Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA... Tiếp tuyến chung gần B của hai đờ
Trang 1Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150 )’
Câu 1: Giải phơng trình
x x
x
−
−
− 1
3 6
= 3 + 2 x−x2
Câu 2: Cho hệ phơng trình:
x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên Hãy tìm giá trị của biểu thức
M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là
các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M khác B và C) Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q Chứng minh rằng tỷ số EF PQ không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC
Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp
của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó
Trang 2Đề số 2
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài: 150 )’
Câu 1: Cho biểu thức.
(x + x 2 + 2006 ( y + y 2 + 2006 ) = 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: 0
1 2 2
2 2
≤
− +
− +
− y x
y y x x
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất
a Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
b Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy
Câu 5: Giải phơng trình.
x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2 + 1
Trang 3Đề số 3
Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thanh hoá Môn: Toán
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Tìm m để phơng trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,
x3, x4 thoả mãn điều kiện
a Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy sao
cho OA = OB Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B
Từ B hạ đờng vuông góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA tại I
1 Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc
2 Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB
Bài 9: Cho tam giác ABC có àA≠900, M là một điểm di động trên cạnh BC Gọi O và
E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất
Trang 42 1 1
2 1 2
1 1
2 1
−
−
− + + +
+
Với a =
4 3
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6đ)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lợt thứ tự là trung điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I là giao điểm của MH’ và NH Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D
Bài V (3đ)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1 Chứng minh b+c ≥ 16abc
Trang 51 12
10 2
3 )
2 )(
3 4 ( 2
3 ) 6 ( 6
−
−
−
− +
−
−
− +
−
− +
−
x x x
x x
x x
x x
10
) 1
( ) (
4
1 ) (
2
1
y x y
x x
y y
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng
phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD vuông với
nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ
H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA chứng minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M,
N, P, Q nằm trên một (0)
Trang 6b a
+ +
2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đờng thẳng (∆) Đờng tròn (o) tiếp xúc với
đờng thẳng (∆) tại A Hãy dựng đờng tròn (o’) tiếp xúc với đờng tròn (o) và tiếp xúc với đờng thẳng (∆) tại B
Câu 4: (5 điểm)
Cho hai đờng tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o1) và (o2) tại M và N Các đờng thẳng BC và BD lần lợt cắt
đờng thẳng MN tại P và Q Các đờng thẳng CM và DN cắt nhau tại E Chứng minh rằng:
1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân
Trang 7Đề số 11
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9 bảng b–
1 1 1
1 2
2
1 2
+
= +
2 1 2 2
1 1 2
m my x
m y mx
Bài 5: Giải phơng trình x2 + x+ 5 = 5
Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d với Ox, Oy
Xác định m để S∆ABO bằng 4
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đờng tròn nội tiếp ∆ABC vuông ở A biết rằng đờng
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm
Bài 9: Cho đờng tròn tâm O, tiếp tuyến đờng tròn tại B, C cắt nhau ở A,
∧
BAC = 600, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E Gọi giao
điểm của OD, OE với BC lần lợt là I, K Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9
Đề số 12
Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Trang 8thanh ho¸ M«n thi : To¸n
( Thêi gian lµm bµi : 150 phót)
ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a≠0)
cã hai nghiÖm x1,x2 tho¶ m·n x1x2=1 th× 5a2=2b2+ac
Bµi III (5,0 ®iÓm):
Cho tam gi¸c ABC cã c¶ ba gãc nhän AA’,BB’,CC’ lÇn lît lµ c¸c
Bµi V (2,0 ®iÓm):
Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn tè p sao cho ph¬ng tr×nh :
x2+x+1 = py cã nghiÖm nguyªn x,y
a
− + + +
6 ' '
HC
CH HB
BH HA
AH
m H A
AH = '
Trang 9Trờng THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhấtBài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đờng tròn (O;R) Trên cung AC có chứa
điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC
a Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba
cố định
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R
Trang 10Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phơng trình : x2 – 2 (m - 1) x + m – 3 = 01)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m
2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 Trong đó a, b, c, d Є R
Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đờng tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D
Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
Trang 12Đề số 22
Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức
( a)
a
a a a a
+
+ +
: 1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B
Bài 3 : Cho phơng trình
2
1 ) 1 ( 4
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức 2 2 1 22
1x x x
x + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm
đạt đợc là 109 điểm Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phơng trình
5 1 6 8 1
b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A∈(P)
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
1820 13
7x2 + y2 =
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đờng cao của tam giác
Chứng minh rằng
C B
A S
S
ABC
cos cos
cos
=
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lợt nằm trên
4 cạnh của hình vuông Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đờng tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đờng tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P
Đề số 23
Trang 13Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs
Cho hai phơng trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0 Biết rằng hai phơng trình
có nghiệm chung và a + b nhỏ nhất Tìm a và b
=
+
4 4 7 7
3
y x y x
y x
2/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3 + y3 + 6xy = 21
Bài IV ( 2,5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O M là điểm chính giữa cung
BC không chứa điểm A Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O Các đờng phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đờng thẳng AM’ lần lợt tại E và F
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn
2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM
Bài V (2 điểm )
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0 ≤ a ≤ 3 ; 8 ≤ b ≤ 11
và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P)
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Chữ ký của hai ngời coi thi: Số 1: ……… Số 2: ………
Đề số 24
Trang 14Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Hoằng Hoá 2 Đề thi học sinh giỏi lớp 9
1
13 9
1 9
5
1 5
1
1
+ +
+ +
+ +
+ +
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dơng x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
1
) 1 )(
1 ( 1
) 1 )(
1 ( 1
) 1 )(
1
(
z
y x
z y
x z
y x
z y
x
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Bài 3 ( 2 điểm)
2 3
13 2
5 3
2
2
+ +
+ +
x x
x x
3 3
y x
y x y x
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
45 24 4 28 18
x
là số nguyên dơng
Đề số 26
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
Trang 152 2 5 3 5 3
4 2 4 10 17 5 17 5
− +
−
− +
y x
= +
= +
2
3 2
Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:
1 3
2
1
−
= +
= +
m y x
y mx
có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1
Bài 6(2 điểm): Cho đờng (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả
3 2
5 11
2 3 2
−
+
− +
=
x
x x x y
Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đờng a và b thoả a ⊥ b
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D
Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả IA.ID = IB.IC
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đờng tròn
b) Qua D kẻ đờng song song với b cắt AB kéo dài tại F Hãy xác định điểm E trên
FD sao cho AE ⊥ FI Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p M, N trên AB thoả
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3 2 đáy là 2
đờng tròn (O) và (O'), AB là 1 đờng kính của đờng tròn tâm (O), C di động trên đờng tròn (O) S thuộc đờng tròn tâm (O')
a) Xác định C để diện tích ∆ ABC là lớn nhất
b) Khi ∆ ABC đạt giá trị lớn nhất Hãy tính thể tích hình chóp SABC
Đề số 28
Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCSTrờng THPT bc lê viết tạo
****************************
Trang 16Bài 1:
a) Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3
9
4 9
2 9
1 1
b) Tính giá trị biểu thức
1 3
b a a c
a c c b
c b b c a c
b a a
b c b
a c c
a b a
c b
+
− + +
− + +
−
= + +
− +
+ +
− +
+ +
−
) )(
( ) )(
( ) )(
(
2 2 2
2 2
5
y x
a y x
Bài 6: Cho Parabol (P) 2
NB
=
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1 Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu
Bài 10: Cho đờng tròn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN Tiếp tuyến với (0) tại A cắt BM
và BN tại M1, N1 Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1 Đờng kính AB cố
định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đờng kính MN thay đổi
Đê số 30
Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
Trang 17− +
− +
x 9 x 3
2 x x 2
3 x : 9 x
x 3 x 1
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c Qua O có thể kẻ đợc đờng thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau
5 x x
= + +
7 y x
4 y 1 x
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH vẽ đờng tròn tâm O đờng
kính AH Đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại D và E
a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng
b Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứng tại M và N Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC
c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN
Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy 1
2 y
1
1 x
1
1
2
2 + + ≥ + + với x ≥ 1, y ≥ 1
Đề số 31
Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9
Trờng THPT Quảng Xơng 1 Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
Trang 18x x P
1
1 1
1
a> Rút gọn P
b> Tìm giá trị lớn nhất của P1
2>> Tìm trên đờng thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
3 1
2 1
x x
x x
2> Giải phơng trình:
4 )
1 1
2
−
= +
x x
Bài 3: (5 điểm)
1> Cho đờng tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD) E, F là tiếp điểm của AB
và CD với đờng tròn (O)
a> CMR: BE AE =CF DF
b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A Gọi H,
K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
1> Tìm a∈R để phơng trình ẩn x sau: ) 4 7 0
2
11 4 (
2x2 − a+ x+ a2 + =
có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:
3 )
(
4
2
2 2
2 2 2
2
2
2
≥ + +
y y
x y
3 1
2
3 1 1 2
3 1
−
−
− + + + +
Trang 19b Giải phơng trình:
3 3
−
=+
−
=+
14
14
14
y z x
x z y
z y x
b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
c b a
c b
c a
b a
c b
a
− +
+
− +
+
− +
16 9
4
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phơng trình:
x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đờng cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB
⊥AH Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I Hai trung trực của AC
và BC cắt nhau tại O
a Chứng minh ∆ABH đồng dạng với ∆MKO
b Chứng minh 3
3 3 3
3 3 3
IB IH IA
IM IK IO
+ +
+
4 2
Đề số 33 Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9
1 3
1 6 27 3
+ +
2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: 3 3
4 2 2 3 1
1
− +
=
Bài 2:
Trang 20y x
2
2y y x
x
y= 2 + − 2 − (C)
Bài 4:
1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của T = a1+b1+c1 với a, b, c ∈ N và T < 1
2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đờng cao BM Chứng minh rằng
1 2
Bài 5:
Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam giác AEB và CED trong các trờng hợp:
1) (2đ) AB và CD song song
2) (2đ) AB và CD không song song
Hết
Đề số 35
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thang điểm: 20
Bài 1: (6đ)
1 (2đ) Rút gọn biểu thức A =
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− + + + +
2 (4đ) Tính giá trị của tổng
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1 1
Trang 21Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dơng đôi một khác nhau thoả mãn:
+
+ +
+
c b
b a a
sở gd & đt thanh ho á Đề thi học sinh giỏi lớp 9
truờng thpt đặng thai mai môn : Toán
5
5 6 +
− +
−
=
a
a a a
B ; a≠ − 1.2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi
z x y x
a
+
= +
5
và (x+z) = (z−y)(2x+y+z)
16 25
2
Trang 22m x
m m
m y
1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (Dm)
2.Tìm m để đờng thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 tại hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy
2 >
+ + +
+
n n
n với mọi số tự nhiên n> 1./
2 1 + +
2 1
Câu 2:(1 đ) Cho phơng trình x2 - mx + m - 1 = 0
Trang 23Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức
) 1 (
2
3 2
2 1
2 2
2 1
2 1
+ +
+
+
=
x x x x
x x C
Với x1,x2 là các nghiệm của phơng trình đã cho
Câu 3:
a.(1 đ) Giải Phơng trình: 4x2 +3x(4 1 +x -9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phơng trình nghiệm nguyên: xy z + yz x + zx y =3
Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn
(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + zChứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27
Câu 5: Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A
a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp
b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đờng cao của ∆BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA
đề số 40
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn toán
Đề đề xuất Thời gian150’
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
1 1
3
2 3 4 5 3
4 3
=
x x x x x x x x x x x P
Trang 24b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên trục Ox Chứng minh rằng tam giác IHK vuông
d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4 ∀m≠ 0
Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0
a Giải và biện luận theo thámố m
b Khi phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với tham số m
Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lợt là D, E, F Kẻ BB1 ⊥AO , AA1 ⊥BO
Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng
Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
y2=-2(x6-x3y-32)
Đề số 44
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Thời gian:
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ
+
− + +
−
x x x
x x
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 2: (4điểm) Cho phơng trình:
x2 − 2(m− 1)x+m− 1 = 0 (1)