 2006

Bài 8 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)

1 Tìm điều kiện giữa các cạnh a, b, c của ∆ ABC để ∆ ABC đồng dạng với tam giác mà các cạnh của nó bằng các đường cao của

ABC

2 Cho hình vuông ABCD, điểm P trên cạnh AB, điểm Q trên cạnh

BC sao cho BP = BQ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống PC

Chứng minh: ∠ DHQ = 900

Bài 9 (2đ): ( Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong TP HCM năm

2005-2006)

Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R) M là điểm

di động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB; K thuộc đường thẳng AC)

1 Chứng minh: Hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhhau

2 Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn HK lớn nhất

Bài 10 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)

Dựng tam giác ABC biết trung điểm M, N tương ứng của BC, AC và đường phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng (d) đã cho

Hết

3 2 3

2

2

3 2

−

−

− +

+ +

+

−

18 1 12 2

6 3

4

1 3 1 2

x

y

x y x

Cho (P) : y=ax2 và đường thẳng d: y=bx+c

Tìm a,b,c sao cho (P) tiếp xúc với d tại I(1;4)

Câu 7: (sáng tác)

Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c =0 không có nghiệm nguyên nếu a,b,c là các số nguyên lẻ

Câu 8: (Toán bồi dưỡng hình học 9 – trang 58)

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O và O’ là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác AHB và AHC Đường thẳng OO’ cắt AB ở M và AC tại N

Chứng minh AM = AN

Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87)

Cho hình vuông ABCD Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AD tại M ≠ D

Chứng minh DM đi qua trung điểm BC

Câu 10: (36 bộ đề – Võ đại Mau – Trang 187)

Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A và các trung điểm E, F của các cạnh CB, CD

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

−

−

−

− +

−

−

− +

−

− +

−

x x x

x x

x x

x x

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm

đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo

AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M,

N, P, Q nằm trên một (0)

ĐỀ SỐ 62

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN : TOÁN HỌC - THỜIGIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT

ĐỀ THI BẢNG A Câu1: Cho a, b, c là 3 số dương n ∈ N ; n ≥ 2 chứng minh rằng:

n n

n

n

n b

a

c a

c

b c

+

Câu 2: Các số nguyên không âm a, b, c, d thoả mãn điều kiện:

= + + +

) 2 ( 6

2 2

) 1 ( 36

4 3 2

2 2 2

2 2 2 2

d b a

d c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 + c2 + d2 (3 điểm)

Câu 3: Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, .) được xác định bởi

27 28

1

a = + = + với mọi n = 0, 1, 2, Chứng minh số a11 viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9 (4 điểm)

Câu 4: Cho a, b, c là 3 số khác nhau và giả sử x, y, z là một nghiệm của hệ

d b z b y b x

d a z a y a x

) )(

)(

(

) )(

)(

(

) )(

ĐỀ SỐ 63 THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 BẢNG A

(Thời gian 150 phút , không kể giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm) : Rút gọn biểu thức sau :