Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Biết AA' hợp với mặt phẳng đáy ABC một góc 60.. Chứ
Trang 1TỔ TOÁN TIN Môn: TOÁN Khối A + B
Ngày thi: 28/12/2010 Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 - 5 x 2 + 4, có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để phương trình x4-5x2 +4 = log 2 m có 6 nghiệm phân biệt.
Câu II. (2,0 điểm)
cos
1
sin
2 )
1 cos
2 ( cos
1
=
-
- +
-
x
x
x
x
2. Giải hệ phương trình :
2
1
log 2
xy
y
x
ì
ï
í
ï
î
Câu III. (2,0 điểm)
1. Tính tích phân: I =
4
2
0 ( x sin 2 ) cos 2 x xdx
p
+
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
3 4 0
x x
x x x m m
ì - - £
ï
í
ï
Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a . Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết AA' hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60 .
1 Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2 Tính thể tích khối lăng trụ .
Câu V (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5 , C(1;1), đường thẳng AB có phương trình: x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và B.
2. Giải bất phương trình: 2 2 1 2 2 1 4
2 3
-
Câu VI. (1,0 điểm) Tính tổng: S = C20100 + 2 C12010+ 3 C20102 + 2011 + C 2010 2010 .
… Hết …
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………; Số báo danh: ………
www.thpttamnong.net
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM: 2010 2011
* Tập xác định D = R
* Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = 4x 3 10x = 2x(2x 2 5); y’ = 0 Û
0
5
2
=
é
ê
ê = ±
ê
x
x . Dấu của y’:
2
2 +¥
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ¥; 5
2 ) và (0;
5
2 ).
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 5
2 ; 0) và (
5
2 ; + ¥).
Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 5
2 , yCT =
9
4 ; Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4.
0,25
Giới hạn: 4
5 4
x x
Bảng biến thiên:
2
y
+¥
9
4
4
9
4
I1
(1
điểm)
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm:
(1;0), (1; 0), (2; 0), (2; 0)
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0)
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
0,25
Số nghiệm của phương trình: x4 -5x2 +4 = log 2 m là số giao điểm của đường thẳng y
= log m với đồ thị của hàm số 2 y= x4-5x 2 + 4 .
0,25
Vẽ được đồ thị hàm số y= x4-5x 2 + 4
0,25
Xác định được điều kiện: 0<log2 m<4Û <1 m < 16 0,25
I2
(1
điểm)
5
4
3
2
1
1
2
3
6
5
4
3
2
1
1
www.thpttamnong.net
Trang 30 sin
2 ) sin
1 (
2 cos
1 sin
2 cos cos
2
1 - 2 - - = - Û - - 2 - =
2 sin
2
2 sin
0
2 sin
2 sin
0,5
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
=
+
-
=
Û
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
=
p
p
p
p
p
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
k
x
k
x
II1
(1 điểm)
+) Thế vào (2) ta có:
2
x x x
Đặt x 1
x
+ (t > 0), ta có phương trình: t 4 = 8t Û t = 2 (vì t > 0).
x x x x
x x
+ = Û + = Û - + = Û x=2± 3
0,25
0,25
II2
(1 điểm)
+) KL : Hệ có các nghiệm là : 2 3; 4 ; 2 3; 4
I =
1 2
( x sin 2 ) cos 2 x xdx x cos 2 xdx sin 2 cos 2 x xdx I I
cos 2 sin 2
2
du dx
u x
dv xdx v x
=
ì
=
Þ
.
4
1
0
I x x xdx x
p
0,25
0,25
+ Tính I2:
4
2
0
sin 2 cos 2 x xdx
p
ò Đặt t = sin2x Þ dt = 2cos2xdx.
x = 0 Þ t = 0, x =
4
p
Þ t = 1
Þ I2 =
2
0
1
0
.
t
t dx = =
0,25
III 1
(1 điểm)
Vậy I = 1
8 12
p
III 2
(1 điểm)
Ta có: x2 -3x- £4 0Û - £1 x £ 4
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
x - x x-m - m ³ có nghiệm x Î - [ 1; 4 ]
x x x m m
Û - ³ + có nghiệm x Î - [ 1; 4 ]
Đặt ( )
3
3
x x khi x
f x x x x
x x khi x
ì + - £ <
ï
ï
0,25
www.thpttamnong.net
Trang 4Ta có : ( )
2
2
'
x x khi x
f x
x x khi x
ì + - < <
ï
= í
- < <
ï
; f'( ) x =0Ûx=0;x = ± 2
Ta có bảng biến thiên :
( ) 2
15
f x ³m + m có nghiệm x Î - [ 1; 4 ]
[ ] ( ) 2 1;4
max f x m 15 m
-
Û ³ + Û16³m2 + 15 m
2
m m m
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Û -16£m £ 1 .
0,25
0,25
0,25 0,25
1. Ta có A 'O ^ (ABC) Þ OA là hình chiếu của AA'
trên (ABC).
Vậy góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60 =¼ = o
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO ^ BC tại trung điểm H của BC nên BC ^ A 'H .
BC ^ BB' .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
0,25
0,25
IV
(1 điểm)
ABC
o AOA ' Þ A 'O = AO t an60 = a
V
Vậy V = SABC.A'O =
3
a 3
4
0,25 0,25
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:
x x y y
G + - + -
Có G thuộc đường thẳng x + y 2 = 0 nên:
x x y y
x x y y
0,25
Có A, B thuộc đường thẳng : x + 2y – 3 = 0 nên 1 1
3 2
3 2
x y
x y
= -
ì
í
= -
î
(2), suy ra
x +x + y +y = (3).
Từ (1) và (3) suy ra: 1 2 2 1
x x x x
y y y y
Û
0,25
V.
1
(1 điểm)
+ AB = 5 Û AB 2 = 5 Û (x2-x1)2+(y2- y 1 )2 = 5 Û (10-2 )x1 2+ - -( 2 2y 1 )2 = 5
Kết hợp với (2) ta được:
1
1
3
2 (4 4 ) ( 2 2 ) 5
1
2
y
y y
y
é
= -
ê
ê = -
ê
0,25
H
O
o
60
C'
A
a
B' A'
C
B
x
f’(x)
f(x)
1
+
4
4
2
0
0
16
www.thpttamnong.net
Trang 5+ Với 1 1
2
y = - Þ x1 = 4, x2 = 6, y2 = 3
2
- Vậy A(4; 1
2
- ), B(6; 3
2
- ).
Vậy A(6; 3
2
- ), B(4; 1
2
- ).
0,25
+ Đặt t = 2 2
(2+ 3) x - x (t >0), ta có BPT:
2
1
t t t t
t
2- 3£(2+ 3)x - x £2+ 3Û - £1 x -2x £ 1 0,25
V.
2
(1 điểm)
+ Có (1+x)2010=C20100 +xC12010+x C2 20102 + + x2010C 2010 2010 .
+ Nhân cả hai vế với x ta được:
x +x =xC +x C +x C + + x C
Lấy đạo hàm từng vế ta được:
(1+x) +2010 (1x +x) =C +2xC +3x C + + 2011 x C
0,25
0,25
0,25
VI.
(1 điểm)
2010 2 2010 3 2010 2011 2010 1005.2
C + C + C + + C =
www.thpttamnong.net