chuyên đề tiệm cận và đường cong

chuyên đề tiệm cận và đường cong tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

BÀI 7 TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH

A TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG

I CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

1 Điểm chạy ra vô tận:

M(x, y) → ∞ ⇔

x y x y

→ ∞





→ ∞



 → ∞



→ ∞





2 Định nghĩa tiệm cận

Cho đường cong (C): y = f (x) và đường thẳng (D) Lấy M bất kì ∈ C) Gọi H

là hình của M lên đường thẳng (D) Khi đó ta nói đường thẳng (D) là tiệm cận của đường cong (C) ⇔

( )

M lim, 0

3 Nhận xét:

Đường cong (C): y = f (x) chỉ có thể có tiệm cận ⇔ Miền xác định hoặc miền giá trị của hàm số y = f (x) phải chứa ∞ ⇔ Đường cong (C): y = f (x) phải có

nhánh chạy ra vô tận Tuy nhiên có những hàm số có nhánh chạy ra vô tận nhưng vẫn không có tiệm cận

II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIỆM CẬN

Cho đường cong (C): y = f (x) Xét các dấu hiệu với các tiệm cận tương ứng

1 Tiệm cận đứng: lim ( )

→ = ∞ ⇔ = là tiệm cận đứng

2 Tiệm cận ngang: lim ( )

→∞ = ⇔ = là tiệm cận ngang

3 Tiệm cận xiên: lim ( ) ( ) 0

→∞

y

M1 M

2

M

n

M

H2

H 1 H

Hn

(D) (C): y=f(x)

y

x O

H1 1

M

M

H

2 H

n H

M2

n

M

.

x0

0

f(x )

a

b f(x )0

0 x

Mn 2 M

M

M1

1 H

y

H 2 H n

Hn

H1 H

2 H

Mn

M2

M y

x O

ax +b0

x0

0 f(x )

K

III TIỆM CẬN CỦA HÀM PHÂN THỨC: Xột hàm số ( ) ( )

( )

u x

y f x

v x

1 Tiệm cận đứng: Bước 1: Giải phương trỡnh v x( )= ⇔ ∈0 x {x x1, 2, ,x n}

Bước 2: Nếu ( )

( )

0 0

k k

u x

v x





=

( ) ( )

lim

k

k

x x

v x

→ = ∞ ⇔ = là 1 tiệm cận đứng

2 Tiệm cận ngang: Bước 1: Dấu hiệu nhận biết

MXé:

∞





≤



chứa

Bước 2: Xột giới hạn ( )

( )

lim

x

v x

→∞ = ⇔ = là tiệm cận ngang

3 Tiệm cận xiờn:

Bước 1: Dấu hiệu nhận biết

MXé:

1

∞







chứa

Bước 2: Tỡm tiệm cận:

Cỏch 1: Phương phỏp tổng quỏt

Xột giới hạn ( )

lim

x

f x

a x

→∞ đặt=

; lim ( )

→∞

 đặt Kết luận: (C) cú tiệm

cận xiờn là: y = ax + b

Cỏch 2: Phương phỏp chia đa thức (Sử dụng hàm phõn thức hữu tỷ)

Bước 1: Thực hiện phộp chia đa thức: ( ) ( )

( )

( ) ( )

degw x <degv x

( )

w x

v x

y = ax + b

IV CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Tỡm m để ( )C :y f x( ) x2

− cú tiệm cận

Giải
Với m = 0 thỡ f x( ) x2 x x 0

x

= = ∀ ≠ ⇒ (C) khụng cú tiệm cận

Với m ≠ 0 thỡ lim ( ) 2

x m

x

f x

− ⇒ Tiệm cận đứng x = m Vậy với m ≠ 0 thỡ hàm số luụn cú tiệm cận

Bài 2 Tỡm cỏc đường tiệm cận của (C): ( )

x

y f x

2

1

x

f x

− + ⇒ (C) cú tiệm cận ngang y = 0

Xét phương trình g x( )=x2 −mx+ = 0 (1) 1

Ta có: ∆ =g m2 − • Nếu 24 − <m< thì 2 ∆ < ⇒ g(x) > 0 ∀x g 0

⇒ (C) không có tiệm cận đứng

• Nếu m = − thì (1) có 1 nghiệm x = −1 ⇒ 2 ( )

1

lim

→− = −∞ ⇒ TCĐ: x = −1

• Nếu m = thì (1) có 1 nghiệm x = 1 ⇒ 2 ( )

1

lim

→ = +∞ ⇒ TCĐ: x = 1

• Nếu m>2 ∨m< − thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 2

2 1,2

4 0 2

→ = ∞ → = ∞ ⇒ (C) có 2 tiệm cận đứng x=x1 và x=x2

Bài 3 Tìm m để ( )C :y f x( ) 2x2 3x m

− không có tiệm cận đứng

Giải Hàm số không có tiệm cận đứng ⇔ ( ) 2

u x = x − x+m = có nghiệm x = m

⇔ u m( )=2m2 −3m+m= ⇔0 2m m( −1)= ⇔0 m=0 ∨ m= 1

2

x

+

Giải

• Xét m = 0 thì 6 2

2

x y x

−

= + , khi đó: 2

lim

2

x

x x

→−

− = ∞ + ⇒ Tiệm cận đứng x = −2

x

• Xét m ≠ 0: Ta có: ( ) 2 6 2 6 2 4 14

2

m− = ⇔m= thì ( ) 7 1 2

2

f x = x− ∀ ≠ − nên không có tiệm cận x

2

m≠ thì 4m−14≠ ⇒ 0 ( )

2

lim

→ − = ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = −2

2

m

x

−

+ ⇒ TCX: y=mx+ −6 2m

Kết luận:

Nếu m = 0 thì (C) có TCĐ: x = −2 ; TCN: y = 6

2

m= thì (C) không có tiệm cận

2

m≠ m≠ thì (C) có TCĐ: x = −2 ; TCX: y=mx+ −6 2m

B KHOẢNG CÁCH

I TÓM TẮT CÔNG THỨC

2 2

x y

x y







2 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

M,

d





+



§iÓm

Các trường hợp đặc biệt: Nếu ( ∆): x = a thì d(M, ∆) = |x0 − a|

Nếu ( ∆): y = b thì d(M, ∆) = |y0 − b|

Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: d(M)= x0 + y0

3 Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong

Định nghĩa: Cho đồ thị (C) và đường thẳng (∆)

Lấy bất kỳ M∈(C) và N∈(∆), khi đó d(∆, C) = Min MN

Bài toán: Cho (C): y = ƒ(x) và (∆): Ax + By + C = 0 Tìm d(∆, C)

Phương pháp: Cách 1: Lấy bất kì M(x0, y0)∈(C) ⇒ y0 = ƒ(x0)

Tính d(M, ∆) = 0 0

+

Khi đó d(∆,C)=Mind(M,∆ )

Cách 2: Bước 1: Viết PT tiếp tuyến (t) của (C) // (∆) ⇒ Tiếp điểm A(x0, y0)

Bước 2: d(∆,C)=d A( ,∆ )

4 Diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ

2 2

Diên tích tam giác OAB

O 0, 0 ; A , ; B ,









Diên tích tam giác ABC

⇒







II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 a Cho A(3, 0) Tìm điểm M ∈ (P): y=x2 để AM nhỏ nhất

b Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM ⊥ tiếp tuyến của (P) tại M

Giải

a GọiM(m m, 2)∈(P) ⇒ AM2=m4+m2−6m+ 9

Cách 1: Đặt g m( )=m4 +m2 −6m+ Ta có: 9 g m′( )=4m3 +2m− = 6 0

⇔ (m−1 2)( m2 +2m+3)= ⇔0 m = Lập BBT suy ra Min g(m) = g(1) = 5 1

⇒ MinAM = 5 xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1)

AM =m +m − m+ = m − + m− + ≥

⇒ MinAM = 5 ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1)

Cách 3: AM2 =m4 +m2 + + + + −1 1 1 1 6m+ 5

6 4 2

6 m m .1.1.1.1 6m 5

≥ ⋅ − + =6 m −6m+ ≥ 5 5

⇒ MinAM = 5 xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1)

b) Tiếp tuyến của (P) tại M có hệ số góc là: k1= y m′( )=2m

Đường thẳng AM có hệ số góc là:

2 M

2

M

0

k

−

3

1. 2 2

3

m

k k

m

=

−

Khi AM min thì m = 1 ⇒ 1 2 2.1 1

1 3

− ⇒ AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P)

y= f x = x − x+ và (∆): y = x − 5

Tìm điểm M∈(P), N∈(∆) sao cho MN nhỏ nhất

M m, 2m −3m+1 ∈ (P) và N(n n, −5) ∈ (∆)

2 m n m 2m 3 2 m 2m 3 2 m 1 2 8 M N 2 2

Dấu bằng xảy ra ⇔ m=1,n= Suy ra 3 M 1, 0 và N 3, 2( ) ( − )

Bình luận: Có thể giải bằng phương pháp hình học theo các bước sau đây:

− Vẽ đồ thị và nhận xét (∆) và (P) không cắt nhau

− Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) // (∆), tiếp xúc nhau tại M

− Gọi N là hình chiếu của M lên (∆), chứng minh MN là khoảng cách ngắn

nhất bằng lý luận hình học

2

x

y f x

x

−

− để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (H) là nhỏ nhất

x

f x

−

− − ⇒ TCĐ: x = 2 ; TCN: y = 3

Lấy M( , 3 1 )

2

m

m

+

− ∈(H), khi đó tổng k/c từ M đến 2 tiệm cận của (H) là:

2

m

− ; Dấu bằng ⇔

M 1, 2

2 1

M 3, 4

m



− = ⇔ 



3

9

1 -1

1

0

O

y

x A

B

M H

M

Bài 4 Tìm điểm M ∈ (H): ( ) 1

1

x

y f x

x

−

+ để tổng khoảng cách từ M đến 2

trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất

Giải: Lấy M( , 1)

1

m m m

− + ∈(H), tổng k/c từ M đến Ox, Oy là:

1

m

m

−

+

Để ý rằng với M(1, 0) thì d(M) = 1, do đó

để tìm Min d(M) ta chỉ cần xét khi

1 1

1

m m

m

 < − < <

<  − < +



m

−

Suy ra Mind(M)=2( 2−1) xảy ra ⇔ m= 2− ⇔1 M( 2−1,1− 2)

Bài 5 Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C): ( ) 4 9

3

x

y f x

x

−

− các điểm M1, M2

để độ dài M1M2 là nhỏ nhất

x

y f x

−

− − ⇒ TCĐ: x = 3 ; TCN: y = 4

1 1 1

2 2 2

M , nhánh trái (C)

x y

x y





∈



cña ph¶i cña Dox1< <3 x2 nên đặt

1 2

x x

= − α α >





= + β β >



⇒ y1= −4 3 ;y2 = +4 3

M M = x −x + y − y

= α + β + +  = α + β  +  ≥ αβ ⋅ =

1 2

Min M M =2 6 ⇔ α = β = 3 ⇒ M1(3− 3, 4− 3 ; M) 2(3+ 3, 4+ 3)

3

y f x

x

+ Tìm M∈(C) để khoảng cách từ

M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy

Giải: Khoảng cách từ M(x, y) đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M(x, y) đến Oy

⇔ y =2 x ⇔ y= ±2x Xét 2 khả năng sau:

2

⇔ x ∈ ∅

y

-1 1 -1

1

K

•

2

1 61

2

=

3

y f x

x

+ −

− để khoảng cách từ M đến 2

trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất

Giải: Lấy M(m f m, ( ))∈(C) ⇒

Do M0(2, 0) thì d(M0) = 2 nên để tìm Min d(M) ta chỉ cần xét khi m ≤ 2 Xét 2 khả năng sau:

• Nếu −2 ≤ m ≤ 0 thì (M) ( ) ( 4 6 ) 4 6

( )

3

g m

m

−

−

⇒ Mind(M)=Ming m( )=g( )0 = 2

• Nếu 0 ≤ m ≤ 2 thì (M) ( ) ( 4 6 ) 2 4 6

( )

6

3

m

−

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Mind M =Minh m =h 0 =h 2 = 2

⇔ m= ∨0 m= ⇔ M(0, 2), M(2, 0) 2

1

y x

=

− để khoảng cách từ M đến giao 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất

1

x

− ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = x + 3 ⇒ I(1, 4)

Lấy M(a + 1, b)∈(C) với a ≠ 0 ⇒ b a 4 1

a

IM = a+ − + b−

⇒ MinIM = 2 1( + 2) xảy ra ⇔ 2 2

a

±

f

2

10−4 3

2

Bài 9 Tìm M ∈ (C): 2 3 3

2

y x

= + để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất

+ + ⇒ TCĐ: x + 2 = 0 ; TCX: x − y + 1 = 0 Lấy M(x0, y0)∈(C), khi đó tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là:

0

8

2

x

+

1

y f x

x

− các điểm M1, M2

để độ dài M1M2 là nhỏ nhất

1

x

= − + −

− ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = −x + 1

1 1 1

2 2 2

M , nhánh trái (C)

x y

x y





∈



cña ph¶i cña Do x1< <1 x2 nên đặt

1 2

x x

= − α α >





= + β β >



⇒ y1= α + 4;y2 = −β −4

M M = x −x + y − y

( )

2

8

= α + β + −β − − α −  = α + β  + +  = α + β  + + 

2

2 8

αβ

Suy ra Min M M1 2 =4 2 1( + 2) xảy ra ⇔ ( )2 4

α = β > αβ = ⇔ α = β =

M 1− 8, 8+2 2 ; M 1+ 8,− 8−2 2

1

y f x

x

− (cosα ≠ 0)

Tìm α để khoảng cách từ O(0, 0) đến tiệm cận xiên của (Cα) là lớn nhất

Giải:

( ) 3 2cos 4 sin 7 3 cos 4 sin 3cos 4 sin 3cos 7

⇒ TCX (∆): y=3 cosx α +4 sinα +3cosα ⇔ 3 cosx α −y+4 sinα +3cosα = 0

4 10.sin 3 10 cos

4 sin 3cos

O,

BCS

10

10 sin 10 cos

⇒ Min (O, ) 13

10

α



1

y f x

x

− +

− Tìm M(x y1, 1) ∈(C) với x1 > 1

để khoảng cách từ M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất

− +

⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = 2x + 1 ⇒ I(1, 3)

Lấy M(1 + a, b)∈(C) với a > 0 ⇒ b 3 2a 2

a

= + + Khoảng cách từ M đến I(1, 3) là: ( )2 ( )2

IM = +a− + b−

Suy ra MinIM =2 2+ 5 xảy ra ⇔ 2 2

a

4

20

2

Bài 13 (Đề thi TSĐH khối A năm 2005)

Tìm m để hàm số y mx 1

x

= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực

tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 1

2

Giải Hàm số có cực trị

2

x

′

⇔ = − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔m> 0

Khi đó đồ thị có điểm cực tiểu làM 1 ; 2 m

m

  và khoảng cách đến tiệm cận

xiên y=mx hay mx− y= là 0

2

−