Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị C của hàm số.. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc C, biết rằng tiếp tuyến của C tại M vuông góc với ñường thẳng ñi qua ñiểm M và ñiểm I1; 1.. Tính theo a thể tí
Trang 1Câu I: (2,0 ñiểm) Cho hàm số y =
1
x
x−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
2 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
ñường thẳng ñi qua ñiểm M và ñiểm I(1; 1)
Câu II: (2,0 ñiểm)
1 Giải phương trình: cos3 cos2 ( )
2 1 sin sin cos
x
+
2 Giải hệ phương trình:
2
2 2
Câu III: (1,0 ñiểm) Tính tích phân:
1
ln
1 ln
e
x dx
∫
Câu IV: (1,0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C;
ñường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 0
60 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC và Q là một ñiểm trên cạnh AB sao cho BQ =
4
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC)⊥(NPQ)
Câu V: (1,0 ñiểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn ñiều kiện
3
ab bc+ +ca= , ta có: 21 21 21 1
Câu VI: (2,0 ñiểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD ðiểm M(0; )1
3 thuộc ñường thẳng AB, ñiểm N(0;7) thuộc ñường thẳng CD Tìm tọa ñộ ñỉnh B biết B có hoành ñộ dương
2.Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ba ñường thẳng :
1 2
x t
=
= −
; d2: 2
x = y− = z
− − và d3: 1 1 1
x+ = y− = z+
Viết phương trình ñường
thẳng ∆ , biết ∆ cắt ba ñường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các ñiểm A, B, C sao cho AB = BC
Câu VII: (1,0 ñiểm) Tìm số phức z thỏa mãn : z2+2 z z+ z2 =8 và z+ =z 2
-Hết -
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ðỀ THI MÔN: TOÁN
TXð : D = R\{1}
(x 1)
− <
−
0,25
lim ( ) lim ( ) 1
x f x x f x
→+∞ = →−∞ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số
lim ( ) , lim
x + f x x −
→ = +∞ → = −∞nên x = 1 là tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số
0,25
Bảng biến thiên
1 + ∞
- ∞
1
-y
y'
x -∞ 1 + ∞
Hàm số nghịch biến trên (−∞;1)và (1;+∞)
Hàm số không có cực trị
0,25
I-1
(1 ñiểm) ðồ thị : Nhận xét : ðồ thị nhận giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm ñối xứng
10
8
6
4
2
2
4
6
8
0,25
I-2
(1 ñiểm) Với x0 ≠1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0
x
Trang 3(d) có vec – tơ chỉ phương 2
0
1
( 1)
u
x
= −
−
r
0 0
1
1
x
−
ðể (d) vuông góc IM ñiều kiện là :
0
0
0
2 ( 1) 1
x
x
=
=
r uuur
0,25
+ Với x0 = 0 ta có M(0,0)
⇔ +(1 sinx)(1 cos+ x+sinx+sin cosx x)=0
⇔ +(1 sinx)(1 cos+ x)(1 sin+ x)=0
0,25
x x
= −
⇔
= −
II-1
(1 ñiểm)
2 2 2
= − +
⇔
= +
(k m, ∈Z)
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là: 2
2
x= − +π k π
và x= +π m2π (k m, ∈Z)
0,25
Với x = 0 không nghiệm ñúng phương trình
Với x≠0, ta có:
2
2
1
4
1 4
y
x y
x y
x
⇔
0,25
ðặt
2
1 ,
y
x
+
+) Với v=3,u=1ta có hệ:
1, 2
2, 5
II-2
(1 ñiểm)
+) Với v= −5,u=9ta có hệ:
2
1 9 5
x y
+ =
+ = −
, hệ này vô nghiệm
Vậy hệ ñã cho có hai nghiệm: ( ; )x y =(2; 1), ( ; )x y =(5; 2).−
0,25
III
(1 ñiểm)
ðặt t = 1 ln x+ có 2tdt = 1dx
Trang 42 2
2
1 ln
e
t
−
+
2 3
1
2( ) 3
t t
2(2 2) 3
−
Gọi I là trung ñiểm A’B’ thì
' AA '
C I A B
C I ABA B
C I
suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính
là góc C BI '
Suy ra C BI' =600
15 ' tan '
2
a
C I =BI C BI =
Q
P K
M
I
N
C A
B
B'
0,25
3
ABC A B C A B C
a
/ / '
( ) / /( ' ) / / '
PQ C I
⇒
0,25
IV
(1 ñiểm)
0
ABM BB I c g c suy ra AMB BIB suy ra AMB B BI
Mặt khác theo chứng minh trên C’I ⊥AM nên AM ⊥ ( 'C BI)
Suy ra (AMC) ⊥ ( 'C BI) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MAC)⊥(NPQ)
0,25
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
a b +b c +c a +a b c ≥ 0,25 ðặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh 2 2 2
4
x +y + +z xyz≥ với mọi x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z = 3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x ≤ y; x ≤ z thì x ≤ 1 ta có:
0,25
4
x +y + +z xyz− =x + +y z +yz x− − ≥x + +y z + y+z x− − = 0,25
V
(1 ñiểm)
x
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
Trang 5N D
I
'
N I N
Phương trình ñường thẳng AB:
4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I ñến ñường thẳng AB:
4.2 3.1 1
2
+
0,25
AC = 2 BD nên AI = 2 BI, ñặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
4
VI.-1
(1 ñiểm)
ðiểm B là giao ñiểm của ñường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với ñường tròn tâm I bán kính 5
Tọa ñộ B là nghiệm của hệ: 4x 3y – 1 2 2 0
(x 2) (y 1) 5
B có hoành ñộ dương nên B( 1; -1)
0,25
Xét ba ñiểm A, B, C lần lượt nằm trên ba ñường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) 0,25
A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung ñiểm của AC
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
0,25
Giải hệ trên ñược: t = 1; u = 0; v = 0
VI -2
(1 ñiểm)
ðường thẳng ∆ ñi qua A, B, C có phương trình 2
x = y− = z
0,25 Gọi z = x + iy ta có z= −x iy z; 2 = z2 =z z=x2+y2 0,25
2
2 8 4( ) 8 ( ) 2 (1)
VII
(1 ñiểm)
Từ (1) và (2) tìm ñược x = 1 ; y = ±1