Chứng minh mặt phẳng SAM vuông góc với mặt phẳng SMN.
Trang 1Së gd & ®t b¾c ninh
Trêng THPT QuÕ Vâ sè 1
Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
§éc lËp –Tù do – H¹nh phóc
- -§Ò thi chän häc sinh giái n¨m häc 2008 - 2009
Môn thi : Toán Khối 12 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu 1 ( 3 điểm )
Cho hàm số y x= 3−2x2+(2m 1 x 2m+ ) − ( m là tham số )
a Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) khi m=0
b Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu
Câu 2 ( 2 điểm )
a Giải phương trình : 4x2+ x+21 x − 2 =2( x 1+) 2+1
b Giải bất phương trình : ( 3 ) 5
3
2 log x log x x
log x log
3 log x
− + <
Câu 3 ( 1 điểm )
Giải phương trình : sin2 x tan x cos2 2 x 0
π
Câu 4 ( 3 điểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy , Cho hai đường thẳng d : x y 5 0;d : x 2y 7 01 + + = 2 + − = và điểm
A(2;3) Tìm điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA a 3= và SA vuông góc với đáy ABCD , M là trung điểm của BC
a. Tính diện tích tam giác SBD và khoảng cách giữa AM và SC
b. Lấy N trên CD sao cho DN 3a
4
= Chứng minh mặt phẳng (SAM) vuông góc với mặt
phẳng (SMN)
Câu 5 ( 1 điểm )
Cho a,b,c là ba số thực dương , chứng minh rằng :
a b c a b b c c a 9 2abc c ab a bc b ca 2
Ghi chú :+Học sinh không được sử dụng tài liệu trong quá trình thi
+Đề gồm có 1 trang
Xác nhận của BGH Người tổ hợp đê
Nguyễn Minh Nhiên
ĐÁP ÁN
Trang 2ĐÁP ÁN THANG
ĐIỂM Câu 1( 3 điểm )
a. +TXĐ
+ Tính y’ , giải ra nghiệm đúng
+Tính đồng biến nghịch biến, cực trị , giới hạn
+BBT
+ Đồ thị
b. Hàm số có y , yCD CTtrái dấu ⇔PT x3−2x2+(2m 1 x 2m 0+ ) − = có 3 no p/b
(x 1 x) ( 2 x 2m) 0
⇔ − − + = có 3 nghiệm p/b
1
0 m
8
⇔ ≠ <
Câu 2 ( 2 điểm )
a. PT 2x 2 2x 1 x 2 2x 2 2x 1 x 2
2 + 2− 2 + 2− 1
2
2
1 x
2 1
+
−
⇔
Từ đó , ra nghiệm x∈{0; 1;1− }
b Đk : x>0 , x≠1
*TH1: x>1, BPT⇔(log x 1 log 3 log x 2log x log x.log x5 + − x ) 3 < 5 − 5 3
⇔(2log x 1 1 log x5 + ) ( − 3 )> ⇔ < <0 1 x 3
*TH2 : 0<x<1 làm tương tự và ra nghiệm là 0 x 1
5
< <
KL tập nghiệm
Câu 3 ( 1 điểm )
+ ĐK : x k k Z( )
2
π
≠ + π ∈
+ 2
1 cos x
1 cos x 2
π
− − ÷
−
+ ( ) ( ) ( ) ( )
x l2 2
1 sin x 1 cos x cos x sin x 0 x m2 l, m, n Z
4
π
= + π
π
= + π
+ Đối chiếu Đk ra nghiệm : x m2= π,x n
4
π
= + π
Câu 4 ( 3 điểm )
0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,5 điểm
0,25 điểm 0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 31 B thuộc d1 và C thuộc d2 nên tọa độ của B(a;-a-5),C(7-2b;b)
Vì G là trọng tâm nên ta có a 7 2b 2 6
a 5 b 0
+ − + =
− − + =
Từ đó , ra tọa độ B(-1;-4),C(5;1)
2
a +Chỉ ra đường cao và tính đường cao
+Tính diện tích bằng 7 2
a 2
+Gọi H là trung điểm của AD⇒ AM / /CH
⇒AM / / SHC( )⇒d(AM,SC) d(M,(SHC))=
SCMH
SCH
3V a 3 d(AM,SC)
b CM tam giác AMN vuông tại M MN⊥AM,SA⇒MN⊥(SAM)
Từ đó suy ra đpcm
Câu 5 ( 1 điểm )
Ta có :
a b c 2ab 2bc 2ac VT
2bc 2ca 2ab c ab a bc b ac
Mà a2 a2 bc 1 b; 2 b2 ac 1 c; 2 c2 ab 1
2bc 2bc 2 2ac 2ac 2 2ab 2ab 2
c ab 2ab a bc 2bc b ac 2ac 3 VT
2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2
≥2+2+2-3 9
2=2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
0,25 điểm 0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm