Chuyên đề hay-không cần sửa

Trong chuyên đề này , tôi muốn đa ra một dấu hiệu chứng minh bài toán : Điều kiện cần và đủ dể hai đờng chéo của một tứ giác vuông góc với nhau và một số bài toán áp dụng.. Mong chuyên đ

Học sinh đã đợc học định lý Pytago ngay từ lớp 7 Vẻ đẹp của nó vang dội trong suốt quá trình học tập của học sinh sau này Để khẳng định một tam giác vuông thông th-ờng ta sử dụng địnhlý Pytago Thế còn muốn khẳng định một tứ giác có hai đth-ờng chéo vuông góc với nhau, ta làm thế nào ? Trong chuyên đề này , tôi muốn đa ra một dấu hiệu chứng minh bài toán : Điều kiện cần và đủ dể hai đờng chéo của một tứ giác vuông góc

với nhau và một số bài toán áp dụng Đó là định lý 4 điểm Mong chuyên đề này , giúp

thày cô và học sinh năng khiếu có một phơng pháp giải quyết tốt một lớp bài toán chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

Ngô Đức Minh

GV THCS Ngô Gia Tự – Quận Hồng bàng

Để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau, thông thờng ta gắn chúng vào hai cạnh của tam giác , rồi tìm cách chứng minh tam giác đó vuông theo quan hệ giữa các góc hay giữa các cạnh Đôi khi có sử các tính chất đặc trng , chẳng hạn: Tính trực tâm của tam giác , tiên đề ơclít về đờng thẳng vuông góc hoặc tính vuông góc với một trong các đ-ờng thẳng song song Trong bài viết này , tôi muốn đa ra một phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng vuông góc dựa vào một dấu hiệu của tứ giác có hai đờng chéo vuông góc với nhau

Định lý 1: Tứ giác có hai đờng chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi

tổng các bình phơng của hai cạnh đối diện bằng nhau.

Chứng minh :

Điều kiện cần: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo

AC và BD vuông góc với nhau tại O thì ta có :

Thật vậy , theo định lý Pytago ta có :

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

;

;

OD OC

OB OA BC

AD OC

OB BC

OD OA

AD

OD OC

OB OA CD

AB OD

OC CD

OB OA

AB

+ +

+

= +

⇒ +

= +

=

+ + +

= +

⇒ +

= +

=

Suy ra : AB2 +CD2 = AD2 +BC2

Điều kiện đủ: Tứ giác ABCD có AB2 +CD2 = AD2 +BC2

thế thì hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O

Thật vậy:

+) Nếu tứ giác ABCD có AB = BC thế thì CD = AD Khi đó theo tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng ta có : AC ⊥ BD

+) Xét trờng hợp AB ≠ BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với AC tại O

Từ D hạ DE ⊥ AC và DF ⊥ BO

Không giảm tính tổng quát , Giả sử điểm O nằm giữa A và E

Và ta có tứ giác OEDF là hình chữ nhật

Sử dụng định lý Pytago ta đợc :

( vì ED = OF )

O A

C

AB +CD = OA +OB + EC +ED

O B

=OA2 +OB2 +OC2 +OE2 +OF2 −2OC⋅CE

Mà AD2 +BC2 =(EA2 +ED2) (+ OB2 +OC2)

( )2 2 2 2

OC OB

OF OE

=OA2 +OE2 +OF2 +OB2 +OC2 +2OA⋅OE

Do AB2 +CD2 = AD2 +BC2 nên 2.OA.OE + 2.OC.OE = 0 ⇔ OE ( OA + OC ) = 0 Vì A ≠ C nên OA + OC ≠ 0 Bởi vậy độ dài OE phải bằng 0, tức là E trùng với O

Suy ra D trùng với F Hay AC⊥BD tại O

Nh vậy , định lý đã đợc chứng minh

Việc vận dụng định lý vào chứng minh hai đờng thẳng vuông góc nh sau:

Muốn chứng minh hai đờng thẳng AC và BD vuông góc với nhau ,

ta cần chứng minh: và ngợc lại

Sau đây là một số bài tập đợc vận dụng định lý trên

tứ giác bằng tổng các bình phơng của hai đờng chéo thì hai cạnh đối diện còn lại của tứ giác đó vuông góc với nhau và ngợc lại

Lời giải :

Xét tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện AD và BC

cắt nhau tại O Gọi D1 và C1 lần luợt là các điểm

đối xứng của D và C qua O Khi đó ta có :

AC1 = AC ; BD1 = BD và C1D1 = CD

áp dụng định lý 1 , ta có : tứ giác ABD1C1 có

AD1⊥BC1⇔ AB 2 + C1D1 = AC12 + BD1

Từ đó , suy ra : Tứ giác ABCD có

AD ⊥ BC ⇔ AB2 + CD2 = AC2 + BD2

Bài toán 2 : Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia AD và BC lần lợt lấy hai điểm F và

E sao cho DF = CE = DC Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH = CB

Chứng minh rằng : AE ⊥ FH

Lời giải :

Đặt AB = x ; BC = y

Theo bài ra ta có : DF = CE = CD = x

CH = CB = y Dễ thấy tứ giác CDFE là hình vuông

nên EF = x

Sử dụng định lý Pytago ta có :

( 2 2) 2 2

AH + = + + =y2 +(x+y)2 +x2

2 2

2

( )2 ( 2 2) ( 2 )2 2 2 2

2 2

2

AF + = + + (2)

Từ (1) và (2) suy ra :AH2 +EF2 = AF2 +HE2

Theo định lý 4 điêm, ta có AE⊥ FH

một đờng tròn khác (O’) Có các điểm N, P, Q, M lần lợt với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác đã cho

Chứng minh rằng : MP⊥ NQ

Lời giải:

Gọi O’A∩MN= H và O’C∩PQ= E

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) nên

à à 180 0

A C+ = Tứ giác ABCD lại ngoại tiếp đờng tròn

(O’) nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có

:

ã à ã à

( Vì cùng phụ với O CQã ' )

E

H O' O

B C

A

P

M Q

' ' ( ). '

'

Đặt MA = AN = x ; BN = BP = y ; CP = CQ = z ; DQ = DM = t ; O’M = O’Q = r Khi đó ta có : r x 2

r x z

z = ⇒r = ì Tơng tự ta cũng có :

2

'

'

∆ : ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ì Suy ra : r2 = ì = ìx z y t

Do AM và AN là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O’) nên ta có O’A ⊥ MN tại M và H là trung điểm của MN áp dụng hệ thức lợng vào ∆O MA' vuông tại M , có đờng cao MH đợc :

( ) ( )

2

2 2

2

4

2

x x z

x r

MN

ì

( do r2 = x.z ) Suy ra : 2 4x z2

MN

x z

ì

= +

Hoàn toàn tơng tự , ta cũng có : 2 4 2 2 4 2 2 4 2

Suy ra:

( ) ( )

4

4

xz x z

x z xz

yt y t

y t yt

+

+

( do r 2= x.z = y.t )

Nh vậy tứ giác ABCD có : MN2 +PQ2 =NP2 +MQ2 Theo định lý 4 điểm thì MP ⊥ NQ

cạnh AB, còn E là giao điểm của các đờng trung tuyến của tam giác ACD

Chứng minh rằng : Nếu AB = AC thì OE vuông góc với CD

( Đề thi vô định nớc Anh – Năm 1983 )

Lời giải :

E

O C

B

A D N

M

Gọi CE ∩ AB = M ; DE ∩ AC = N

Đặt BC = a , và AB = AC = b

Theo giả thiết ta có E là trọng tâm của tam giác ACD áp

dụng định lý về đờng trung tuyến , ta có :

2

2

2

2

2

1 2

1

CA

CM

CE

+

  +

Suy ra : 2 1 2 1 2

CE = b + a

Do (O) là đờng tròn ngoại tiếp ∆ACB mà D là trung điểm của AB nên OD ⊥ AB ( quan hệ đờng kính và dây cung ) Theo định lý Pytago , ta có :

2

OB =OD +BD ⇒OD =OB −BD ⇒OD =OC  AB

−  ữ ( vì OC = OB = R )

2 2 1 2 2 1 2

 

Vậy : 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2

CE +OD = b + a  + OC − b =OC + a

Dễ thấy ND là đờng trung bình của ∆ABC nên

1 3 1

DN = BC⇒ DE= BC ( tính chất trọng tâm E ) 1 2 1 2

⇒ = ⇒ = (2)

Từ (1) và (2) suy ra : CE2 +OD2 =OC2 +DE2

Theo định lý 4 điểm thì OE ⊥ CD (đpcm)

Bài toán 5 : Cho tứ giác ABCD có DAB ABC BCDã = ã = ã > 90 0

Chứng minh rằng : đờng thẳng ơle của ∆ABC đi qua D

Giải :

Gọi DA∩CB=M, AB∩DC=N

Các đờng cao MM1 , NN1 của các tam

giác AMB và BNC cắt nhau tại O

Do ãDAB ABC BCD= ã = ã nên các tam giác

AMB , BNC đều là các tam giác cân tại M

và N Do đó OM và ON lần lợt là các

đ-ờng trung trực của AB và BC Từ đó suy ra

: O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

Gọi H là trực tâm của tam giác ∆ABC

Vì ãABC > 90 0 nên H nằm ngoài ∆ABC và

ta có HA ⊥ BC tại B1 và HC ⊥ AB tại C1

Nh vậy , ta sẽ có các tứ giác sau là các tứ

giác nội tiếp đợc ,đó là : AM1B1M,

AB1C1C, CN1C1N và MACN Ta gọi I , J

lần lợt là trung điểm của MA và CN Khi

đó I , J lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại

tiếp tứ giác AM1B1M và CN1C1N

áp dụng phơng tích của một đờng tròn ta sẽ có :

- Tứ giác AM1B1M nội tiếp đờng tròn (I) có : 2 2

1

1

OM OMì =OI −IA

- Tứ giác CN1C1N nội tiếp đờng tròn (J) có : 2 2

1

1

ON ON OJì = −JC

Do tứ giác AB1C1C nội tiếp đợc nên : HC HC HB HA1ì = 1ì

Suy ra : HI2 −IA2 =HJ2 −JC2 ⇒HI2 −HJ2 =IA2 −JC2 (1)

Tơng tự Tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc nên

OM OMì =ON ONì ⇒OI −IA =OJ −JC ⇒OI −OJ =IA −JC

Từ đó suy ra : HI2 −HJ2 =OI2 −OJ2 ⇒HI2 +OJ2 =OI2 +HJ2

Theo định lý 4 điểm thì OH ⊥ IJ (2)

Mặt khác , do tứ giác MACN nội tiếp đợc nên: DA DM = DC DN

⇒ ( DI – IA ).( DI + IA ) = ( DJ – JC ).( DJ – JC )

( Lu ý : I, J lần lợt là trung điểm của MA và NC )

A

C1

N1 M1

B1 B M

D

N

O

H

C I

J

⇒DI2 −IA2 =DJ2 −JC2 ⇒DI2 −DJ2 =IA2 −JC2 (3)

Từ (1) và (3) suy ra :HI2 −HJ2 =DI2 −DJ2 ⇒HI2 +DJ2 =DI2 +HJ2

Theo định lý 4 điểm thì DH ⊥ IJ (4) Từ (2) và (4) suy ra : H, O, D thẳng hàng

Ta đã biết đờng thẳng ơ le của tam giác ABC đi qua trực tâm H ,trọng tâm G và tâm O của

đờng tròn ngoại tiếp Do đó khẳng định đợc rằng :

Đờng thẳng ơ le của tam giác ABC đi qua D.

Qua 5 bài toán trên , một lần nữa khẳng định rằng : Định lý về dấu hiệu hai đờng thẳng vuông góc đã giải quyết tốt một phần nào cho lớp bài toán thuộc dạng này

Hơn nữa , nhận thấy rằng , nếu đặc biệt hoá một chút :

- Nếu D trùng với A thì nội dung định lý trên chính là nội dung định lý Pytago cho tam

giác vuông Vì thế , định lý trên coi là sự mở rộng định lý Pytago cho tứ giác

- Nếu D trùng với trực tâm H của tam giác ABC thì ta có :

H là trực tâm của tam giác ABC ⇔HA2 +BC2 =HB2 +AC2 =HC2 +AB2

- Vấn đề : D trùng với trực tâm H cho ta suy nghĩ về tứ giác ABCD có hai đờng chéo

vuông góc với nhau , không nhất thiết phải là tứ giác lồi

Mong các bạn yêu toán , ứng dụng định lý trên nh là một phơng pháp giải quyết tốt một lớp các bài toán chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

Chúc các bạn thành công !