Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Long An Môn thi : Toán
(Đề chính thức) Ngày thi : 07/4/2011
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đáp Án Bài 1 (4 điểm)
1/ (2 điểm)
A = 3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
Nhân tử và mẫu mỗi phân thức cho 2 ta có:
A= 2(3 5) 2(3 5)
4 6 2 5 4 6 2 5
+ + − − ……… ………….0,5 đ
A=
2
4 ( 5 1) 4 ( 5 1)
……….… 0,5 đ
A= 2(3 5 3 5)
5 5 5 5
+ − ……….…0,25 đ
A = 2 (3 5)(5 5) (3 5)(5 5)
(5 5)(5 5)
A = 215 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5
25 5
A = 2.20
20
A = 2 ……… … 0,25 đ
2/ Cho biểu thức:
B = x− +2 4−x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng(2 điểm)
Với điều kiện xác định: 2≤ ≤x 4 Ta có B≥0 ……….….…0,25 đ
B2 = 2 +2 (x−2)(4−x)……….… 0,25 đ
Ta có:( x+ −2 4−x)2 ≥0
⇒ x-2+4-x 2 (≥ x−2)(4−x)………0,25 đ
Do đó: B2 =2 +2 (x−2)(4−x) ≤2+2 ………0,25 đ ⇒ B2 ≤4……… 0,25 đ
⇒ B≤2………0,25 đ
Vậy B lớn nhất là bằng 2……….0,25 đ
khi x-2 =4-x ⇒x=3……….………… 0,25 đ
Trang 2Nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF……… … 0,25 đ
b / Chứng minh :: S = . .
4
AB AC BC
R (1,5 điểm)
Bài 2 (5 điểm)
1/ (2 điểm)
(P) y=ax2 qua M(-1;2)⇒a= 2 ⇒(P): y=2x2 ……… 0,5 đ A,B thuộc (P)⇒A(1;2) ,B(2;8)……… 0,5 đ Đường thẳng y=ax+b qua A và B ta có : a+b = 2 và 2a+b =8……….0,5 đ Giải ra ta có a = 6 ,b =-4 Vậy đường thẳng AB có dạng : y =6x-4……….0,25 đ Đường thẳng y = mx+5 song song đường thẳng AB ⇒m =6……… 0,25 đ 2/ Tìm x : 2 1 2 1 1 3 2
x − + x + + =x x + +x x+ (3 điểm)
(2 ) (2 1)
⇔ 4x2− +1 2 4x2+4x+ =1 (x2+1)(2x+1)……… … 0,25 đ
⇔ (2x+1)(2x− +1) 2 2x+ =1 (x2+1)(2x+1)……….…….0,25 đ
Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm……….…….0,25 đ
(2x+1)(2x− +1) 2(2x+ =1) (x +1)(2x+1)……….……0,25 đ
(2x+1)(2x+ =1) (x +1)(2x+1)……….0,25 đ
(2x+1) =(x +1)(2x+1)……….0,25 đ
⇔ 2x+ =1 (x2+1)(2x+1)……… ….0,25 đ
⇔ (2x+1)(x2+ − =1 1) 0……… ……0,25 đ
⇔2x+1=0 hoặc x2 =0……… 0,25 đ
⇔x = 1
2
−
hoặc x = 0 (thỏa điều kiện)………0,25 đ
Bài 3 (5 điểm)
a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF(1,5 điểm)
Ta có tứ giác BFEC là nội tiếp vì BFC BECˆ = ˆ =900
Nên :FEB FCBˆ = ˆ (cùng chắn cung BF)………0,25 đ
Ta có tứ giác DHEC là nội tiếp vì HDC HECˆ = ˆ =900
Nên :BED FCBˆ = ˆ (cùng chắn cung DH)……….….0,25 đ
Do đó: ˆFEB BED= ˆ
Hay EB là phân giác ˆFED ……… …….0,25 đ Tương tự ta có FC,DA là phân giác ˆEFD và ˆ EDF ………0,25 đ Vậy H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF ……… …0,25 đ
Trang 3Tam giác vuông ABD đồng dạng tam giác vuông AKC vì ˆABC= AKCˆ (cùng chắn cung AC)
⇒ = ……… ……0,5 đ
⇒AB.AC = AK.AD =2R.AD……… 0,25 đ
⇒AD = .
2
AB AC
R ………0,25 đ
Mà S = .
2
BC AD
………0,25 đ = . .
4
AB AC BC
R ………0,25 đ
c/ Chứng minh DFEM là nội tiếp (2 điểm)
Tam giác BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên tam giác BME cân tại M
Ta có : BEFˆ =FAHˆ (cùng chắn cung FH)(2)……… 0,25 đ
Từ (1) và (2) ta có MEFˆ =EAFˆ ………0,25 đ
EAF =BHF(cùng bù ˆFHE )………0,25 đ
Mà ˆBHF =FDBˆ (cùng chắn cung BF)………0,25 đ
Nên MEFˆ =FDBˆ
Vậy tứ giác DFEM là nội tiếp……… 0,25 đ
A
E F
D
H O M
K
Trang 4Các cách làm khác cho điểm tương đương
Bài 4 (3 điểm)
Ta có :SABC = SMBC + SMAB + SMAC 0,25 đ ⇒SABC = 1
2(ax+by +cz )………0,25 đ ⇒2SABC.P =(ax+by+cz)(a b c
x+ +y z )……….0,5 đ
= a2 +b2 +c2 +ab(x y
y+ x)+bc( y z
z + y )+ac(x z
z+ x)…………0,5 đ
Ta có
2 0
y+ ≥x 2 ……… 0,25 đ Tương tự ta có y z
z + ≥y 2 ,x z
z+ ≥x 2……… ………….0,25 đ
Do đó 2SABC.P ≥a2 +b2+c2 +2bc+2ac+2ab = (a+b+c)2……… 0,25 đ
P ≥
2
2 ABC
a b c S
+ +
……….0,25 đ Dấu “ =” xảy ra ⇔x = y = z ⇔M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ……….0,25 đ Vậy P nhỏ nhất khi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ……… 0,25 đ
Bài 5 ( 3 điểm)
Gọi số chính phương cần tìm là abcd ( a khác 0)……….0,25 đ
Đặt n2 = abcd ( n ∈N*)……… 0,25 đ
n2 < 10000 nên n <100……….0,25 đ Khi tăng mỗi chữ số thêm một đơn vị ta có :
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)= m2…( m ∈N*)……… ….0,25 đ Tương tự ta có m <100……… 0,25 đ Vậy m+n <200 ……… …… 0,25 đ
Ta có m2- n2 = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)- abcd = 1111……… 0,25 đ
Vậy (m- n)(m+ n) = 1111……… 0,25 đ
Vì 1111= 1.1111 =11.101……….0,25 đ Chỉ xảy ra m-n =11 và m+n = 101………0,25 đ Giải ra ta có : m =56 , n= 45 ………0,25 đ
Số phải tìm là abcd = 452 = 2025……….0,25 đ
M
C B
A
a
b c
x y z