Đề thi HSG lớp 9

Dạy học sáng tạo qua giải bài tập toán Bài toán sau nhằm minh hoạ ý tởng rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải bài tập toán , nội dung bài toán nh sau : " Cho tam giá

Dạy học sáng tạo qua giải bài tập toán

Bài toán sau nhằm minh hoạ ý tởng rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh

thông qua việc giải bài tập toán , nội dung bài toán nh sau :

" Cho tam giác ABC vuông tại A , AD là phân giác Chứng minh hệ thức :

( 1/ AB ) + ( 1 / AC ) = 2 / AD "

Ta thực hiện tiến trình giải bài toán theo các bớc sau :

 Bớc 1: Tìm hiểu bài toán :

Đối với bài toán hình học , nói chung phải vẽ hình xong mới có thể hiểu và nhìn đợc bài toán một cách tổng hợp , để từ đó phân tích các chi tiết cần thiết Hình vẽ phải có tính tổng quát ( không vẽ vào trờng hợp đặc biệt ) , dễ nhìn thấy các tính chất và những quan hệ về độ lớn giữa các góc hay các đoạn thẳng cho trong bài toán Trong bài toán cụ thể này , giả thiết cho 1 tam giác vuông và phân giác của góc vuông , cần chứng minh tổng các nghịch đảo của 2 cạnh góc vuông bằng nghịch đảo của phân giác AD nhân với 2

* Bớc 2 : Xây dựng chơng trình giải : B

Từ hệ thức cần chứng minh I D

B' A D' C Hình 1

Ta có thể phân tích để tìm cách giải theo các hớng nh sau :

. H ớng 1 : Xét vế trái của hệ thức cần chứng minh , ta thấy

Điều này gợi cho ta suy nghĩ có thể làm xuất hiện tổng 2 độ dài AB + AC , chẳng hạn bằng cách kéo dài CA về phía A , trên đó lấy B' sao cho

AB' = AB , ta sẽ có CB' = AB + AC Từ đây nếu chứng minh đợc BB' //

AD rồi áp dụng định lý Talét trong tam giác ta sẽ suy ra đợc điều cần chứng minh Việc chứng minh BB' // AD hết sức đơn giản vì chúng có 2 góc so le trong cùng bằng 450

H ớng 2 : Căn cứ vào tỷ số 2 / AD , ta có thể nghĩ đến hớng tạo tam giác

vuông cân ( vì cạnh huyền của tam giác vuông cân bằng 2 nhân cạnh góc

AD AC

AB

2 1

1





AC AB

AC AB AC

1





vuông) , vấn đề ở đây là tạo tam giác vuông cân trên cơ sở có sẵn những điểm nào ? Việc trả lời câu hỏi đó dẫn đến 2 cách sau :

Cách 1 : Vẽ AB' AB và có độ dài bằng AB ( sao cho A nằm giữa C

và B' ) , ta có tam giác ABB' vuông cân và BB' // AD Đây lại chính là cách làm

ở hớng 1 Nh vậy từ 2 xuất phát điểm gợi hớng suy nghĩ khác nhau , có thể cùng dẫn tới một cách giải quyết

Cách 2 : Vẽ D D' AC , ta có tam giác ADD' vuông cân và

DD' // AB , từ đó sẽ suy ra điều cần chứng minh

.H ớng 3: Sử dụng phơng pháp diện tích, ta thấy SABC = SADC + SADB , việc tính diện tích các tam giác ADC và ADB có 2 cách nh sau:

Cách 1 : Tính diện tích các tam giác ADB và ADC theo sin của góc

450 để xuất hiện số 2

Cách 2 : Tính diện tích các tam giác ADB và ADC theo công thức bằng 1/2 cạnh đáy nhân đờng cao tơng ứng

* Bớc 3 : Trình bày lời giải :

Với bài toán này có thể chọn một trong các hớng phân tích trên để trình bày lời giải Ví dụ :

Vẽ tia đối của tia AC , trên đó lấy B' sao cho AB' = AB , ta có :

CA + AB = CB'

Tam giác ABB' vuông cân ( vì AB = AB' , góc BAB' vuông )  BB' = 2 AB và  ABB' = 450

Mặt khác AD là phân giác góc vuông    BAD = 450

Mà góc ABB' và góc DAB lại ở vị trí so le trong nên BB' // AD

Theo định lý Talét trong tam giác có :

Bài toán đợc chứng minh

 Bớc 4 : Nghiên cứu lời giải và hớng khai thác bài toán mới :

1 Có thể trình bày lời giải theo các hớng còn lại ( đã nêu trong phần xây dựng chơng trình giải ) để so sánh và tìm hớng khai thác

2 Nếu thay phân giác trong AD bởi phân giác ngoài AE , dễ thấy kết quả lúc này là :

AD AC AB AD

AB AC

AB AC AD

BB AC















AE AC

AB

2 1

1





Nh vậy có thể thêm câu hỏi cho bài toán trên : '' Hệ thức sẽ thay đổi ra sao

nếu cho AD là phân giác ngoài của tam giác ? ''

3 Tiếp tục khai thác lời giải của bài toán ta thấy để sử dụng đợc định lý Talét , phải vẽ thêm các đờng song song với AD từ B hoặc từ C , chẳng hạn ta

vẽ BB' // AD và CC' // AD ( B'  AC ; C'  AB ) , ta sẽ đợc kết quả thú vị

về mối quan hệ giữa 3 đoạn thẳng song song AD, BB', CC' đó là:

B' C'

A

B D C

Hình 2

Kết quả này không phụ thuộc vào tam giác ABC là tam giác vuông và cũng không sử dụng đến giả thiết AD là phân giác Điều này dẫn chúng ta đến với

bài toán mới nh sau : Cho tam giác ABC , D là 1 điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC Từ

B và C vẽ BB' và CC' cùng // AD ( B'  AC ; C'  AB )

a / Chứng minh hệ thức :

b / Xét trờng hợp D ở ngoài đoạn BC ?

4 Hơn thế nữa , áp dụng bài toán mới ở trên ta thấy : nếu cho tr ớc 2 đoạn thẳng có độ dài là a và b , sẽ dựng đợc đoạn thẳng có độ dài x thoả mãn :

Từ đó có thể xét bài toán khái quát nh sau :

Cho 2002 đoạn thẳng có độ dài a1 , a 2 , , a 2002 Hãy nêu cách dựng một đoạn thẳng có độ dài x thoả mãn :

5 Có thể xét bài toán dới góc độ “động” nh sau :

Cho góc vuông xAy, At là tia phân giác D là 1 điểm cố định thuộc At, một cát tuyến quay xung quanh D cắt Ax tại B, cắt Ay tại C

'

1 '

1 1

CC BB

'

1 '

1 1

CC BB

b a x

1 1 1





2002 2

1

1 1

1 1

a a

a

AC AB

1 1



Chứng minh

Không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D.

( Theo bài toán ban đầu ta có tổng này bằng 2 / AD )

Tóm lại : Việc hớng dẫn học sinh giải một bài toán nh đã trình bày ở trên

trong quá trình dạy học nói chung và trong bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng đã góp phần kích thích sự học tập một cách sáng tạo ở học sinh Các em dần tạo thành thói quen thay thế các dữ kiện của bài toán bằng các dữ kiện tơng đơng , thói quen đặc biệt hoá hay khái quát hoá bài toán một cách tự nhiên , thói quen tìm nhiều giải pháp cho một tình huống để vơn tới sự hoàn thiện , thói quen nhìn nhận một vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau Và nh vậy , việc giải quyết đợc mỗi một bài tập đặt ra hay phát hiện ra một bài toán mới là một quá trình tìm tòi sáng tạo , huy động linh hoạt các kiến thức - kỹ năng và các phẩm chất của trí tuệ Do đó học sinh thực sự cảm thấy mình là chủ thể của nhận thức , họ đợc học tập bằng hoạt động của chính mình dới sự hớng dẫn khuyến khích của ngời thầy

Nguyễn Thị Lan Hơng

Giáo viên THCS Chu Văn An

TP Thái nguyên – Tỉnh Thái nguyên