Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT

luận văn về Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT

kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó

có việc đổi mới căn bản về phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ

giáo dục Phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây

không phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn

nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế –

Xã hội

Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thểhiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúngvào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục Trong bốicảnh hội nhập giao lưu, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đadạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực

tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là

học sinh THPT) Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu,

nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướngđổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:

+ Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới

phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học".

+ Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12- 1996) đã chỉ rõ: "phương pháp

Giáo dục - Đào tạo chậm được đổi mới, chưa phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học"

+ Luật Giáo dục (12 1998), cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4-1999)

-+ Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh’'.

Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện

nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong

đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn

đề để tranh luận nữa: Cốt lõi của phương pháp dạy học là phát huy TTCNT trong học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Đó là hướng tới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới

phương pháp dạy học

Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang

bị cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa tolớn còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độclập sáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đàotạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này Do đó, việc thiết

kế những nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trường để tư duy nhận thứccủa học sinh được hoạt động tích cực, là rất cần thiết Chẳng hạn, dạy học khái

niệm về chủ đề Giới hạn có thể là minh chứng rõ nét cho việc dạy học theo

hướng phát huy TTCNT của học sinh.

1.2 Chủ đề ''Giới hạn'' là một trong những chương quan trọng, cơ bản, nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT Khái niệm Giới hạn

không chỉ là kiến thức cơ bản nền tảng của Giải tích vì: ''không có Giới hạnthì không có Giải tích Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đếnGiới hạn'' [37, tr 147] mà còn là khái niệm Toán học khó đối với học sinh

Có thể nói khi học về chủ đề Giới hạn là quá trình biến đổi về chất trong nhậnthức của học sinh, ở đây học sinh được xem xét các sự kiện trong mối liên hệqua lại của thế giới khách quan rõ ràng nhất Vì ta đã biết Đại số đặc trưngbởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại”, còn khi học về Giải tích kiểu

tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biếnthiên” Khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đềgắn liền với “vô hạn’’, ‘’liên tục’’, ‘’biến thiên’’ Do vậy, nắm vững được nộidung khái niệm Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựngcho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức Giảitích Toán học ở phổ thông Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọngtrong toán học phổ thông còn lẽ vì : "khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên

tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân Đây là nội

dung bao trùm chương trình Giải tích THPT’’ [4, tr 12] Để hiểu được chứngminh, nắm vững nội dung của những khái niệm Giới hạn cần thiết phải cónhững phương thức sư phạm tốt, đó là các cách thức và phương tiện thíchhợp, những lời nói sinh động, những hình ảnh trực quan, những ví dụ cụ thể,rèn luyện và phát triển khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thường sangngôn ngữ Toán học, khả năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản, những sơ

đồ, bảng biểu, những bài tập thích hợp và những tình huống sư phạm ).Trong quá trình dạy học, giáo viên phối hợp sử dụng với từng nội dung bàihọc hợp lý để góp phần tạo nên những hoạt động và giao lưu của giáo viênvới học sinh và học sinh với học sinh, nhằm đạt được các mục tiêu dạy họcchủ đề quan trọng này

1.3 Thực tiễn của đổi mới chương trình, cải cách phương pháp dạy học hiện nay cho thấy việc sử dụng các phương thức sư phạm thích hợp theo hướng phát huy TTCNT của học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học.

Học vấn nhà trường trang bị không thể thâu tóm được mọi tri thức mongmuốn Vì vậy giáo viên phải coi trọng việc dạy chiếm lĩnh và kiến tạo kiếnthức của loài người Đối với từng nội dung kiến thức, giáo viên phải biết khaithác sử dụng những phương thức sư phạm với qui trình dạy học thích hợp để

phát huy TTCNT của học sinh, trên cơ sở đó người học có năng lực và thói quen tiếp tục học tập suốt đời Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại,

không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức có sẵn đã lĩnh hội ở nhàtrường phổ thông, mà còn phải có khả năng chiếm lĩnh và biết cách thức sửdụng tri thức một cách độc lập, có khả năng đánh giá các sự kiện, hiện tượngmới các tư tưởng một cách thông minh sáng suốt, khi gặp trong cuộc sốngtrong lao động và trong quan hệ với mọi người

Do có những thay đổi trong đối tượng giáo dục, học sinh được tiếp nhậnnhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, hiểubiết được nhiều hơn, linh hoạt và thực tế hơn so với các thế hệ cùng lứa tuổitrước đây Mặt khác, trong học tập học sinh không thỏa mãn với vai tròngười tiếp thu thụ động, không chỉ chấp nhận các giải pháp đã có sẵn đượcđưa ra, ở lứa tuổi này nảy sinh một yêu cầu và cũng là một quá trình: sự lĩnhhội độc lập các tri thức và phát triển các kĩ năng Để hình thành phương thứchọc tập một cách độc lập, phát huy được vai trò tích cực học tập của học sinhmột cách chủ định thì cần phải có sự hướng dẫn của giáo viên, các biện pháp,phương thức sư phạm thích hợp đối với từng nội dung bài học cụ thể, giúphọc sinh học tập hứng thú, vận dụng tốt tiềm lực sẵn có để phát huy cao

TTCNT.

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn:

“Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT''.

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Tìm hiểu dạy học chủ đề Giới hạn ở lớp 11-THPT.

3.2 Xác định làm rõ cơ sở lý luận, sáng tỏ vai trò và vị trí của Giải tích nói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở THPT và việc phát huy TTCNT

3.4 Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu

quả của nội dung các phương thức đã đề xuất

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình và SGK hiện hành nếu định hướng được việc xây dựng các phương thức sư phạm thích hợp vào dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT thì sẽ kích thích tính tích cực, tự

giác, chủ động, độc lập, sáng tạo của học sinh, từ đó nâng cao được hiệu quả

dạy học chủ đề Giới hạn nói riêng, chất lượng dạy học Toán nói chung.

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, các văn bản,

tài liệu của nghành Giáo dục- Đào tạo có liên quan đến việc dạy học môn

Toán ở trường THPT, các tài liệu tâm lý giáo dục về phát huy TTCNT của

học sinh để phục vụ cho đề tài luận văn

- Tìm hiểu phân tích chương trình, SGK, lý luận dạy học về Giải tích chủ

đề Giới hạn và các tài liệu tham khảo khác có liên quan.

5.2 Tìm hiểu, điều tra thực tiễn: Quan sát dự giờ thực dạy học sinh, tổng

kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Giới hạn

5.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở

trường THPT để xác định tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

6.1 Về mặt lý luận:

- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh.

- Xây dựng và thực nghiệm các phương thức sư phạm thích hợp trong dạy

học về Giải tích chủ đề Giới hạn, nhằm phát huy TTCNT của học sinh.

6.2 Về mặt thực tiễn:

- Qua Luận văn này giúp giáo viên hiểu rõ và nắm vững hệ thống các

phương thức sư phạm thích hợp trong dạy học nhằm phát huy TTCNT của

học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn.

- Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán đểgóp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường THPT

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chương sau đây:

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học

1.1.1 Quan niệm về tính tích cực nhận thức (TTCNT) của học sinh 1.1.2 Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh?

1.1.3 Các cấp độ của TTCNT.

1.1.4 Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán.

1.1.5 Các phương thức sư phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của

học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn.

1.2 Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT.

1.2.1 Vị trí đặc điểm Giới hạn của Giải tích ở THPT.

1.2.2 Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cường ở THPT 1.2.3 Quan điểm thứ hai: Giải tích xấp xỉ ở THPT

1.2.4 Quan điểm thứ ba: Giải tích hỗn hợp ở THPT

1.3 Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn của Giải tích ở THPT 1.4 Kết luận chương 1

Chương 2: CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ VIỆC

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Ở BẬC THPT

2.1 Các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn ở THPT.

2.1.1 Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn dãy số”.

2.1.2 Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn hàm số”.

2.1.3 Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một điểm 2.1.4 Về việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số.

2.2.Ví dụ minh họa dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT.

2.2.1 Thực hiện kế hoạch bài học theo phương pháp dạy học tích cực với khái niệm đề giới hạn

2.2.2 Minh họa dạy học khái niệm Giới hạn

2.2.3 Minh họa dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT 2.2.4 Dự đoán phát hiện nguyên nhân và hướng khắc phục những khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn.

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương 3 thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 PHÁT HUY TTCNT CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC

Theo Rubinstein X L : ''Người ta bắt đầu tư duy khi có nhu cầu hiểu biếtmột cái gì Tư duy thường xuất phát từ một vấn đề hay một câu hỏi, từ một sự

ngạc nhiên hay một điều trăn trở'', mà hạt nhân cơ bản của TTCNT là hoạt động tư duy, nên phát huy tính tích cực nhận thức (TTCNT) chính là nhằm

phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy toán học cho học sinh, vậy thế nào là

TTCNT của học sinh trong học tập ?

1.1.1 Quan niệm về TTCNT của học sinh

Theo Kharlamop: ''Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, TTCNT

là trạng thái hoạt động của học sinh, được đặc trưng bởi khát vọng học tập, cốgắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức''

Nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước nhận định về TTCNT của học sinh

trong quá trình học tập theo những góc độ, những dấu hiệu khác nhau của chủthể đối với khách thể, đó là:

- Sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng, phân tích tổng hợp, ( Rôđac I.I.).

- Lòng mong muốn không chủ định và gây nên biểu hiện bên ngoài hoặc bên

trong của sự hoạt động (Ôkôn V.).

- Cường độ, độ sâu, nhịp điệu của những hoạt động, quan sát, chú ý, tư duy ghi

nhớ trong một thời gian nhất định ( TS Phạm Thị Diệu Vân).

- Huy động mức độ cao các chức năng tâm lý, đặc biệt là chức năng tưduy ( TS Đặng Vũ Hoạt)

- Hành động ý chí, trạng thái hoạt động về vẻ bề ngoài có vẻ giống nhau nhưng

khác nhau về bản chất khi xét đến hoạt động cải tạo trong ý thức của chủ thể

(Aristova L.).

- Thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự hoạt động ở mức độ

cao các chức năng tâm lý nhằm giải quyết những vấn đề học tập - nhận thức

( TS Nguyễn Ngọc Bảo)

- TTCNT phải thể hiện trước hết ở động cơ học Toán đúng đắn, từ đó tự giác

học tập một cách hứng thú, từ chỗ chưa biết đến biết, từ chỗ biết đến biết sâu sắc, không những tiếp thu được chuẩn xác kiến thức Toán học, mà còn đúc kết được phương pháp suy nghĩ giải quyết vấn đề (TS Lê Thống Nhất).

Trên đây là cách nhận định về TTCNT của các nhà tâm lý học, giáo dục

học Khác với quá trình nhận thức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhậnthức trong học tập, không nhằm phát huy những điều loài người chưa biết mànhằm lĩnh hội những tri thức loài người đã tích lũy được Tuy nhiên trong họctập học sinh cũng phải ''khám phá'' ra những hiểu biết mới đối với bản thân.Học sinh sẽ ghi nhớ thông tin qua hiểu những gì đã nắm được qua hoạt độngchủ động, nổ lực của chính mình Đó là chưa nói đến, khi tới một trình độnhất định, sự học tập tích cực về nhận thức sẽ mang tính nghiên cứu khoa học

và người học cũng làm ra được những tri thức mới cho khoa học

TTCNT trong hoạt động học tập liên quan trước hết với động cơ học tập Động cơ đúng tạo ra hứng thú Hứng thú là tiền đề của tự giác (hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên TTCNT) TTCNT sản sinh nếp tư duy độc

lập Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo Tích cực gắn liền với động

cơ, với sự kích thích hứng thú, với ý thức hứng thú, có ý thức về sự tự giáchọc tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình, vì vậy có thể hiểu tiêu chí

nhằm phát huy TTCNT là tính tích cực tư duy (tư duy bên trong), tất nhiên phải được thể hiện qua ngôn ngữ và hành động tích cực (biểu hiện cả bên

ngoài).

Ngược lại, phong cách học tập phát huy TTCNT, độc lập, sáng tạo sẽ

phát triển tự giác, hứng thú, bồi dưỡng động cơ học tập Ta có thể minh họamối liên hệ tác động qua lại đó như sau:

TTCNT và tính tích cực học tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhưng không

phải đồng nhất Có một số trường hợp, tính tích cực học tập thể hiện ở sự tích cực bên ngoài, mà không phải tích cực trong tư duy Đó là điều cần lưu ý khi nhận xét

đánh giá TTCNT của học sinh

Rèn luyện kỹ năng học tập một cách tích cực độc lập cho học sinh, để họcsinh chủ động tự lực chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất, làm cho họcsinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức Vốn kiến thức, mà học sinhnắm được từ nỗ lực của bản thân chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinhbiết sử dụng nó một cách chủ động độc lập sáng tạo Tính độc lập thực sự củahọc sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết học tập một cách hợp lýkhoa học trên cơ sở quá trình giáo viên hướng dẫn, có phải đây là một trong

những lý do phát huy TTCNT của học sinh ?

1.1.2 Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh ?

Trong quá trình dạy học, TTCNT của học sinh không chỉ tồn tại như một

trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhậnthức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cực

TtCnT

mới tạo cho học sinh có tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, hình thành ở học sinh tínhđộc lập sáng tạo và nhạy bén khi giải quyết các vấn đề trong học tập cũng nhưthực tiễn.

Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang và sẽ phát triển tới mộthình mẫu ''Xã hội có sự thống trị của kiến thức'' dưới tác động của sự bùng nổ

về khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác Để có thể tồn tại và pháttriển trong một xã hội như vậy, con người phải có khả năng chiếm lĩnh sửdụng tri thức một cách độc lập sáng tạo Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phảichỉ là ở chỗ tri giác và giữ lại thông tin mà còn ở chỗ cải biến các kết quảthông tin ấy Điều này đòi hỏi học sinh phải hoạt động tích cực, tìm tòi khámphá những khâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu được, cải biến nó thànhcái có nghĩa đối với mình

Phát huy TTCNT của học sinh và tăng cường hoạt động trí tuệ độc lập

của học sinh trong quá trình thu nhận tri thức rèn luyện kỹ năng kỹ xảo Tíchcực hóa việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục mà cònđặc biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hưởng đến việc hình thành nhân

cách của học sinh Phát huy TTCNT trong học tập của học sinh có tác dụng

phát triển những đức tính quý giá như tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tínhkiên trì, óc phê phán Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tốkích thích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh đó là nhữngđiều kiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt

Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phương pháp dạy học hiện đại vàodạy học môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinhnhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập và sáng tạo, nâng caonăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán họcđược tích lũy có hệ thống Để khai thác hết năng lực học tập của học sinh,việc tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đường nhận thức khách

quan ''từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến

thực tiễn'' mà điều quan trọng nhất là học sinh hứng thú tự giác tham gia vào

quá trình học tập và chỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả

cao Vậy trong học tập TTCNT có các cấp độ nào ?

1.1.3 Các cấp độ của TTCNT

Trong tác phẩm ''Giáo dục học trường phổ thông'' G.L.Sukina, đã chia

trong học tập TTCNT có ba cấp độ từ thấp đến cao:

a) Tính tích cực bắt chước, chấp nhận và tái hiện:

Học sinh bắt chước và tái hiện được các kiến thức đã học, thực hiện được

các thao tác kỹ năng mà giáo viên đã nêu ra TTCNT ở đây xuất hiện do tác

động bên ngoài như yêu cầu bắt buộc của giáo viên, thường thấy ở học sinh

có năng lực nhận thức ở mức độ dưới trung bình và trung bình

c) Tính tích cực sáng tạo :

Thể hiện ở chỗ trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra đượcnhững cách giải quyết mới, độc đáo hữu hiệu hay thực hiện tốt các yêu cầuhành động do giáo viên đưa ra mà không cần sự giúp đỡ của giáo viên Loạinày thường thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ giỏi, học sinhnăng khiếu

Các phân loại trên, giúp giáo viên đánh giá được mức độ TTCNT của

học sinh theo mặt bằng chung của cả lớp Tuy nhiên nó còn rất khái quát,

muốn đánh giá đúng mức độ TTCNT của học sinh, giáo viên còn phải căn cứ vào các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh.

1.1.3.1 Các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh

a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức:

TTCNT của học sinh thể hiện ở mặt thao tác tư duy, ngôn ngữ, sự quan

sát, ghi nhớ, tư duy hình thành khái niệm, phương thức hành động, hình thành

kỹ năng, kỹ xảo, các câu hỏi nhận thức của học sinh, giải đáp các câu hỏi dogiáo viên đưa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõđúng sai khi bạn đưa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệgiúp ích cho hoạt động nhận thức

c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí:

Tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập có ýchí và quyết tâm kiên trì, hoàn thành các bài tập, không nản trước những tìnhhuống khó khăn

d) Biểu hiện về kết quả nhận thức:

Lĩnh hội kiến thức một cách nhanh chóng chính xác, chủ động vận dụngkiến thức, kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới, kết quả học tập sau mộttiết học, một chương…

Để có được phong cách học tập tích cực trong nhận thức, học sinh phảithật sự tự giác, chủ động học tập Tích cực hóa gắn liền động cơ hóa, với sựkích thích hứng thú, với ý thức trách nhiệm học tập, ý thức về sự giáo dục củachính mình

1.1.3.2 Đặc trưng cơ bản của tư tưởng TTCNT của học sinh

Tư tưởng này là một trong những biểu hiện của sự phát triển lý luận vàthực tiễn giáo dục hiện nay Nhấn mạnh vai trò trung tâm của học sinh vàđồng thời chỉ rõ vai trò của người giáo viên trong toàn bộ quá trình dạy học

Lấy học sinh làm trung tâm là một thể hiện cơ bản của tính nhân văn, cũngnhư một khẳng định dứt khoát về vị trí trung tâm hoạt động của học sinh Vì

vậy, có thể nói đặc trưng cơ bản của tư tưởng TTCNT của học sinh là:

a) Tính nhân văn:

Được thể hiện ở sự thừa nhận và tôn trọng nhu cầu, lợi ích, mục đích vànhững kinh nghiệm của cá nhân học sinh, cố gắng tạo điều kiện để học sinh tự''hình thành và phát triển'' theo tiềm lực và khả năng của bản thân

b) Tính hoạt động:

Thể hiện sự tối đa hóa các hoạt động của học sinh với phương thức chỉđạo là: tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá quá trình hoạt độngnhận thức của bản thân Qua đó, hình thành và phát triển tư duy độc lập sángtạo của mỗi cá nhân học sinh

c) Vai trò của giáo viên:

Phong phú mềm mại, sáng tạo và có trách nhiệm, có nghĩa là giáo viênkhông những truyền thụ tri thức, những sản phẩm sẵn có mà cần phải thiết kế,

tổ chức điều khiển, ủy thác, thể chế hóa, đánh giá hoạt động tự lực nhận thứccủa người học sinh, nhằm hình thành cho học sinh thái độ năng lực phươngpháp học tập và ý chí học tập từ đó tự khám phá ra những tri thức mới, được

cụ thể hóa ở các vai trò:

*) Vai trò thiết kế:

Một giờ dạy muốn thành công phải có sự thiết kế chặt chẽ về các biệnpháp phương thức cấu trúc lôgic giờ học, lập kế hoạch chuẩn bị quá trình dạyhọc cả về các mặt: mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức,đánh giá Việc thiết kế tốt, phù hợp sẽ làm cho bài giảng luôn diễn ra trong sựkích thích tưởng tượng, tò mò và say mê tìm tòi cái mới đảm bảo cho giờ dạy

có kết quả

*) Vai trò tổ chức:

Tổ chức một môi trường học tập cho mỗi học sinh có cơ hội bộc lộ tối đakhả năng tạo điều kiện thuận lợi cho phát huy tính tích cực học tập nhằm hìnhthành năng lực ý chí phương pháp học tập, từ đó tự khám phá những tri thứcmới, ý thức được nhiệm vụ của mình trong giờ học, thông qua các tranh luậntìm tòi tổng hợp tự mình phát huy được năng lực trí tuệ đi đến chân lý, bằngcon đường này sẽ làm các em nhớ lâu hơn, hiểu kỹ hơn về các kiến thức đó.

*) Vai trò ủy thác:

Đây không phải là bắt trò học tập theo ý của giáo viên mà phải làm saocho học sinh tự giác biến ý đồ dạy của giáo viên thành nhiệm vụ của bản thân,đảm nhận quá trình họat động để kiến tạo tri thức, tức là hoạt động của thầynhằm chuyển giao ý đồ sư phạm, ý đồ dạy học sang ý đồ nhận thức của họcsinh Học sinh nhận thấy được mong muốn giải quyết vấn đề thầy dặt ra nhờcác hoạt động tư duy, tích cực, độc lập, sáng tạo Ở khâu này giáo viên làmcông việc ngược lại với nhà nghiên cứu: hoàn cảnh lại, thời gian hóa lại và cánhân hóa lại tri thức, học sinh tự mình đảm nhận lại quá trình giải quyết vấn

đề sao cho hoạt động của học sinh gần giống với hoạt động của nhà nghiên

cứu, nhờ những lý do này mà học sinh phát huy cao độ TTCNT của thân.

*) Vai trò thể chế hóa:

Là xem xét những vấn đề học sinh tìm được là đúng hay sai, nếu sai thìphân tích sữa chữa sai lầm, nếu đúng thì ghi nhận cho học sinh đã chiếm lĩnhđược tri thức và giáo viên phải trả lại vị trí của tri thức đó trong chương trình,mối liên hệ của nó đối với các tri thức khác

*) Vai trò đánh giá:

Thái độ trân trọng của giáo viên đối với mỗi sự tìm tòi mới mẻ của họcsinh có một tác động mạnh mẽ đến hứng thú của các em việc đánh giá cao sựsáng tạo sẽ thúc đẩy năng lực học tập tính tích cực học tập của học sinh.Muốn vậy giáo viên cần tạo cho mình vốn kiến thức đủ để nhận ra nét độcđáo trong suy nghĩ của học sinh để có thể đánh giá đúng giá trị của sự tìm tòi

học sinh, học sinh sẽ có phản ứng tiêu cực nếu bản thân sự đánh giá của giáoviên chưa thực làm học sinh thỏa đáng, sự nhìn nhận khách quan chính xáccủa giáo viên tạo được lòng tin của học sinh, từ đó phát huy tính sáng tạo củahọc sinh qua sự tích cực hóa hoạt động học tập.

Vậy các vai trò của giáo viên là làm sao giúp học sinh học tập một cách

hiệu quả, thúc đẩy học sinh tự giác học tập phát huy cao độ TTCNT của bản

thân, qua đó học sinh hiểu được kiến thức tìm ra là một tri thức chung củanhân loại và giáo viên chính thức chấp nhận kết quả đạt được của học sinh Nhưng thực tế dạy học ở trường phổ thông cho thấy, đâu đó trong cách

dạy học vẫn chưa phát huy đầy đủ được TTCNT của học sinh Do vậy, cần thiết dựa trên một số biểu hiện về TTCNT trong học tập môn Toán từ đó hình thành và phát triển TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ quan

trọng của người giáo viên

1.1.4 Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán

1.1.4.1 Về ý thức, thái độ học tập

- TTCNT của HS được thể hiện ở nhu cầu hiểu biết kiến thức, khát vọng

và mong muốn được giải quyết các tình huống học tập mà giáo viên đưa ra đểchiếm lĩnh được kiến thức mới, giải quyết được bài toán mới

- TTCNT của học sinh còn được thể hiện ở sự hứng thú, niềm say mê lao

động trí tuệ, sự sốt sắng thực hiện, có tinh thần trách nhiệm đối với các yêucầu mà giáo viên đưa ra khi lĩnh hội kiến thức mới

1.1.4.2 Về hoạt động trí tuệ cao

-TTCNT của học sinh thể hiện trong quá trình lĩnh hội tài liệu học tập:

Đó là việc thực hiện đầy đủ các yêu cầu của giáo viên đưa ra, tích cực họatđộng trí tuệ, thực hiện các thao tác tư duy ( phân tích, tổng hợp so sánh, trừutượng hóa, khái quát hóa,…), nhanh chóng phát hiện dấu hiệu bản chất củacác kiến thức và tìm ra được nhiều con đường giải quyết các tình huống dogiáo viên đưa ra trong quá trình dạy học

-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự ghi nhớ vận dụng kiến thức: Đó là sự

tái hiện nhanh chóng các kiến thức mới trong các trường hợp cụ thể, biết kháiquát hóa, hệ thống hóa các kiến thức đã học, biết vận dụng các kiến thức đãhọc trong các trường hợp cụ thể

-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự kiểm tra đánh giá: Đó là sự đánh giá

đúng mức công việc mà bản thân đã làm, nhanh chóng phát hiện và sửa chữasai lầm mắc phải trong quá trình hình thành khái niệm cũng như vận dụngkhái niệm

Trên đây là những biểu hiện TTCNT của học sinh trong quá trình chiếm

lĩnh kiến thức, giáo viên khi dựa vào những biểu hiện này có thể định hướng

cho việc phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học

môn Toán nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng

1.1.4.3 Điều kiện phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học

Muốn phát huy TTCNT của học sinh, giáo viên cần phải tổ chức môi

trường học tập đảm bảo : Tính sẵn sàng học tập và tính hoạt đông cao

tập của học sinh, đồng thời tạo được động cơ, gây hứng thú, ý chí học tập của

học sinh,…thì mới phát huy được TTCNT của học sinh

b) Tính hoạt động cao: Thể hiện ở nội dung dạy học và phải dựa trên những

tiêu chuẩn sau:

+ Mỗi hoạt động của giáo viên và học sinh được xác định cụ thể, rõ ràng,

có thể nhận thức được, cảm nhận được, hình dung được

+ Nội dung dạy học chứa đựng những liên hệ phù hợp để đảm bảo cácquan hệ và hoạt động của thầy và trò đều hướng vào tổ chức và kích thíchhành động học sinh, tức là nội dung dạy học phải xây dựng được dưới dạngnhững tình huống có vấn đề

Vậy để bảm bảo được tính hoạt động cao trong dạy học, người giáo viêncần phải lựa chọn nội dung dạy học đáp ứng được hai tiêu chuẩn trên và tổchức môi trường học tập, xây dựng những biện pháp thích hợp từ đó xác địnhthiết kế xây dựng phương thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tựquyết, khả năng tự thể hiện, đánh giá,…trong học tập, phát triển những cơ hộihọc tập, động cơ học tập, xây dựng mối quan hệ tương tác giữa giáo viên vàhọc sinh, học sinh và học sinh

1.1.5 Các phương thức sư phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn

1.1.5.1 Những phương hướng phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học

Để phát huy TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ chủ yếu

của người giáo viên trong quá trình dạy học Vì vậy, nó luôn là trung tâm chú

ý của lý luận và thực tiễn dạy học Từ thời cổ đại các nhà sư phạm tiền bốinhư Khổng tử, Aristot…đã từng nói đến tầm quan trọng to lớn của việc phát

huy TTCNT của học sinh và đã có những định hướng và biện pháp để phát huy TTCNT của học sinh.

J A Komenxki nhà sư phạm lỗi lạc của thế kỷ XVII đã đưa ra những

định hướng, biện pháp dạy học là bắt học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để tự nắm

được bản chất của sự vật hiện tượng

J J Ruxô cũng cho rằng, phải hướng học sinh tích cực tự giành lấy kiến

thức bằng cách tìm kiếm, khám phá và sáng tạo

A Distecvec thì cho rằng, người giáo viên tồi là người cung cấp cho học

sinh chân lý, người giáo viên giỏi là người dạy cho học sinh tự tìm ra chân lý.

K D Usinxki nhấn mạnh tầm quan trọng của việc điều khiển, dẫn dắt học

sinh của các giáo viên.

Trong thế kỷ IX, các nhà giáo dục Cổ, Kim, Đông, Tây, đã trao đổi bàn

luận để tìm kiếm con đường nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy

học Chúng ta thường kể đến tư tưởng các nhà giáo dục nổi tiếng như:B.P.Êxipôp, M.A.Danilôp, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlamôp, I.I.Xamôva (LiênXô), Okon (Ba Lan), Skinner (Mĩ)…

Ở Việt Nam các nhà lý luận dạy học cũng đã viết nhiều về phát huyTTCNT của học sinh như: GS Hà Thế Ngữ, GS Nguyễn Quang Ngọc,

GS Đặng Vũ Hoạt …, mà cụ thể GS Đặng Vũ Hoạt đã nêu lên 6 định hướnglà:

i) Giáo dục động cơ, thái độ học tập, trên cơ sở thấm nhuần mục đích học tập,

động viên khuyến khích kịp thời dựa vào tính tự nguyện của học sinh;

ii) Thực hiện dạy học nêu vấn đề là định hướng, phương pháp cơ bản nhất; iii) Tiến hành so sánh các sự vật, hiện tượng, tiến hành hệ thống hóa, khái quát

hóa tri thức;

iv) Vận dụng tri thức vào nhiều hoàn cảnh khác nhau, giải quyết các vấn đề

bằng nhiều cách khác nhau;

v) Gắn liền lý luận với thực tiễn, khai thác vốn sống của học sinh;

vi) Phát triển ý thức tự kiểm tra, tự đánh giá của học sinh.

Từ những phương hướng chung đó, cần phải có những định hướng

phương thức sư phạm thích hợp để phát huy TTCNT của học sinh trong dạy

học đặc thù môn toán

1.1.5.2 Một số định hướng và phương pháp để phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học môn Toán

Trong quá trình dạy học phải tạo được động cơ hứng thú để học sinh có

cơ hội phát huy tính chủ động độc lập tự giác chiếm lĩnh kiến thức, ta có thểtổng quan về một số định hướng biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát huyTTCNT của học sinh trong quá trình dạy học theo đặc thù môn Toán:

i) Kiến thức bài dạy làm sao có được tính kế thừa phát triển trên kiến thức đã

học, sự liên hệ với thực tiễn, gần gũi với cuộc sống, với suy nghĩ hằng ngày, thỏa mãn nhu cầu nhận thức của học sinh;

ii) Sử dụng các phương tiện dạy học, dụng cụ trực quan có tác dụng tốt trong

việc kích thích hứng thú phát huy TTCNT của học sinh;

iii) Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ và phản ví dụ trong quá

trình dạy học;

iv) Phát triển khả năng chuyển đổi ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ Toán học,

khả năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản;

v) Lập và sử dụng các bảng tổng kết, biểu đồ, sơ đồ thích hợp để làm rõ nguồn

gốc và mối liên kết logic của các kiến thức trong quá trình dạy học;

vi) Lựa chọn và sử dụng một cách hợp lý hệ thống các bài tập và sử dụng khai

thác các tình huống dễ mắc sai lầm Để học sinh tự kiểm tra, khắc phục các khó khăn

và sửa chữa những sai lầm thường gặp trong quá trình lĩnh hội kiến thức.

1.1.5.3 Các phương thức sư phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học về khái niệm Giới hạn

Ta đã biết nắm vững được hệ thống khái niệm Giới hạn thì học sinh có

khả năng vận dụng vững chắc có hiệu quả các kiến thức về Giới hạn, đó là cơ

sở để học tốt về chủ đề Giới hạn nói chung, qua đó rèn luyện năng lực giải bài tập toán của nội dung Giới hạn nói riêng.

Trước hết ta cần xác định rõ mối liên hệ trong hoạt động nhận thức của

học sinh là: giáo viên hướng dẫn và kích thích TTCNT của trò rồi huy động các

phương pháp phương thức sư phạm tác động vào (chủ thể) học sinh, từ đó

học sinh có nhu cầu hiểu biết và huy động cao độ khả năng hướng tới tri giác tiếp

đến biểu tượng sau cùng (khách thể) khái niệm Giới hạn , cụ thể được minh

họa theo sơ đồ sau :

(Hình 1) Như vậy, quá trình phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của họcsinh không phải là quá trình đưa thông tin vào học sinh theo định hướng mộtchiều xem học sinh như là cái máy thu thông tin thụ động, cụ thể ở đây bàn

đến dạy học về khái niệm Giới hạn qua thực hiện các phương thức sau:

Phương thức 1 : Xác định rõ các cách xây dựng khái niệm Giới hạn.

Trước hết hiểu rõ, xác định đúng được cách xây dựng khái niệm Toán học

là:

+ Mô tả không định nghĩa: Chẳng hạn như việc định nghĩa giới hạn 0 của dãy số là: ''dãy số ( U n ; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n  +, nếu u n càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu u n có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là chọn n đủ lớn''.

(Chủ thể) Học sinh

Có nhu cầu hiểu biết

Huy động cao

độ khả năng

(Khách thể)

Khái niệm

+ Hay định nghĩa dưới dạng kiến thiết – qui nạp như : Con đường đi tới định

nghĩa giới hạn dãy theo ngôn ngữ " , " này là kiến thiết- qui nạp, từ việc

mô tả: ''Khi n càng lớn thì U n càng bé và bé bao nhiêu cũng được'', đượcchuyển qua ngôn ngữ " , " bằng cách chọn miền giá trị  cụ thể để tiếntới khái quát hóa cho mọi , (đặc biệt cần sự giúp đỡ trực quan của trục số)là: ''ta nói rằng dãy số thực U n có giới hạn là L (LR), khi n  + nếu vớimọi số dương  cho trước( nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N( ), sao chovới mọi n > N( ) thì U n  L < ''

+ Hoặc được định nghĩa dưới dạng suy diễn như : Khái niệm giới hạn L 0 được định nghĩa theo con đường suy diễn (nghĩa là trình bày phát biểu ngay định

nghĩa, sau đó trình bày ví dụ củng cố ), trên cơ sở giới hạn 0 đã được định nghĩa

như : nlimun = L, (L  R )





nlim ( un – L) = 0

+ Đặc biệt chú ý tới cấu trúc của định nghĩa mà mệnh đề nêu lên có tính

chất đặc trưng của khái niệm là cấu trúc tuyển hay cấu trúc hội:

*) Đối với định nghĩa có cấu trúc hội: A(x)  P1(x)  P2(x)  … Pn(x),được xây dựng sao cho đối tượng : x  A(x)  x  P1(x)  P2(x)  …

Từ cách tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm sẽ thấy

được tính sư phạm của mỗi cách định nghĩa, khi đó có biện pháp thích hợp vớimỗi loại đối tượng, làm sao cho học sinh hiểu các tính chất đặc trưng, nhậndạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện chính xác, biết vận dụng khái niệmtrong những tình huống cụ thể vào giải toán cũng như ứng dụng thực tiễn

Với nội dung chủ đề Giới hạn khi học về các khái niệm có nhiều định

nghĩa được phát biểu dưới các dạng khác nhau của cùng một khái niệm, chẳnghạn :

+ Định nghĩa Giới hạn của dãy số có thể trình bày theo cách ’’mô tả’’hoặc dùng ngôn ngữ “ ,N()’’

+ Định nghĩa Giới hạn của hàm số có thể thông qua “dãy’’hoặc là “ , 

’’

Phương thức 3 : Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức về khái niệm Giới hạn của

học sinh.

Để làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn của học sinh ta cần liên hệ với thực

tiễn ví dụ như chiều cao của con người có giới hạn dù tuổi có nhiều đi bao nhiêu nữa Hoặc

trong dạy học xây dựng phương tiện trực quan tượng trưng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểubảng,…) làm chỗ dựa trực giác Xây dựng hệ thống phản ví dụ và ví dụ gắn liền với ứng dụngthực tiễn, kết hợp với các phương tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung được nội dungkhái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm từ đó khái quát hình thành khái niệm,chẳng hạn ta xét bài toán của thực tiễn đặt ra, như sau:

Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của một nước đang phát

triển, sau x năm kể từ bây giờ là : T(x) = 1382 2365





x

x

năm Hỏi tuổi thọ của con

người sẽ đạt được tới mức giới hạn là bao nhiêu ?

Bài toán 2: Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là 195

tấn Nhà quản lí của xí nghiệp đưa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bâygiời nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là : S(x) =

9

95 259

2 2

Bài toán 3 : Một bệnh truyền nhiễm lây lan qua đường hô hấp nếu không có

thuốc tiêm phòng Mặc dù không quá nguy hiểm, nếu ai bị nhiễm bệnh sẽ trởthành người mang mầm bệnh Các nhân viên dự phòng y tế cho rằng sau x

tháng kể từ bây giời số phần trăm người mang bệnh sẽ là : B(x) =

18 6

27 95

2 2





x x

Hỏi cuối cùng số người mang mầm bệnh sẽ là bao nhiêu ?

Từ đó tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để học sinh tự khám phá kiếnthức, tự giải quyết các vấn đề của thực tiễn đặt ra

Phương thức 4 : Tìm hiểu sự phân chia khái niệm, sơ đồ hóa các khái niệm Giới hạn có liên hệ với nhau, giúp học sinh tiếp thu được bản chất kiến thức.

Do các tri thức trong chủ đề giới hạn có mối quan hệ tương quan hỗ trợ lẫn nhau nên việc hệ

thống, phân chia khái niệm liên hệ với nhau là việc làm rất cần thiết để dạy học đạt hiệu quả.Khi hệ thống hóa kiến thức cần chỉ cho học sinh những mối liên hệ chính yếu của các tri thức

toán, đặc biệt chú ý dùng sơ đồ biểu diễn các mối liên hệ giữa các kiến thức Qua tìm hiểu sự

phân chia sơ đồ hóa các khái niệm tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc, tiếp thu đượcbản chất của kiến thứcgiúp học sinh hiểu bản chất mối quan hệ, hình dung ra bức tranh tổngthể của khái niệm có liên hệ với nhau như sau:

( Hình 2 )

Hình (2) là sơ đồ biểu thị mối liên hệ về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, các

giới hạn mở rộng của hàm số

Giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số

Giới hạn

-

Giới hạn trái tại điểm

Giới hạn phải tại điểm

Giới hạn +

Không tồn tại giới hạn:

Tồn tại giới hạn:

f(x) không xác định tại a f(x) xác định tại x = a

Phương thức 5 : Tìm hiểu sự tiếp cận lịch sử phát triển Toán học về khái niệm Giới hạn

Để kích thích học sinh hứng thú học tập, có thể nêu thêm lịch sử của cáckhái niệm Toán học về Giới hạn ra đời khi nào, do ai nêu ra và ý nghĩa saunày của khái niệm Giới hạn trong Toán học cũng như trong đời sống, trongviệc rèn luyện tư duy Toán học Với việc dạy học như vậy học sinh sẽ tiếp cậnkiến thức về khái niệm Giới hạn, xét về mặt nào đó, gần giống với việcnghiên cứu của các nhà Toán học Khi đó học sinh sẽ biết được từ đâu xuấthiện các kiến thức Giới hạn, tạo cho học sinh không khí học tập như tập dượtnghiên cứu khoa học, từ đó lĩnh hội được kinh nghiệm lịch sử của Giới hạnkhông những giúp học sinh nắm vững chắc kiến thức mà còn bồi dưỡng nhâncách cho học sinh, đó là sự giáo dục chứ không chỉ đơn thuần là việc dạy học Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng tư liệu lịch sử Toán về kháiniệm giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đókhơi dậy phát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyệnhay ngoại khóa, chẳng hạn đưa ra các bài toán thú vị sau:

Bài toán : A-sin (Achilis) đuổi rùa

Câu chuyện nghịch lý nổi tiếng của D’Elec Zénon (496 – 429) một triếtgia người Hi lạp cổ đại vào thế kỷ thứ V trước Công nguyên, đã đưa ra bài

toán A-sin (Achilis) đuổi rùa và lập luận như sau :

“A-sin (Achilis) là một lực sĩ trong thần thoại Hi lạp, người được mệnh

danh là “ có đôi chân nhanh như gió “ đuổi theo môt con rùa trên một đườngthẳng Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm R1 cách A-sin ở điểm A một khoảng

a 0, thì mặc dù chạy nhanh hơn, nhưng A-sin không bao giờ có thể đuổi kịpđược rùa (!)

Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết A-sin cần đi đến điểm xuất phát R1 củarùa Nhưng trong khoảng thời gian đó rùa đã đi đến điểm R2 Để đuổi tiếp,A-sin lại phải đến được điểm R2 này Trong thời gian A-sin đi đến điểm thứ

hai là R2 thì rùa lại tiến lên điểm thứ ba là R3 … Cứ như thế, A-sin khôngbao giời đuổi kịp rùa (!)” Nhưng thực tế nhờ nghịch lý của ông đã góp phầnthúc đẩy sự xuất hiện của Giới hạn và cũng từ khái niệm Giới hạn, con người

có thể nghiên cứu các vấn đề liên quan tới sự vô hạn trong Giải tích

(?) : Sau khi học về Giới hạn của dãy số, ta có thể có thể lập luận như thế nào

về nghịch lý “A-sin không đuổi kịp rùa “ ?

(!) : Để đơn giản ở đây ta chỉ xét một trường hợp đặc biệt (còn trường hợptổng quát được giải tương tự, cụ thể minh họa ở hình vẽ :

A R1 R2 R3R4



(!) : Ban đầu A-sin ở vị trí A, rùa ở vị trí R1 Khi đó khoảng cách giữa A-sin

và rùa minh họa đoạn AR1 có độ dài: U1=100(km)

(?) : Khi A-sin chạy được 100(km) (tức là chạy đến vị trí R1 ) thì rùa đã chạyđến R2, minh họa đoạn R1R2 có độ dài: U2= ? ( U2= 1km)

(?) : Khi A-sin chạy đến vị trí R2 thì rùa đã chạy đến R3, minh họa đoạn R2R3

có độ dài: U3= ? ( U3= 1001 km)

(?) : Khi A-sin chạy đến vị trí R3 thì rùa đã chạy đến R4, minh họa đoạn R3R4

có độ dài: U4= ? ( U4= 100 2

1km)

100

1

; 100

1

; 100

1

5 7

4 6

3

U

(?) : Dãy (Un ) có đặc điểm như thế nào?

(!) : Dãy (Un ) là một cấp số nhân, có công bội q = 1001 , số hạng tổng quát

Như vậy, việc sử dụng chất liệu cụ thể nhằm tạo môi trường cho tư duy

nhận thức của trò được hoạt động tích cực để phát huy cao TTCNT của học

sinh trong học tập môn Toán nói chung và khi học về chủ đề Giới hạn nói

riêng là rất cần thiết Từ đó gây hứng thú, tạo được động cơ, ý chí học tập củahọc sinh và nâng cao được chất lượng cũng như kết quả dạy học.

1.2 QUAN ĐIỂM VỀ GIẢI TÍCH VÀ VỊ TRÍ ĐẶC ĐIỂM GIỚI HẠN Ở THPT

Giải tích Toán học, cùng với Đại số là một trong hai nội dung chính củachương trình Toán ở Phổ thông Giải tích là tên gọi chung của một số bộ môn

Toán học dựa trên khái niệm hàm và Giới hạn, riêng Giải tích lớp 11 ở Phổ thông chỉ bao gồm: Giới hạn về dãy số, hàm số, hàm số liên tục.

Quan niệm phổ biến cho rằng, học sinh bắt đầu học Giải tích từ khi học

khái niệm Giới hạn (thường ở lớp 11) và Giới hạn cũng là ranh giới phân chia

giữa Đại số và Giải tích

1.2.1 Vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT

Chủ đề Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong

Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng,không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đối tượng hàm

số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lýthuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn,…ngoài ra chủ đề này có nhiều ứng dụng vềmặt lý thuyết cũng như thực tiễn Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta cóthể giải quyết nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Số học, Hình học, Vật lý,

Vì vậy, dạy học chủ đề Giới hạn ở trường THPT có ý nghĩa rất quan trọng.

Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trường

phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của Giải tích toán học là

phép tính đạo hàm và phép tính vi phân Giới hạn còn được áp dụng như một

phương pháp để giải một số dạng toán như: tính đạo hàm của hàm số tại mộtđiểm, tìm tiệm cận của đồ thị, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, xét

sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình Dãy số, hàm số

cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo hàm, vi phân, tích

phân Các bài toán về tính Giới hạn, các phương pháp thông dụng và vấn đềchuyển qua Giới hạn trong các phép toán về Giới hạn là nền tảng cơ bản của

Giải tích toán học và là một trong những phép toán cốt lõi nhất của Giải tíchhiện đại đây là cơ sở để học sinh có khả năng tiếp tục học lên

Vậy Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn “ , “ rời rạc” , “ tĩnh tại “ , còn khi học về Giải tích vận dụng kiểu tư duy “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên“ mà khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề

gắn liền với sự “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên “ đó, chẳng hạn:

Đối với phép toán đặc trưng bởi Đại số đã học cho tương ứng một tập hữu

hạn phần tử với một phần tử, như phép toán cộng :

n n

lim 0

Để thấy rõ sự khác biệt nhau giữa các xu hướng trong dạy học Giải tích

ở trường Phổ thông có thể nhờ việc so sánh dựa chủ yếu vào việc phân tích

mối quan hệ giữa mặt Đại số và mặt xấp xỉ của Giải tích, cụ thể là:

1.2.2 Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cường ở THPT

Quan điểm này giúp ta ý thức về những khó khăn lớn mà học sinh sẽ gặpphải lúc mới làm quen với kiểu tư duy biến thiên, liên tục, vô hạn và khi học

về sử dụng các phương pháp, kỹ thuật xấp xỉ

Nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước đã làm

rõ những khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm Giới hạn, cũng như

những chứng ngại khoa học luận liên quan tới khái niệm này, những khó khănthao tác với các kỹ thuật đánh giá xấp xỉ, với các bất đẳng thức và giá trị tuyệtđối Hơn nữa, hiểu được rằng từ một hệ thống chặn trên, chặn dưới hay từ mộtdãy những xấp xỉ có thể đạt những kết quả chính xác, rằng một khái niệm cóthể được định nghĩa bằng các phương pháp đánh giá xấp xỉ và thừa nhận được

tính triết học trong những kiểu như khi thực hiện chặn trên, chặn dưới mộthàm số hay dãy số ta thường dùng các kỹ thuật: Chọn số hạng trỗi nhất trongmột biểu thức; thêm bớt mẫu số, tử số của một phân thức, Như vậy khi giảiquyết các bài toán Giải tích điều này cũng tạo nên một chướng ngại khoa họcluận mấu chốt, ngay cả đối với các nhà Toán học trong các thế kỷ trước Đểtránh những khó khăn như vậy, quan điểm phổ biến là "Đại số hóa tăng cườngGiải tích" Theo quan niệm này, người ta cố gắng thu hẹp sự ngắt quãng giữaĐại số và Giải tích, xây dựng cái mới trong sự liên tục chặt chẽ với cái cũ và

hy vọng rằng học sinh sẽ dần dần tiếp thu được kiến thức mới Vì vậy, người

ta tìm cách tránh đến mức tới đa các phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ, thay vào đó

là các phép toán và quy trình kiểu Đại số Những vấn đề lớn như : xấp xỉ các

số, xấp xỉ các hàm đều không đề cập đến nữa

1), ta có

1 < 2 

Nghiên cứu Giới hạn trong ''Giải tích Đại số hóa'' thường được thực hiện

theo các bước sau đây :

a) Bước 1:

Đưa vào khái niệm Giới hạn, bước này lại có hai xu thế chủ yếu:

+) Xu thế thứ nhất: Tìm cách định nghĩa chặt chẽ các khái niệm Giới hạn theo ngôn ngữ '' , '' , '' , N ''

+) Xu thế thứ hai: Thì ngược lại tìm cách tránh ngôn ngữ hình thức.

Người ta chỉ yêu cầu học sinh “hình dung” các khái niệm này bằng cách trình

bày khái niệm Giới hạn theo con đường thực nghiệm, nghĩa là từ những con

số hoặc đồ thị để cho một tư tưởng tổng quát và nếu cần có thể đi đến các

định nghĩa kiểu ''mô tả'', chẳng hạn:

Đối với định nghĩa trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 của Phan Đức

Chính (1999): ''dãy số ( U n ; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi

n  +, nếu u n càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu u n có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là chọn n đủ lớn'' Thông thường, trước hết ta đưa ra khái niệm giới

hạn 0, sau đó định nghĩa giới hạn L 0

b) Bước 2:

Nghiên cứu Giới hạn của một dãy số hay hàm số cơ bản và đơn giản, nhờ

vào định nghĩa hay quan sát thực nghiệm, thậm chí công nhận

c) Bước 3:

Đưa vào các định lý bản chất Đại số về Giới hạn của tổng, hiệu, tích,

thương (thông thường được công nhận, không chứng minh)

Trên cơ sở các dãy số hay hàm số cơ bản, các định lý này cho phép thu

gọn nghiên cứu Giới hạn vào việc sử dụng các phép toán và những qui trình

kiểu Đại số Chúng cho phép đưa ra các quy tắc kiểu thuật toán như để khử

các dạng vô định về Giới hạn, mà không cần đến kỹ thuật kiểu xấp xỉ Tiến

trình nêu trên cũng được áp dụng tương tự trong việc nghiên cứu tính liên tục,đạo hàm, nguyên hàm tích phân

Như vậy, các phương pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ được tránh gầnnhư hoàn toàn Ngay cả với các khái niệm, dù được định nghĩa chặt chẽ bằngngôn ngữ hình thức, thì học sinh cũng rất ít có dịp thao tác trên chúng mà th-ường chỉ làm việc về tính giới hạn, tính liên tục theo kiểu Đại số, theonhững qui tắc có tính thuật toán: phân tích hàm số đã cho thành tổng, thànhtích của các hàm số sơ cấp cơ bản có giới hạn hay liên tục

Tóm lại, giảng dạy Giải tích chủ yếu chỉ xoay quanh các phép tính: giớihạn, đạo hàm, nguyên hàm tích phân, của một lớp các hàm số khá đơn giản.Còn các vấn đề liên quan đến xấp xỉ gần như bị loại bỏ.

1.2.3 Quan điểm thứ hai : Giải tích xấp xỉ ở THPT

Quan điểm này nhấn mạnh sự khác biệt về bản chất giữa Đại số và Giảitích, nhấn mạnh sự ngắt quãng cơ bản trong kiểu tư duy, phương pháp và kỹthuật sử dụng

Theo quan điểm này, Giải tích xem như thuộc phạm vi của xấp xỉ Vì thếvấn đề mấu chốt là phải biết sử dụng và thao tác các quy trình, phương pháp

và kỹ thuật chặn trên, chặn dưới, đóng khung, so sánh, đánh giá xấp xỉ

Mặc dù ý thức rõ về mặt khó khăn chướng ngại khi đi vào phạm vi đánhgiá xấp xỉ, nhưng theo quan điểm này: Không vượt qua những khó khăn và

chướng ngại này có nghĩa là không hiểu được “đúng nghĩa” của Giải tích

người ta chỉ còn hiểu được nghĩa về mặt Đại số của nó Một ''Giải tích Đại sốhóa'' như vậy, từ một quan điểm nào đó, có thể cho phép thành công một sốcông việc giảng dạy ở trường học, nhưng không thích ứng với việc giải quyếtcác vấn đề lớn của cuộc sống, của các ngành khoa học khác, đặc biệt trongviệc giải quyết những vấn đề cơ bản của Vật lý Quả thực ''Giải tích Đại sốhóa'' chỉ cho phép nghiên cứu một lớp hữu hạn các hàm số, dãy số cơ bản,đơn giản Chẳng hạn người ta không có công cụ nghiên cứu giới hạn của cácdãy lặp dạng như: un+1 = f(un), hay tích phân của các hàm số mà nguyên hàmcủa chúng không thể tính được Do đó, quan điểm Giải tích xấp xỉ chủ trương

hạn chế tối đa mặt Đại số hóa.

Mặt khác, quan điểm này cũng nhấn mạnh ảnh hưởng của công nghệthông tin, của việc sử dụng máy tính trong nhà trường Những công cụ mớinày, tạo điều kiện thuận lợi cho việc đưa vào giảng dạy các phương pháp và

kỹ thuật xấp xỉ, qua nội dung ''phương pháp số'' Trong quan điểm này lạiphân biệt hai xu hướng chủ yếu :

a) Xu hướng thứ nhất: Đưa vào khái niệm cơ bản được định nghĩa một

cách chặt chẽ lý thuyết; sử dụng ngôn ngữ '' , '', '' , N '' với phương pháp

và kỹ thuật xấp xỉ của các số, dãy số và hàm số Nghĩa là xử lý đồng thời cảhai mặt: quan niệm và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ

b) Xu hướng thứ hai: Tránh những mặt định nghĩa hình thức, nhưng nhấn

mạnh vai trò của phương pháp và kỷ thuật đánh giá xấp xỉ Do đó thay vì làmviệc với '' , '', '' , N '' người ta lại làm việc với các hàm số, dãy số sơ cấp

cơ bản nhờ vào phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ này

1.2.5 Quan điểm thứ ba : Giải tích hỗn hợp ở THPT

Quan điểm này nhấn mạnh rằng Giải tích là một phạm vi trong đó tồn tại

và hoạt động xen kẽ nhiều hình thức tư duy và kĩ thuật bản chất khác nhau,

mà chủ yếu là tư duy và kỹ thuật mang đặc trưng Đại số và mang đặc trưngxấp xỉ của Giải tích

Tuy ''Giải tích Đại số hóa'' có những mặt hạn chế nhưng cũng nhấn mạnhrằng kiểu tư duy'' hữu hạn '', ''rời rạc'' và các phương pháp kỹ thuật của Đaị sốvẫn có một vai trò quan trọng trong Giải tích

Còn quan niệm bản chất Giải tích là xấp xỉ, thấy rõ sự cần thiết cho họcsinh học thao tác, sử dụng các kỹ thuật và phương pháp xấp xỉ, nhưng quanniệm này cũng ý thức về những hạn chế của quan điểm ''Giải tích xấp xỉ'',quan điểm trong đó khi thực hiện sự giảng dạy Giải tích thỏa mãn mặt khoahọc luận của nội dung, nhưng lại chưa quan tâm đúng mức quy trình nhậnthức, khả năng tiếp thu của học sinh, ít tính đến những khó khăn lớn mà họcsinh phải gặp khi thao tác các phương pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ

Ví dụ 2: Chứng minh: Hàm số f( x ) = x3 +x2+1 có giới hạn là 1, khi x  0

Ta thấy : - Định lý Đại số ''về giới hạn của tổng'', cho ngay kết quả:

limx0 (x3 +x2+1) = limx0 (x3)+ limx0 ( x2)+ limx0 (1) = 1

- Thì kĩ thuật đánh giá, xấp xỉ của Giải tích có lời giải, sau đây:

'' f(x)  1 = | 2 ( 1 )



x

x | = | x2 | | x+1|

Để đạt được bất đẳng thức: | f(x) – 1 | < 2 | x2 |, ta cần chọn số thực  vàmột khoảng I tâm 0 sao cho: | ( x+ 1) | < , với xI

chẳng hạn ta lấy I = (-1;1), thì (x+1)(-1;1), do đó | x+1| < 2

Khi đó, với xI, ta có: | f(x) - 1 | = | x2 | | x+1| < 2 | x2 |

Theo định lí so sánh đã học, ta suy ra : limx0f(x) = 1''

- Mặt khác, việc lạm dụng kĩ thuật xấp xỉ lại gặp phải hạn chế của kĩ thuậtnày, chẳng hạn như:

Ví dụ 3: Tính nlim

1

2 2

2 1

n

n n

biện chứng giữa hai thành phần: Đại số hóa /xấp xỉ, nhằm đạt tới xác định một

tỉ lệ thích hợp giữa chúng Chú ý tới các biện pháp, phương thức sư phạm

thích hợp nhằm phát huy TTCNT của học sinh.

Để thấy rõ sự khác biệt giữa các xu hướng trong dạy học Giải tích ở cáctrường THPT, cần phải so sánh chúng trên cở sở phân tích nhiều yếu tố khác

nhau Tuy nhiên ở đây chỉ dựa chủ yếu việc phân tích so sánh mối quan hệ

giữa mặt Đại số và mặt xấp xỉ của Giải tích.

1.3 THỰC TIỄN DẠY HỌC CHỦ ĐỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

Qua thực tiễn và dự giờ giảng dạy môn Toán ở trường THPT , cho thấy:

Chủ đề Giới hạn là một trong những chương khó của Giải tích THPT Ngay

cả đối với học sinh khá khi tiếp cận với với ngôn ngữ Giải tích như”  đủ bé”, “

x dần về a” , “dãy số dần ra vô cực “ mà nếu không có trình độ tư duy, khảnăng nhận thức những vấn đề trừu tượng thì khó có thể lĩnh hội được chủ đềnày, nên cách dạy chủ yếu là cung cấp tri thức, tiến hành các bài tập mẫu vậndụng, mà nguyên nhân có thể là bắt nguồn từ những vấn đề sau đây:

- Một là, phần lớn giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy khái niệm, định lý, kiến thức chủ đề Giới hạn chứ chưa nghĩ đến việc dạy thế nào;

- Hai là, tính chất về khái niệm Giới hạn quá trừu tượng vì : nó không tạo

được mối liên hệ giữa hình học với đại số, từ đó dễ có cảm tưởng rằng nó khôngthực sự toán học Học sinh rất khó nắm được khái niệm vô cùng lớn, vô cùng

bé , vô cực, nhất là giới hạn không thể tính trực tiếp bằng cách dùng phươngpháp đại số và số học quen thuộc Mặt khác, khó khăn nữa trong nhận thức kháiniệm giới hạn là những khó khăn liên quan đến ngôn ngữ: "giới hạn", "dần về",

"nhỏ tùy ý" có ý nghĩa thông thường không tương hợp với khái niệm giới hạndạng hình thức khiến cho đa số học sinh khi học về vấn đề này vừa gặp khókhăn về mặt nhận thức nên dễ rơi vào bị động bởi hàng loạt các định lý đượcthừa nhận không chứng minh, vừa làm cho việc áp dụng trở nên máy móc dẫnđến việc lĩnh hội kiến thức một cách chưa thể trọn vẹn

- Ba là, các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dưỡng giảng dạy còn nặng

về tìm hiểu, làm quen và khai thác nội dung chương trình và Sách giáo khoa.Thiếu sự chuẩn bị đồng bộ đối với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ

là mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện giảng dạy … Việc cụ thể hóa,

quy trình hóa những phương pháp dạy học về chủ đề khái niệm Giới hạn để

giúp giáo viên sử dụng trong giảng dạy chưa làm được bao nhiêu Ngoài ra cũngthiếu các thông tin cần thiết về đổi mới phương pháp dạy học nói riêng và đổimới giáo dục nói chung trên thế giới;

- Bốn là, các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hưởng rõ rệt tới phương

pháp giảng dạy; đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đốiphó như thế ấy

Tóm lại, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng theo cách thụ động trò ngồi nghe, những gì thầy giảng thường

không có sự tranh luận giữa thầy và trò, điều thầy nói có thể coi là tuyệt đốiđúng … Một phương pháp giảng dạy vào kinh nghiệm, không xuất phát từ mụctiêu đào tạo, không có cơ sở kiến thức về những quy luật và nguyên tắc của lýluận dạy học sẽ làm cho quá trình học tập trở nên nghèo nàn, làm giảm ý nghĩagiáo dục cũng như hiệu quả bài giảng

Vì vậy cần tăng cường các hoạt động phát hiện, tự khám phá, ý thức học tậpcủa mỗi học sinh:

+ Giảm nhẹ lí thuyết trừu tượng, coi trọng vai trò trực giác, rèn luyện khảnăng dự đoán và suy luận có lí ;

+ Phát huy TTCNT của học sinh trong tiến trình xây dựng kiến thức theo qui

nạp trong việc hình thành các khái niệm Giới hạn Một mặt nó phù hợp với qui

luật nhận thức " từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng " nên dễ dànghơn cho việc lĩnh hội kiến thức của học sinh Mặt khác, khi tham gia phươngthức này là cơ hội để học sinh tham gia tích cực vào việc xây dựng kiến thứcmới, rèn luyện các thao tác tư duy như Phân tích, Tổng hợp, Khái quát hóa, từ

đó phát huy TTCNT

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn việc phát huy tính tích cực nhận

thức của học sinh trong dạy học môn Toán với các quan điểm Giải tích về đặc

điểm chủ đề Giới hạn ở trường THPT cho thấy:

+ Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy TTCNT của học sinh là

phương pháp dạy học hiệu quả nhất, để đạt được yêu cầu về sự cạnh tranh trí tuệ trên con đường hội nhập và phát triển toàn cầu, đồng thời đáp ứng được mục tiêu mà xã hội đang đặt ra.

+ Đưa ra một số quan điểm Giải tích về đặc điểm chủ đề Giới hạn, đây

được coi là nội dung quan trọng, cơ bản nền tảng và khó của Giải tích Toán học

ở THPT , vì vậy khi học về nội dung này chính là quá trình biến đổi về chất

trong nhận thức đối với học sinh

Những kết luận trên đây, là cơ sở cho việc định hướng, thiết kế xây dựng 5

phương thức sư phạm thích hợp, để dạy học khái niệm về chủ đề Giới hạn theo

hướng phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học Toán nói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở trường THPT

chương 2

CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ VIỆC PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Ở THPT

2.1 CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Ở THPT

Thực tế trong chương trình môn Toán ở THPT các khái niệm ''Giới hạn vềdãy số và hàm số, hàm số liên tục'' được trình bày theo các cách tiếp cậnkhông giống nhau của mỗi tài liệu riêng biệt Xét trong các bộ SGK Giải tích

- Đại số lớp 11 của các nhóm tác giả ta sẽ thấy rõ hơn điều đó

2.1.1 Các cách tiếp cận khái niệm “giới hạn dãy số”

2.1.1.1 Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 theo ngôn ngữ '' , N( )''

Con đường đi tới định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số là qui nạp, từ việc

mô tả: ''Khi n càng lớn thì U n càng bé và bé bao nhiêu cũng được'', được chuyển

qua ngôn ngữ " , N( )" bằng cách chọn miền giá trị  cụ thể để tiến tớikhái quát hóa cho mọi  : ''ta nói rằng dãy số thực ( U n ; n = 1,2,3,…) có giới hạn

là L (LR), khi n  + nếu với mọi số dương  cho trước (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N( ) sao cho với mọi n > N( ) thì U n  L < .

Kí hiệu nlimU n = L''.

Định nghĩa này khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lầnđầu tiên học sinh tiếp cận với ký hiệu của Hy Lạp là  Học sinh khá thì thắcmắc tại sao nói là ''với mọi số dương  cho trước'' còn sử dụng cụm từ ''nhỏbao nhiêu tùy ý '' để làm gì ? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em

sẽ ít chú trọng đến tính chất '' vô cùng bé '', ( đây là đặc trưng của Giải tích) mà

các em chỉ nghĩ đến giá trị cố định  , thì tư duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rờirạc’', ''hữu hạn'' của Đại số Lời giải thích này hướng vào kiểu tư duy ''biếnthiên'', ''liên tục'', ''vô hạn'' của lĩnh vực Giải tích

2.1.1.2 Cách 2: Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, 1999 theo ngôn ngữ ”mô tả”

Khái niệm giới hạn dãy số được định nghĩa dưới dạng “mô tả” bằng ngôn ngữ thông thường, đưa vào từng bước để giảm nhẹ mức độ trừu tượng của nó +) B ước1 : Định nghĩa ''Giới hạn 0 của dãy số” là: ''dãy số ( U n ; n = 1,2,3,…) gọi là dần về 0 hay có giới hạn 0 khi n  +, (nếu U n càng nhỏ khi n càng lớn) tức là có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn được n đủ lớn Kí hiệu nlim U n = 0 hoặc U n  0 khi n  +''

Định nghĩa này chưa đảm bảo tính chính xác của một định nghĩa khái

niệm, nhưng vì tính chất “mô tả” nên học sinh không bị choáng, vì vậy giúp học sinh bước đầu hình thành khái niệm Giới hạn 0 của dãy số Tuy nhiên với

cách định nghĩa này, học sinh không thể dùng định nghĩa để chứng minh một dãy có Giới hạn 0 và làm các bài toán về chứng minh Giới hạn bằng định nghĩa, mà học sinh chỉ có mỗi một con đường là công nhận tất cả các Giới hạn cơ bản, cũng như các định lý về Giới hạn

+) B ước 2 : Định nghĩa “ Giới hạn L  0 của dãy số U n” là

''ta nói rằng dãy số thực (U n; n = 1,2,3,…) có giới hạn là L (LR), khi

n  + nếu với mọi số dương  cho trước (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự

nhiên N( ), sao cho với mọi n > N( ) thì U n  L < Kí hiệu nlimU n = L'' Qua sự phân tích trên ta thấy cần có sự thống nhất giữa các quan điểm đểhọc sinh lĩnh hội được các khái niệm, ngoài ra đảm bảo tính vừa sức, tínhlôgic đúng đắn, từ đó giúp học sinh có sự nhận thức rõ ràng và sâu sắc hơn.Chính vì vậy, mà chương trình cải cách SGK lần này đã quán triệt tinh thần

đó, của nhóm tác giả Phan Đức Chính, đó là cách 3:

2.1.1.3 Cách 3 : Của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên, 2004

Trước hết, thông qua ví dụ cụ thể điển hình, bằng việc tổ chức cho họcsinh biểu diễn dãy số và nhận xét khoảng cách từ điểm U n đến tọa độ 0 Quathao tác sư phạm, giáo viên hướng dẫn học sinh làm sao nêu bật lên được mặtlogic của khái niệm Giới hạn 0, một cách trực quan nhất, lúc này cả ba mặt''trực giác số '' , ''trực giác hình học'' và ''suy luận'' đều được đề cập nhằmhình thành ở học sinh biểu tượng ban đầu về khái niệm Giới hạn 0 của dãy số.Tuy nhiên, mặt ''suy luận'' chỉ được đề cập có mức độ Vậy muốn đi đến kháiniệm Giới hạn 0, học sinh lại cần hiểu được mệnh đề tổng quát ''U n nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi'' Sau đó thông báo rằng

với đặc trưng này dãy (U n) được gọi là có giới hạn 0 khi n  +

Mệnh đề nêu trên chỉ dừng ở mức độ ''U n nhỏ hơn '', chứ chưa phải là ''

n

U nhỏ hơn '' Tuy nhiên, với dãy số này, học sinh có thể có quan niệm sai

lệch rằng: ''nếu dãy ( U n ) có giới hạn là 0, thì U n phải là dãy đơn điệu và dần tới 0 chỉ từ một phía, thậm chí ( U n ) phải dương'' Nhưng dãy ( U n) có thể là dãykhông đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay từ bên phải, hoặc từ cả haiphía Mục đích chủ yếu vẫn là giúp học sinh hiểu một cách trực giác kháiniệm Giới hạn 0, do đó mô tả đặc trưng của dãy số này trên cả hai phươngdiện ''trực giác số'' và ''trực giác hình học'' Để khắc phục khuyết điểm này vàcũng cố biểu tượng ban đầu về Giới hạn 0, nên xét ví dụ dãy đan dấu:

Ví dụ 5: Chứng minh dãy số  

n u

n n

1



 có giới hạn 0 Xét : nlim

n u

n n

n

) 1 ( lim 

từ một số hạng nào đó trở đi'' Cụm từ ''nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ

một số hạng nào đó trở đi'' có thể còn mơ hồ đối với học sinh, vì thế ta phải

cho cụ thể hai giá trị số dương là:

Giới hạn 0 và theo con đường suy diễn (nghĩa là phát biểu ngay định nghĩa, sau

đó trình bày ví dụ củng cố ).

Vấn đề là đưa vào khái niệm Giới hạn qua “mô tả” mà không trình bày

định nghĩa chính xác, nên khó có thể lột tả được bản chất khái niệm, trên tinhthần đó trong SGK mới, khái niệm Giới hạn 0 và Giới hạn + được đưa vàotheo con đường qui nạp Cụ thể qua các hoạt động và ví dụ, khái niệm được