Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.. Chứng minh SC⊥ AHK c.. Tính góc giữa SC và ABCD …... Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.M là tru
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ I :
Bài 1 (4 điểm)
1/ Tính các giới hạn sau:
4
9 20 lim
4
x
→−
+ b) lim( 2 4 )
2/ Định a để hàm số
=
−
( )
2
x
f x
x
x
liên tục tại x0 = 0
3/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (– 1; 2)
Bài 2 (3 điểm)
1/ Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f(x) =
1
1 2
−
+ +
x
x
x b) 1 2
1 cos 3
y
x
= +
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 1
2
x y x
+
=
− , biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng: 3x + y – 4 = 0
3/ Cho hàm số 1 2
( ) cos
2
x
Tính f x'( ) và giải phương trình f x( ) (− −x 1) ( ) 0f x' =
Bài 3 (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh bằng 2, SA = 2 3; SA vuông góc mp(ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD
a Chứng minh BC ⊥ SB
b Chứng minh SC⊥ (AHK)
c Tính góc giữa SC và (ABCD)
… Hết …
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN 11 NC –Đề I Bài 1
1 (1,5 điểm)
4
9 20 lim
4
x
→−
+
4
( 4)( 5) lim
( 4)
x
1 4
−
4
4
x
x x
x
→+∞
− +
0,75
0,75
2 (1,5 điểm)
*xlim ( ) lim→0− f x x→0− x( 1 x2x 1 x) 1
−
*xlim ( )→0+ f x = +a 2= f(0)
* Hàm số liên tục tại x0 = 0
lim ( ) lim ( ) (0) 3
0,5
0,5 0,5
3 (1,0 điểm) *Hàm số liên tục trên [– 1; 0] và có ít nhất một nghiệm
trên (– 1; 0)
*Hàm số liên tục trên [0; 2] và có ít nhất một nghiệm trên (0; 2)
0.5
0,5
Bài 2:
1 (1,0 điểm)
a)
2 '
2
2 2 ( )
( 1)
f x
x
=
−
3sin 6
2 (1 cos 3 )
x y
x
=
+
0,5 0,5
2 (1,0 điểm)
3 ( 2)
y x
−
=
−
0
( ) 3
f x
= − ⇔ = ⇒ = − PTTT: y = - 3x + 13 và y = -3x + 1
0,25 0,5 0,25
( ) cos sin 2
x
GT
( 1)
sin 2 0
2
x x
x
=
0.5
0,5
Bài 3 (Hình vẽ: 0,5 điểm)
Trang 3ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ II :
Bài I: ( 4 điểm )
1 Tìm các giới hạn sau:
)]
1 ( [ lim
a
+∞
1 4 3
4 7
2 lim )
x x
x x
b
− + +
→
2 Cho hàm số:
0 ( )
4
0 2
x
x x
f x
x
x
<
Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 0
3 Chứng minh rằng phương trình: 4x4 + 2x2 – 3 – x = 0
có ít nhất 2 nghiệm trong ( - 1; 1)
Bài II: ( 3 điểm )
1 Tính các đạo hàm:
3 2
2 1 )
2 +
−
=
x
x y
a b)y=cos32x+tanx2
3 ) (x = mx3 − x2 +mx−
f
Tìm m để f ’(x ) > 0 với mọi x thuộc R
3 Cho hàm số y = f(x) =
2
1 2
+
−
x
x
có đồ thị là (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( d ): 5y + x – 2 = 0
Bài III: (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.M là trung điểm AB N là trung điểm BC
a)Chứng minh (SAD) vuông góc với (SAB)
b)Xác định và tính góc giữa SC và (ABCD)
c)Chứng minh DN vuông góc (SCM)
…Hết…
Trang 4ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO ĐỀ II Bài I:
1.
2
1 1
1
1
1
lim
) 1
1 1
(
lim
1
) 1 (
lim
)]
1 (
[
lim
)
= + +
=
+ +
=
+ +
− +
=
− +
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
a
x
x
x
x
(0,5 đ)
3
2 12
8 )]
4 ( 7 2 )[
3
(
9 lim
)]
4 ( 7 2 )[
3 )(
1
(
) 9 )(
1 ( lim
)]
4 ( 7 2 )[
3
4
(
9 10 lim
)]
4 ( 7 2 )[
3
4
(
) 4 ( ) 7 2
(
lim
3
4
4 7
2
lim
)
1
1
2
2 1
2
2 1
2 1
=
=
−
− +
−
−
=
−
− +
−
−
−
−
−
−
=
−
− +
−
−
− +
−
=
−
− +
−
−
−
− +
=
−
−
− + +
→
→
→
→
→
x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
b
x
x
x
x
x
(1,0đ)
2 f(0) = a + 2
(0,25đ)
0
lim ( ) lim
lim
4
x
x
f x
x x
−
→
− −
=
−
− +
(0,5đ)
2 )
2
4 ( lim
)
(
lim
0
+
− +
= +
x
x a
x
f
x
Hàm số f liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi
lim ( ) lim ( ) (0)
2
−
⇔ + = ⇔ = − (0,5đ)
3.Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 – 3 – x
f(x) liên tục trên các [- 1; 0], [0; 1] (0,25đ)
Có f( -1) = 4 ; f(0) = -3 ; f(1) = 2 (0,25đ)
<
−
=
<
−
=
−
0 6 )
1
(
)
0
(
0 12 )
0
(
)
1
(
f
f
f
f
(0,25đ)
-f(x) có ít nhất một nghiệm trong các (-1; 0)
(0; 1) Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2
nghiệm trong (-1; 1) (0,25đ)
2 2 2
2 2
2 2
cos
2 2
sin 2 cos 6
cos
)' ( )' 2 (cos 2 cos 3 ' )
x
x x
x
x
x x x
y b
+
−
=
+
=
(0,5đ)
3 ) (x = mx3 − x2 +mx−
f
f’(x) = mx2 – 6x + m ( 0.25 )
3 0
9
0 ,
0 ) (
<
−
>
⇔
∈
∀
m
m R
x f
( 0,5 đ ) ( 0,25 đ )
3 ( 2 ) 2
5 '
+
=
x
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
5
2 5
1
+
−
= x
−
=
−
=
⇒
= +
⇒
= +
⇒
=
⇒
3
1 1
) 2 (
5 ) 2 (
5 5
) ( '
0
0 2
0
2 0 0
x
x x
x x
y
(0,25đ)
Với x0 = -1 suy ra y0 = - 3
Phương trình tiếp tuyến: y = 5x + 2 (0,25đ)
Với x0 = -3 suy ra y0 = 7
Phương trình tiếp tuyến: y = 5x + 22 (0,25đ)
Bài III :
Hình vẽ: (0, 5 đ) a)Ta có:
⊥
=
∩
⊥
AB AD ABCD Trong
AB ABCD SAB
ABCD SAB
: ) (
) (
) (
) (
) (
(0,5đ)
) ( ) (
) (
SAB SAD
SAB AD
⊥
⇒
⊥
⇒
(0,5đ)
Trang 5Bài II:
3 2 )
3
2
(
2
6
3 2 )
3
2
(
) 2 1 ( 2 ) 3
2
(
2
3 2
3 2
) 2 1 ( 2 3
2
2
3 2
) 2 1 (
3 2 2
)' 2
( 3
2
2
) 3 2 (
) 2 1 )'.(
3 2 ( 3 2 )'
2
1
(
'
)
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+ +
−
−
=
+ +
−
− +
−
=
−
− +
−
=
+
− +
+
− +
−
=
+
− +
− +
−
=
x x
x
x x
x x x
x
x
x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
y
a
(0,5 đ)
b)Phải chứng minh: SM ⊥(ABCD) (0,25đ)
Ta có MC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).Khi đó góc giữa SC và (ABCD)
là góc SCM∧ (0,25đ) Tam giác SMC vuông tại M
5 15
2 5 2
3
a
a CM
SM
' 45
37 0
=
⇒SCM∧ (0,25đ) c)Ta có:
)
(SCM
DN
SM DN
MC DN
⊥
⇒
⊥
⊥
(0,5đ)
