Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =2-x2-y Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC, đờng cao AH.. Đờng tròn tâm O’ đờng kính AH cắt đờng tròn O tại điểm
Trang 1đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a, + =5
b,
+
=
= +
) y )(x
x -y ( y -x
2 y x
2010 2010
2 2
Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:
= + +
= + +
1
1
3 3 3
2 2 2
c b a
c b a
Bài 4: Cho x2+y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC, đờng cao AH
Đờng tròn tâm O’ đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và
AC lần lợt tại M và N
a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC
b, Các tiếp tuyến của đờng tròn (O’) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K , so sánh IK và BC
c, Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm
Trang 2h ớng dẫn chấm toán lớp 9
Bài 1 (3,0 đ): A= 2130 + 3921 = 330 730 + 321 1321 0,5 đ A= 321( 39.730 + 1321)
A= 2130 + 3921 = (2130 -1) + (3921 + 1) 0,5 đ A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên) 0,5 đ
Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45 0,5 đ
Bài 2: a, Nhận xét : =
(3.0 đ) = ( x−1-3)2
Vậy tìm đợc ĐK là: x≥ 1
0,75 đ 0,5 đ
HS biến đổi đợc: + ( x−1-3)2 = 5
+ Nếu x≥ 10, ta có : +2+-3=5⇒ x=10 (thoả mãn) 0,5 đ
+ Nếu 1≤ x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1≤ x≤ 10 0,75 đ
b, Điều kiện x,y≥ 0
(2,0 đ) Từ x2 +y2 =2 ⇒ (x,y)≠ (0,0) ⇒ x2010+y2010 > 0 0,5 đ Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)
Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm) 0,5 đ0,5 đ Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2
Thay vào PT thứ nhất và tìm đợc: x = y = 1 0,5 đ
Bài 3 (2,0 đ): Ta có a2 +b2 +c2 =1 nên a ≤1;b ≤1;c ≤1 0,5 đ
Ta có : (a2 +b2 +c2)−(a3 +b3 +c3)=0
=> a2(1−a)+b2(1−b)+c2(1−c)=0 0,5 đ Vì a2(1− a) ≥ 0;b2(1 − b) ≥ 0;c2(1 − c) ≥ 0
=> a2(1−a) =b2(1−b) =c2(1−c) =0 0,5 đ Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a2=b2=c2=1
HS kết luận đợc có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0 0,5 đ
Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy
(3,0 đ) 2S = 8 - 4x – 4y + 2xy
2S = 1+4+3 - 4x – 4y + 2xy 0,5 đ 2S = x2 + y2 + 4 - 4x – 4y + 2xy +3
2S =(x+y-2)2 + 3
S =
2
3 2) -y (x+ 2 +
0,25 đ Vậy Smax (x+y-2)2 đạt max và Smin (x+y-2)2 đạt min 0,25 đ
Trang 3Ta có (x-y)2≥ 0 với mọi x,y ⇒ 2xy ≤ x2+y2 ⇒ (x+y)2≤ 2(x2+y2)=2
⇒ - -2 ≤ x+y-2 ≤ -2 < 0 0,5 đ
⇒ S≤ = =
Vậy SMax = Đẳng thức xảy ra ⇔ x=y= - 0,5 đ S ≥ 2 2 4 9 2 3 4 2 4 2 2 3 ) 2 2 ( − 2 + = − + + = − Vậy SMin = Đẳng thức xảy ra ⇔ x=y= 0,5 đ
C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S
Kết luận đợc ∠ OAC = ∠ OCA
∠ O’NA = ∠ O’AN
∠OAC+∠O’NA=∠OCA+∠O’AN =900 0,5 đ
OO’ là đờng nối tâm của (O) và (O’) nên OO’⊥AG hay OO’ ⊥ AS 0,5 đ Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO’ là đờng cao => O’ là trực tâm của
=> SO’ ⊥ AO (2) kết hợp với (1) => SO’ và MN cùng vuông góc với AO 0,25 đ
Và có chung điểm O’ => đờng thẳng SO’ trùng đờng thẳng MN =>
S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,25 đ
Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc :
AM.AB = AH2 (0,75 đ)
AN.AC = AH2 (0,75 đ)
AM.AB = AN.AC (0,5 đ)
b) Kết luận đợc ∆IMH cân tại I (0,5 đ)
Kết luận đợc : MI=BI=IH (0,75 đ)
IH=1/2 BH (0,25 đ)
Tơng tự kết luận đợc:
HK =1/2 HC (1,5 đ)
IK = 1/2 BC (0,5 đ)
(3,0 đ)