Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Các phương pháp tìm cực trị của hàm số Bài toán tìm cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong chương trình giải tích 12, các em học sinh cần nắm vững các phương pháp tìm cực trị

Các phương pháp tìm cực trị

của hàm số

Bài toán tìm cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong

chương trình giải tích 12, các em học sinh cần nắm vững các

phương pháp tìm cực trị của hàm số để áp dụng vào quá trình khảo sát sự biến thiên và giải các bài toán liên quan.

Bài toán cơ bản mà học sinh thường gặp là tìm cực trị của hàm số y = f(x) Có hai phương pháp để làm bài toán này:

Ph

ươ ng pháp 1 : Tìm cực trị bằng cách sử dụng bảng biến thiên

Các bước lập bảng biến thiên ta đã được biết trong phương pháp xét tính đ ơ n đi ệ u c ủ a hàm s ố , chỉ khác ở phần kết luận Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)

Bước 2: Tìm y', giải phương trình y' = 0.

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận:

 Nếu y' đổi dấu từ - sang + khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

 Nếu y' đổi dấu từ + sang - khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y=13x3−12x2−2x+2

Gi

ả i

Tập xác định: D = R

y′=x2−x−2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCD=y(−1)=196

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT=y(2)=−43

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y=x+32x−1

Gi

ả i

Tập xác định: D=R∖{12}

y′=−7(2x−1) 2<0∀x∈D

Vậy hàm số không có cực trị

Ph

ươ ng pháp 2 : Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp 2

Phương pháp này thường được sử dụng đối với các hàm số mà việc lập bảng biến thiên tương đối khó khăn Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính y' Giải phương trình y' = 0 và kí hiệu xi (i=1,2, ) là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính f"(x) và f"(xi) rồi kết luận:

 Nếu f"(x i)<0 thì hàm số đạt cực đại tại xi

 Nếu f"(xi)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số: y=cosx+12cos2x−1

Gi

ả i

Tập xác định: D = R

y"=−cosx−2cos2x

Ta có: y"(kπxπx)=−cos(kπxπx)−2cos(kπx2πx)=±1−2<0

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x=kπxπx(kπx∈Z)

y"(±2πx3+kπx2πx)=−cos(±2πx3)−2cos(±4πx3)=12+1=32>0

⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x=±2πx3+kπx2πx(kπx∈Z)

Trên đây là hai phương pháp tìm cực trị của hàm số mà học sinh bắt buộc phải nắm vững Vấn đề cực trị của hàm số còn có nhiều bài toán liên quan khác như tìm tham số m để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị, tìm m để hàm số có cực trị thõa điều kiện Các bài toán này sẽ được đề cập trong bài viết sau