Bài tập phương trình lượng giác Bài tập phương trình lượng giác A.Phương trình lượng giác cơ bản Bài 1:Giải phương trình a... Bài tập phương trình lượng giác * Đặt hàm số l ượng giác làm
Trang 1Bài tập phương trình lượng giác
Bài tập phương trình lượng giác
A.Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1:Giải phương trình
a
2
3 4
2
sin 4
3 2
+
−
l 25−4x2(3sin2πx+8sinπx)=0 c
0 4
sin 4
2
+ +
x−π x π
d.sin3x=cos2x y, cos5 0
2
1 5 sin 2
3 3 sin x+ x+ x= e
0 3 3 sin 4
2
+ +
x−π x π
f.sin(πsin2x)=1 m sinxsin7x = sin3xsin5x
g.(cos2x+cosx)(sinx+sin3x)=0 h.cos(2x+500)=cos(x+1200) k cos3x−sin4x=0 j
0 1
2
tan
3 x− = i.(cos4 x−sin4 x)(4sin22xcos2 2x−1)=0 h 1
4
+ πx n,
2
1 2
1 sinx+ =
−
+
=
+
4
sin 4
sin 2
4 cos 5 4
Bài 2.Giải các phương trình sau:
a.sin23x=3cos23x c ) 0
14
5 3 cot(
) 4 5 tan( x+π − x− π =
3 cos
1 3
tan
x
3 4 cot ) 6
5 6
+ +
x
e.sin3xcos3x+cos3xsin3x=sin34x f ( x x)
x
x x
cot tan
2
1 2
sin
cos
+
=
g.(2cosx−1)(sinx+cosx)=1 h tan3xtanx = 1
Bài 3.Tìm tất cả các nghiem của phương trình sau:
4
5
; 4
, 2
1 8 sin sin 8
cos
x x
∈
−
=
−
6
7
; 6 , 3 2 3 5 tan
x x
@:Chú ý: Nếu pt dạng: sinx = a ,trong đó a không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt thì ta có thể
+ đặt a=sinα ta có (k Z)
k x
k x
+
−
=
+
=
⇔
2
2 sin
sin
π α π
π α α
k a x
k a x
a
+
−
=
+
=
⇔
2 arcsin
2 arcsin sin
π π
π Các ptlg khác cũng tương tự
+ Đặc biệt chú ý: ( )
( )α α
α π α
−
=
−
−
=
−
sin sin
cos cos
( )α α
α α
−
=
−
−
=
−
cot cot
tan tan
B.Phươg trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:at + b=0 (a#0), t:một hàm số lượng giác.
@; Đưa pt về PTLG cơ bản.
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a.tan(2x - 450) – 3 = 0 b 0
3
1 5
2 7
x− π
2
3 5
4
2
2 6
3
−π x
Bài2* Tất cả các nghiệm nguyên của pt: (3 9 160 800) 1
8 cosπ x− x2 + x+ =
C.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lựơng giác:
Trang 2Bài tập phương trình lượng giác
* Đặt hàm số l ượng giác làm ẩn phụ và đặt ĐK cho ẩn phụ nếu có(ví dụ :t = sinx hoặc t =cosx, ĐK t ≤1),rồi giải pt theo ẩn phụ này
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.2sin23x−cos23x−4sin3x+2=0 b.3sin22x+7cos2x−3=0 e.cos2x+sin2 x+2cosx +1=0
c.3tanx+ 3cotx−3− 3 =0 d.5sinx(sinx−1)−cos2 x=3 f 6tanx = tan2x
g.tan2 x+( 3−1)tanx− 3 =0 h.3cos2x+2(1+ 2+sinx)sinx−(3+ 2)=0
i.sin22x-sin2x = sin24
π
k 5cosx−cos2x +2sinx=0
v.sin4x = tanx
l.sin3x+2cos2x-2=0 m.3sinx +2 cosx −2=0
−
=
− +
6 2 cos 5 2 cos 3 2
Bài 2: Giải các phương trình sau:
sin
3
x b.cos 3 2 cos 3 3cos 2 3 2 0
2
−
−
−
2 cos 2
cot
4 sin 2 cot
3
2
−
+ +
x x
x x
x
cos
2 cos 3 9 sin 6 2 sin
=
−
− +
x
x x
x
2 sin 1
1 cos 2 2 3 sin
2
= +
−
− +
x
x x
x
f.4sinx+3cosx =3 g.cos2x+sin2 x+2cosx+1=0
D.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Pt cổ điển): a sinx + bcosx = c (1) (a2+b2 # 0)
*Cách giải:
+Cách1
$Bước 1:kiểm tra :
1.Nếu a2 +b2 <c2thì (1) VN
2.Nếu a2 +b2 ≥c2 thì (1)có nghiệm.
$Bước 2.Chia cả hai vế cho a2 +b2 ta được : 2 2 sin 2 2 cos 2 2
b a
c x
b a
b x
b a
a
+
= +
+ +
2 2 2
2 2
+
+
b b
a
a
nên tồn tại góc α sao cho cosα
2
+b a
a
( hoặc Sinα ) và α
sin
2
+b
a
b
(hoặc cosα ).Khi đó (1)trở thành:cos sin sin cos 2 2
b a
c x
x
+
= + α
α
sin( ) 2 2
b a
c x
+
= +
+Cách 2:Nếu a≠0,chia cả hai vế cho a ta được :
a
c x a
b x c
x b x
asin + cos = ⇔sin + cos = Đặt
β
β β
cos
sin
a
b
β
cos
sin sin
a
c x
a
c x
+Cách 3:
$Bước 1: xét cos 0
2x =
$ Bước 2: Với cos 0
2 ≠
x đặt t = tan
2
x
2
1 cos
; 1
2 sin
t
t x t
x
+
−
= +
1
1
1
2
2
+
−
+
t b
t
t
a
Trang 3Bài tập phương trình lượng giác
$ Bước 3:Giải pt theo t
*Nhận xét quan trọng:
1 Cách1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải pt và tìm ĐK của tham số để phương trình có nghiệm,vô nghiệm hoặc giải và biện luận pt theo tham số.
2.T ừ cách 1 ta có kết quả sau:− a2 +b2 ≤asinx+bcosx≤ a2 +b2 t ừ đó gợi ý cho ta bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm số co dạng:
x d x c
x b x a y x b x a y
cos sin
cos sin
; cos sin
+
+
= +
= và phương pháp đánh giá cho một số
pt l ượng giác.
3.D ạng đ ặc bi ệt :
Z k k x
x x
Z k k x
x x
∈ +
=
⇔
=
−
∈ +
−
=
⇔
= +
, 4 0
cos sin
, 4 0
cos sin
π π
π π
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a 3cos2x+sin2x= 2 b
2
1 sin
2 sin x+ 2 x= c.2sinx - 2cosx = 2 d.5cos2x−12sin2x=13
e.2 2(sinx+cosx)cosx=3+cos2x f.cos2 x− 3sin2x=sin3x+1 g.4sin2x−3cos2x=(4sinx−1)
h.cos2 x− 3sin2x=1+sin2 x i.3sin2x+4cos2x+5cos2003x=0 l.sin2x+( 3−2)cos2x=1
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.4sin3 xcos3x+4cos3 xsin3x+3 3cos4x=3 b.2sin4x+3cos2x+16sin3xcosx−5=0
c.3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x d. 2+cos2x+ 3sin2x =sinx+ 3cosx
e.(1+ 3)sinx+(1− 3)cosx=2 (pt nay làm theo c1 cho ng 0 k tường minh,c2 thi ng 0 rất chẵn ) Bài 3.Cho phương trình: 3sin2x−mcos2x=1
a Giải phương trình với m=1
b Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Bài 4.Chứng minh:
3 cos 2
1 cos 2 sin
+
+ +
≤
−
x
x x
x
x a x
∀ +
+
≤ +
+ +
; 3
3 1 1 3
cos 2
1 3 sin 3
Bài 5.Tìm GTLN,GTNN của các hàm số:
a.
2 cos
sin
cos
2
− +
+
=
x x
x
1 2
sin 2 cos 2 2 cos
1 2
cos 2 sin 2 2 cos
+
+
=
x x
x
x x
x y
E.Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx(pt thuần nhất bậc hai đối với sinx v à cox)
1 ĐN:la pt có dạng :asin2 x+bcosxsinx+ccos2 x=0 (a2 +c2 ≠0) (1)
*Chú ý: pt asin2 x+bsinxcosx+ccos2 x=d tuy không phải là pt thuần nhất bậc hai nhưng có thể đưa về pt thuần nhất bậc hai với sinx và cosx bằng cách :
d x c x x b x a d x c x x b
x
asin2 + sin cos + cos2 = ⇔ sin2 + sin cos + cos2 = sin2 +cos2
⇔(a−d)sin2 x+bsinxcosx+(c−d)cos2 x=0
2.Cách giải: * Cách 1:
+Xét x= ⇔ x= +k ;k∈Z
2 0
+Xét cosx 0≠ Chia cả hai vế cho cos2 x và nhớ: tan 1
cos
x ta có:(a−d)tan2 x+btanx+c−d =0 *Cách 2:Sử dung CT hạ bậc,CT nhân đôi đưa Pt (1) về Pt bậc nhất đối với sinx2x và cos2x
3.Bài tập:
Trang 4Bài tập phương trình lượng giác
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a.sin2 x+3sinxcosx+2cos2 x=0 b.4sin2 x+3 3sin2x−2cos2 x=4 c.2sin2 x+3cos2 x=5sinxcosx
d.sin2 x−3sinxcosx=1 e.cos2 x−3sinxcosx−2sin2 x−1=0 f.sin2 x+2sinxcosx−3cos2 x+3=0
g.6sin2 x−sinxcosx−cos2 x−3=0 h sin2 x−7sin2x−5cos2 x+1=0 i.cos2 x+ 2sin2x+1=0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
x 6cos3 4sin3
3
cos
1
=
x x
x
cos
1 cos
sin
3 + = c.4cos2 x−6sin2 x+5sin2x−4=0
Bài 3.Cho phương trình: 3sin2 x+msin2x+4cos2 x=0
a.Giải phương trình khi m = 4 b.Tìm m để phương trình có nghiệm
F.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
1 ĐN: là pt mà khi thay sinx bởi cosx và cosx bởi sinx thì phương trình không thay đổi.
2.Dạng đơn giản:a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c=0 (1)
*Cách giải:
$Cách 1:
+B1: Đặt t =sinx+cosx;t ≤ 2 Ta có :
2
1 cos
sin
2 −
= t
x x
Pt (1) trở thành: 0 2 2 0
2
2
=
− + +
⇔
= +
−
+B2:Giải pt (2) chọn nghiệm t ≤ 2 ,sau đó đưa về giải pt lượng giác cơ bản.
$Cách 2: Đặt t = −x
4
π
4 cos 2 cos
−
=
2
1 cos sin 2 cos 2
1 cos sin 4
2 sin 2
1 cos sin 2 sin 2
1 cos
−
=
⇔
x
Đó PT (1) đưa về pt bậc hai đối với hàm số cost
*Chú ý:Pt gần đối xứng:a(sinx−cosx)+bsinxcosx+c=0(3) giải tương tự Đặt t =sinx−cosx;t ≤ 2 ta
có
2
1 cos
sin
2
t x
* Pt đối xứng khác ta biến đổi để làm xuất hiện đại lượng sinx + cosx và sinxcosx sau đó sử dụng phép đặt
ẩn phụ như trên.
3.Bài tập
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a.1+sin2x=sinx+cosx b 2sin2x−2(sinx+cosx)+1=0 c.sinxcosx+2sinx+2cosx=2
4 sin 2
2
−
x e.sinx−cosx+7sin2x=1 f.(1− 2) (sinx−cosx)+sin2x=1+ 2
g.4+4(sinx−cosx)−sin2x=0 h.sinx+cosx +4sin2x=1 i.1+tanx=2 2sinx j.
x x x
3
2 cos
sin
1 cos
x
1 2
cos
1 2
sin
x x x
x
r. 3(tanx+cotx)=4 k.cotx−tanx=sinx+cosx z.
2
2 cos
sin3x+ 3x=