Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất.. Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD.. Chứng minh rằng tam giác ACE
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================
Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số 3
y x = − 3x 2 + có đồ thị là (T) Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C) Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng
2/ Cho hàm số y x = 2n 1+ + 2011x 2012 (1) + , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình: log x log x log x log x log x log x x 2 + 4 + 6 = 3 + 5 + 7 ( ∈ ¡ )
2/ Giải phương trình: ( )2 1 2 1 ( )
Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n; k, n ≤ ≤ ∈ ¢ ), tính tổng sau:
S C = + 2C + 3C + + 2010C + 2011C
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành,
AD 4a a 0 = > , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 Tìm cosin
của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất
2/ Cho tứ diện ABCD có BAC 60 ,CAD 120· = 0 · = 0 Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD Chứng minh rằng tam giác ACE vuông
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x 2 + y 2 ≤ π Chứng minh rằng:
( )
cos x cos y 1 cos xy + ≤ + .
……… HẾT………
(Đề thi gồm có 01 trang)
Trang 2UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
==============
Câu 1
(5 đ) Câu 1.1 (3 điểm)
Gọi A x ; y , B x ; y ,C x ; y( 1 1) ( 2 2) ( 3 3) là 3 điểm thẳng hàng trên (T) và thuộc đường
thẳng ∆ : y ax b = +
PT tiếp tuyến tại A là: ( 2 ) ( )
y = 3x − 3 x x − + y (d1).
0,5
x − 3x 2 + = 3x − 3 x x − + − x 3x + 2
1
x x
x 2x
=
⇒d1 cắt (T) tại A ' x ' ; y '( 1 1) với x ' 1 = − 2x 1
0,5
y ' = x ' 3x ' 2 − + = − 8x + 6x + = − 2 8 x − 3x + − 2 18x + 18
8y 18x 18 8 ax b 18x 18 4a 9 x ' 18 8b
Chứng minh tương tự A’, B’, C’ cùng thuộc đường thẳng có PT:
' : y 4a 9 x 18 8b
∆ = + + − Suy ra, đpcm
Chú ý: Học sinh có thể chứng minh và sử dụng bổ đề:
“Cho ba điểm A x ; y , B x ; y ,C x ; y( 1 1) ( 2 2) ( 3 3) thuộc đồ thị hàm số
y ax = + bx + cx d a 0 + ≠ , A, B, C thẳng hàng x1 x2 x3 b
a
−
0,5
Câu 1.2 (2 điểm)
Xét hàm số: ( ) 2n 1
f x = x + + 2011x 2012 + .
( ) ( ) 2n
f ' x = 2n 1 x + + 2011 0, x > ∀ ∈ ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡
2011 2012
+
+
( ) 2n 1
2011 2012
+
+
( ) ( )
f a f b 0
⇒ < , suy ra PT f x( ) = 0 có nghiệm thuộc (a;b).
Từ đó suy ra, đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm
Chú ý: Học sinh có thể tính xlim f (x), lim f (x)→+∞ x→−∞ rồi lập bảng biến thiên và suy ra
0,5
Trang 3f(x)=0 có nghiệm duy nhất.
Câu 2
(5 đ)
Câu 2.1 (2,5 điểm) Giải phương trình:
log x log x log x log x log x log x + + = + + (1)
( )1 ⇔ log x log 2.log x log 2.log x log 2log x log 2.log x log 2.log x 2 + 4 2 + 6 2 = 3 2 + 5 2 + 7 2 0,75
log x 1 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 0
Ta có: 1 log 2 0 − 3 > , 4 5
log 4 log 5
log 6 log 7
− = − > nên 1 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 0 + 4 + 6 − 3 − 5 − 7 >
0,5
(2)⇔ log x 0 2 = ⇔ = x 1.
Câu 2.2 (2,5 điểm) Giải phương trình:( )2 1 2 1
ĐK: x 7
5
> Xét hàm số: ( ) 2 1
f t t
t 1
= −
− với
7 t 5
( )
( )3
5
2 t 1
− Suy ra, f(t) đồng biến trên
7
; 5
+∞
3
2
Vậy PT có nghiệm duy nhất x 3
2
=
Chú ý: Nếu HS ghi ĐK t > 1 và chỉ ra hàm số f(t) đồng biến trên (1; +∞) thì điểm
vẫn cho tối đa.
0,5
Câu 3
(3 đ)
Kí hiệu k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n; k, n ≤ ≤ ∈ ¢), tính tổng sau:
S C = + 2C + 3C + + 2010C + 2011C Xét hàm số: ( ) ( )2010
Ta có: ( )2010 0 1 2 2 2010 2010
( ) ( 0 1 2 2 3 2010 2011)
C 2C x 3C x 2011C x
Mặt khác ( ) ( )2010 ( )2010 ( )2009
f ' x = x 1 x+ '= +1 x +2010x 1 x+
Với x=1 ta được:
S C = + 2C + 3C + + 2010C + 2011C
0,5
Trang 4( ) 2011
f ' 1 503.2
Câu 4
(5đ) Câu 4.1 (3 điểm)
Gọi O là giao điểm của AC và BD do ∆SAC, ∆SBD cân tại S nên
Từ giả thiết suy ra OA OB OC OD = = = ⇒ABCD là hình chữ nhật. 0,25
Đặt AB x, x 0 = > ⇒ AC = 16a 2 + x 2
ABCD
−
a ( 2 2 2) 8a3
x 8a x
3 ABCD
8a
3
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ
O 0;0;0 , S 0;0;a , B a; 2a;0 , C a; 2a;0 , D a; 2a; 0 − − − . 0,25
Tìm được vtpt của mp(SBC) là nuuuurSBC(1;0; 1 − ), 0,25 vtpt của mp(SCD) là nuuuurSCD(0;1; 2) 0,25
2 cos
10
⇒ ϕ = , với ϕlà góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). 0,25
Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) (khi V ABCD lớn nhất) bằng
2
Chú ý: Học sinh có thể tính thể tích của khối chóp S.ABCD bằng cách đặt SO=x
S.ABCD
1
3
= − lời giải hoàn toàn tương tự.
Câu 4.2( 2 điểm)
Trang 5Đặt u AB, v AD, w AC u v w 1
uuur uuur uuur
AE nhận uuuur r rAE = + u v là vectơ chỉ phương 0,5
AE
u wuuur uur= u v w uw vwr r uur ruur ruur+ = + = u w cos 60r uur + v w cos120r uur = 0. 0,5
Câu 5
(2 đ)
Do hàm y cos x= là hàm chẵn nên ta chỉ cần xét với x 0, y 0 ≥ ≥ .
Ta có
0,25
cos x cos y 2cos cos 2cos
1 cos xy 1 cos
2
+
0,25
Ta sẽ chứng minh
2
Đặt x y t, t 0;
, (1) trở thành
2
1 cos t + − 2cos t 0 ≥
Xét hàm số f (t) 1 cos t = + 2 − 2cos t với t 0;
2
0,25
( )
f '(t) = − 2t sin t + 2sin t 2(sin t t sin t ) ;f '(1) f ' 0 = − = = 0 0,25
∀t∈(0 ;1) ta có t t > ⇒ 2 sin t sin t > 2 > t sin t 2 ⇒ f '(t) 0 > 0,25
∀t∈ 1;
2
ta có
t t < ⇒ sin t sin t < < t sin t ⇒ f '(t) 0 < 0,25
Trang 62 2
f (0) 0; f (1) 1 cos1 0;
0,25
Vậy
2
Từ đó suy ra, cosx+ cosy≤ 1 + cos(xy)
Dấu bằng xảy ra khi x y 0 = = .
Chú ý: Học sinh có thể đặt t = xy và cách làm cũng hoàn toàn tương tự.
0,25
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa
2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó Mọi
vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ
cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ
3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm