Gọi E là trung điểm của CA.. Tính tỷ số CD AK AA.. Ghi chú: - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu trong quá trình thi.
Trang 1Sở gd & đt bắc ninh
Trờng thpt quế võ 1 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
độc lập tự do hạnh phúc– – …… *****……
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2008-2009
Môn: Toán – Khối 11
(Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
sin 2
x
8 4
4(sin x+cos ) 4(sinx − x+cos ) sin 4x − x m=
Câu 2 (2 điểm)
1) Giải bất phơng trình: x2−4x+ −3 2x2 −3x+ ≥ −3 x 1
+ − =
+ − =
Câu 3 (2 điểm)
Cho các số: 1, 2, 3, 4 1) Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ
số còn lại khác nhau và khác số1 2) Tính tổng các số lập đợc ở câu 1)
Câu 4 (3 điểm)
1) Lập phơng trình đờng tròn (C) qua điểm A(-1; -2) và tiếp xúc với đờng thẳng d : 7 x y− − =5 0 tại điểm M(1; 2)
2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C ’ ’ ’ Trên tia đối của tia AB lấy điểm M
sao cho AM = 1
2AB Gọi E là trung điểm của CA.
a) Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MEB’)
b) Gọi D = BC ∩(MEB’), K = AA’ ∩(MEB–) Tính tỷ số CD
AK
AA .
Câu 5 (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =sin5x+ 3 cosx
Ghi chú: - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu trong quá trình thi.
- Đề thi có 01 trang.
Trang 2đáp án thang điểm –
đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm học 2008-2009
Môn: Toán ’ lớp 11
1(1,0 đ) +) Điều kiện
+) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0
+) GiảI đúng và loại nghiệm đúng ĐS:
4
x = +π kπ
0,25 0,25 0,5 2(1,0 đ) +) Đa PT về dạng: 2cos 42 x−cos 4x=2m+1 (1)
8 4
x∈ π π ⇒t∈(-1; 0)
+) Xét f(t) = 2t2 + t trên (-1; 0) có bảng biến thiên
Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc
trùng 0x )cắt f(t) trên (-1; 0)
2
0,25 0,25
0,25 0,25
1(1,0 đ)
+) Điều kiện:
2 2
3
1
1 2
x
x
x
≥
− + ≥
− + ≥
≤
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm
+) Với x≥3 suy ra BPT ⇔ (x−3)(x− −1) (x−1)(2x− ≥ −1) x 1 chỉ ra vô nghiệm
+) Với x≤2 suy ra BPT ⇔ (1−x)(1 2 )− x − (1−x)(3−x) 1≤ −x
2
x≤
+) Kết luận: BPT có nghiệm
1 1 2
x x
=
≤
0,25
0,25 0,25
0,25 2(1,0 đ)
+) Đặt
2 2
= − ≥ ⇒ = +
= − ≥ ⇒ = +
+) Đa về hệ:
2 2
(**)
+ + =
+ + =
+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m≥2
0,25 0,25
Trang 3Ta xét m≥2hệ có nghiệm hay ko
Biến đổi hệ (**) trở thành:
2
2
0
( )
( )
u v
I
II
− =
+ + =
+ − =
+ + =
2
m
PT luôn có nghiệm v0 ≥ ⇒0 hệ có nghiệm u=v=v0 suy ra hệ ban đầu
có x=y=vo+1 +) Xét hệ (II): ………
0,25
0,25
1(1,0 đ) +) Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử
1,1,2,3,4 do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là 5
2 60
P
2(1,0 đ) +) Số có 5 chữ số có dạng abcde
S =∑abcde=10 4∑a+10 3∑b+10 2∑c+10.∑d e+
Mỗi số a có 4! cách chọn bcde -> Mỗi số a∈{1,1,2,3,4} xuất hiện 4! lần
(1 1 2 3 4).24 264
a
⇒∑ = + + + + =
Tơng tự ∑ ∑ ∑ ∑b= c= d = e=264
2!
1(1,0 đ) +) Viết đợc PT đờng thẳng ∆ đi qua tâm I của đờng tròn (C) là
1 7 2
= +
= −
+) (C) tiếp xúc với d khi và chỉ khi IM=R ⇔IM2=R2 ⇔R2=50t2 +) (C) có dạng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2
+) A ∈ (C) ⇒ t=-1 Vậy (C): (x+6)2+(y-3)2=50
0,25
0,25 0,25 0,25 2(2,0 đ) a,(0,75)
+) Xác định đợc điểm D và suy ra đợc 2 đoạn giao tuyến DE và DD’
+) Xác định đợc điểm K; suy ra đợc đoạn gioa tuyến EK và KB’
+) Kết luận đợc thiết diện là tứ giác DEKB’
b,(1,25)
+) Trong (ABC) Dựng EN // AB (N∈BC), khi đó EN=1
0,25 0,25 0,25 0,5
Trang 4+) Xét tam giác DBM có: 1 1
4
CD
0,25 0,5
Tìm Max y: y =sin5x+ 3.cosx≤sin4x+ 3.cosx (1)
Ta chứng minh: sin4x+ 3.cosx≤ 3 với x R∀ ∈ (2)
2 (1 cos )x 3 (1 cos )(1 cos )x x 0
Theo BĐT côsi:
2
1
2
3
= <
ữ
B
ĐT (3) luôn đúng suy ra BĐT (2) luôn đúng suy ra y≤ 3,∀x
Dấu “=” ⇔cosx= ⇔ =1 x k2π Max y= 3 Tơng tự: y =sin5x+ 3.cosx≥ −sin4x+ 3.cosx, Min y= − 3,đạt x = +π k2π
0,25
0,25
0,25 0,25