Đề thi HSG lớp 12 có đáp án - đề 9

Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đờng thẳng SM tìm vị trí M để Pmin.

đề thi học sinh giỏi 12

môn: toán thời gian: 180' (không kể thời gian giao đề)

Đề bài:

Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =

1

1 2





 x

mx x

b) Tìm trên 2 nhánh của (C1) 2 diểm A và B

2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT và yCĐ.yCT > 0 1đ

Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phơng trình: 3 x 1  3 x 1  6 x2  1 2đ

2đ

log 2 2 3 y 8 7 2 3

2

2









Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số 

0

2

sin xdx

e

n

(n = 1, 2, )

n

e

2









3đ

n I

lim





1đ

Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 2 1

2 2

2



 b

y a

x

có a > b Xét Mo(Xo, Yo)  E ; O là gốc toạ độ

2đ

2) CMR: tiếp tuyến với E tại MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dơng OX và

OY ở A, B thì tồn tại vị trí MO để độ dài AB min 2đ

Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và

SA = 1; SB = 2; SC = 3 M là 1 điểm thuộc ABC Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đờng thẳng SM tìm vị trí M để Pmin

H

ớng dẫn đáp án:

Bài 1:

1) m = 1:

a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +

1

1

 x

b) y' = 1

1

1





x  y' = 0 khi x = -2 hoặc x = 0  dấu y'

- 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-, -2)  (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2, -1)  (-1, 0)

Có xLĐ = -2,  yCĐ = -3 và xCT = 0  yCT = 1 0,5đ

Tiệm cận: đứng x = -1 vì  















1

1 x x

lim

x

Tiệm cận xiên y = x vì

1

1



 x

lim

Bảng biến thiên:

1

x y'

y

+

+

-3

Vẽ đồ thị (0,5d) y

x

- 3

 A (-1 +, -1 +  +



1

) và (1 , 1 

-

1

) với  và  dơng

 BA2 = AB2 = ( + )2 + ( + )2

2

1















= ( + )2



























































2

1 2 2 4 1

1 1

= 8



+ 8 8 8 2

tại  =  = 4

2

1



















2

1 1 2

1

A





















2

1 1 2

1

Bài 2:

chia 2 vế cho 6 x 2  1 ta có:

1 1

1 1

1

6











x

x

x

x

x

1

1







- 1

-1

0

y = x

ta cã: 1 1  0

t

t  t2 - t - 1 = 0

2

5 1 2

5



































 













 







2

5 1 2

5 1

1

x x

x

1 2

5 1 2

5 1 1 2

5

1

6 6













 











 

















 



b) NhËn xÐt r»ng: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2  2

 ®iÒu kiÖn cÇn ph¶i cã

8 +

7 + 3 +

2 2

y

y y

 1



2

1

 BPT cã nghiÖm 





 1 1 y

x

Bµi 3: §Æt 0

2

nxdx sin e

n









n nxdx sin ,

dx xe du e





nxdx cos xe n x n cos e n

     2 2  0 2

1 1

1

nxdx cos xe J

; J n e ) ( n

n n n

n

n

n n

e J

n n

e ) (



















1,0®

mÆt kh¸c cã:





 0xe 2cos nxdx 0xe 2cos nxdx J 0xe 2dx

n x

x n

=

n

e I

e

n

2 2

2 2







Do  2  0 2  0

n

e và n

e

Bài 4:

1) 2 điểm: từ MO  E  2 1

2

2

2



 b

y a

xO O

và OM2 = 2 2

O

1=

2

2 0 2

2

0

+

b

y a

2

2 0 2

2

b

y b

0 2

và 1=

2

2 0 2

2

0

+

b

y a

2

2 0 2

2 0

+

a

y a

0 2

0 + y

từ (1) và (2)  a2  OM2  b2  a  OM  b 1,0đ 2) Đờng thẳng AB có dạng   1

n

y m x

với A(m,o); B(n,o)

theo t/c tiếp tuyến  2 1

2 2

2



 n

b m

a

vậy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 =

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2

a m

n b n

m b a n

b m

a

n













 a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 dấu = có khi 2

2

2 2 2

2

a m

n b n

m



 









1

2 2

2 2

n m a

a n b m

 ABmin = a + b khi 









ab b

n

ab a

m

2 2

1đ

Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM = 

Ta có: P = sin + 2sin + 3sin

sẽ tính đợc sin2 + sin2 + sin2 = 2 0,5đ

 sin + sin + sin  sin2 + sin2 + sin2 = 2

=> sin + sin - 1  1 - sin

 2(sin + sin) - 2  1 - sin 0,5đ

 2sin + 3sin + sin  2 + 1 = 3 1,0đ

Pmin = 3 khi sin = sin2; sin = sin2; sin = sin2 0,5đ

A

B

C S

M







=> sin  = 0, sin = sin = 1   = 900,  = 900,  = 00

Pmin = 3 khi M  C