ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011
TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH
( thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề)
………
Câu 1 (4 điểm)
Giải phương trình: 9x2 + 16 2 2 − x+ = 4 4 2 −x
Câu 2.(4 đi ểm)
Giải hệ phương trình:
2 2 2
1 7
1 13
+ + =
+ + =
Câu 3 (4 điểm)
Cho các số x;y;z;t v à x ≥ 4 ; y ≥ 6; z ≥ 7; t ≥ 8
Tìm giá trị lớn nhất của
Câu 4.(5 điểm)
Cho ∆ABCcó các cạnh a,b,c với p=
2
a b c+ +
Chứng minh: (p-a)(p-b)(p-c) ≤ 8
abc
; từ đó chứng minh R ≥2r
Trong đó R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp ∆ABC
Câu 5:(3 điểm)
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (o) các tiếp tuyến với (o) tại B,Ccắt ngau ở M
AM cắt BC ở N Chứng minh:
2
= ÷
Trang 2Đ ÁP ÁN V À BI ỂU ĐI ỂM
…………
C âu1
(4 đ) Đi ều kiện
đặt 8 2x− =t (t ≥0)
PT⇒4 t2 +16t –(x2 +8x) =0 ⇒ t=x/2 hoặc t =-4-x/2
Giải x theo t được x= 4 2
3
± là nghiệm
1 đ
1đ
1đ 1đ
Câu 2
(4đ)
Xét y=0 hệ không thoả mạn
với y≠0 hệ
2
+ + = + + =
+ + = + − =
đặt u = x 1
y
+ v = x
7 13
u v
+ =
⇒ − = ⇒u=4; v=3 hoặc u=-5; v=12
với u=4 v=3 ta có
1 4
3
x y x y
+ =
=
giải hệ này có
1 3
1
3
x x
=
=
= =
là nghiệm
với u=-5; v=12ta có
1 5
12
x y x y
+ = −
=
vô nghiệm
vậy hệ đã cho có 2 nghiệm :
1 3
1
3
x x
=
=
= =
1đ
0.5đ
1đ
0.5
1đ
Câu 3
4đ Từ gt ta có A= t t−8 + z z−7 + y y−6 + x x−4=
y
−
2 8 2 7 2 6 2 4 2 8 2 7 2 6 2 4
vậy GTLN của A là MaxA= 1 1 1 1
2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 4 khi
1đ 1đ
1đ
1đ
Trang 34 4
x
y
z
t
− =
− =
− =
− =
hay x=8; y=12 z=14; t= 16
Câu4
5đ
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên: a+b-c >0; a+c-b >0; b+c-a >0
Theo BĐT cô-si có
2 2
2
2
4
4
4
a b c a c b
a b c b c a
b c a a c b
+ − + + −
+ − + + −
+ − + + −
( ) (2 ) (2 )2 2 2 2
⇒ + − + − + − ≤
• ta có S = ( ) ( ) ( ) .
4
abc
R
• theo cm trên
8 2
2 4
abc
1đ
1đ
1đ
1đ
1đ
Câu5
3đ
gọi H; K hình chiếu của B;C trên AM
ta có: BAM .. sinsin
CAM
S
∆
∆
∠
∠ ; giả thiết BM=CM;
sin ∠ABM = sin(A B+ ) sin ;sin = C ∠ACM = sin(A C+ ) sin = B ( A;B;C là 3 góc
của tan giáic ABC)
Vậy:
2 sin
.sin
= = ÷ ( theo định lý sin)
c1
j
N O
C
M
B
A
H K
1đ
1đ
1đ