De thi HSG Nam Dinh 2010_2011

Gọi H là trực tâm tam giác ABC.. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB ; ABCD theo a và h.. Khi a và h thay đổi và hình chóp đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2010-2011 Môn : Toán

(Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang

Câu 1 (4 điểm)

Cho hàm số   3 5

4

x

x



 (C)

1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x lnf x  

2 Tìm trên đồ thị (C) những điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm

cận của (C) tại hai điểm A ; B và đoạn AB là ngắn nhất

Câu 2 (5 điểm)

1 Giải phương trình: 1 cos tan 1 cos 2sin 1

cos

x

x



   

2 Giải bất phương trình :

log x x 1 log x x 1 log x x 1 0

Câu 3 (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A1; 2 ;   B3;0 Gọi

H là trực tâm tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm

4; 3

I  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 1;2 ;   B2;1;1 và mặt

phẳng  P :x 2y 3z  5 0 Tìm tọa độ điểm C P sao cho (ABC)

vuông góc với (P) và tam giác ABC cân tại C

Câu 4 (3 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a ; chiều cao SH = h

1 Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) ; (ABCD) theo a và h

2 Khi a và h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại tiếp mặt cầu cố

định có bán kính bằng 1 Tìm a và h để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất

Câu 5 (3 điểm)

1 Tính tích phân

2

1

6

9 4

x

dx

I 





2 Chứng minh rằng :

C     C     C      C     C    

Câu 6 (2 điểm)

Cho các số thực a ; b ; c thỏa mãn đồng thời các điều kiện : abc ;

a  b c ab bc ca Chứng minh rằng : 0a    1 b 3 c 4

- Hết -

Họ và tên thí sinh :……… Chữ ký của Giám thị số 1 : ………

Số báo danh :………Chữ ký của Giám thị số 2 : ………

ĐỀ CHÍNH THỨC