ÔN THI HSG 7 HAY ( THAM KHẢO)

Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ.. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng... Cho tam giác vuông ABC A = 1v, đường cao AH, trung tuyến AM.. Trên

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) 1

8

n = n; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)

− − − − −

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)

− + + + + +

= 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9

Bài 3 (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) Tìm x biết: x + 3 = x + 2

Ta có: x + 2 ≥ 0 => x ≥ - 2

+ Nếu x ≥ -

2

3 thì 2 x + 3 = x + 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 ≤ x < -

2

3 Thì 2 x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = -

3

5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1

+ Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng (4

điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:

x – y =

3

1

(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Do đó:

33

1 11 : 3

1 11

y x 1

y 12

x 1

12 y

=> x =

11

4 x ) vòng

(

33

12

=

Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là

11 4 giờ

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA

Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh:

AE = BC (4 điểm mỗi)

Đường thẳng AB cắt EI tại F

∆ABM = ∆DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), ·AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)

Từ (3), (4) và (5) => ∆AFE = ∆CAB

=>AE = BC

a) (2 điểm)

( )

10

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4

2 4 5

12 4 10 3

10 3

12 4

12 5 9 3

2 3 3 1 5 7 1 2

5 7 6

2 3 2

2 3 4 5 7 9

+ +

−

−

b) (2 điểm)

3n+ 2− 2n+ 2+ − 3n 2n= 3n+ 2+ − 3n 2n+ 2− 2n

=3 (3n 2+ − 1) 2 (2n 2+ 1)

=3 10 2 5 3 10 2n× − × = × −n n n− 1× 10

= 10( 3n -2n)

Vậy 2 2

3n+ − 2n+ + − 3n 2nM 10 với mọi n là số nguyên dương

a) (2 điểm)

D B

A

H

I

F E

M

( )

1 2 3

3

1 7 2

3 3

2

3 3

3, 2

1

2 3

x x

x

x

x

− =−

= + =

−

=− + =

−

⇔ − + =





⇔ − = ⇔ 











⇔

b) (2 điểm

x

+

( )( 1) ( )10

1

10

10

x

x

x x

 

 ÷

 

+

− = ⇒ =





⇔ 





⇔ 



a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A

Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1

: :

5 4 6 (1)

và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) ⇒ 2 3 1

5 4 6

a = = b c

= k ⇒ 2 ; 3 ;

k

Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1

25 16 36

⇒k = 180 và k =− 180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30

Khi đó ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =− 180, ta được: a = − 72; b =− 135; c =− 30

Khi đó ta có só A =− 72+( − 135) + (− 30) = − 237

b) (1,5 điểm)

Từ a c

c = b suy ra c2 = a b

khi đó

.

a c a a b

b c b a b

+ +

H

E

M B

A

C I

= ( )

a a b a

b a b b

+

a/ (1điểm) Xét ∆AMC và ∆ EMB có :

AM = EM (gt )

·AMC = ·EMB (đối đỉnh )

BM = MC (gt )

⇒ AC = EB

Vì ∆AMC = ∆ EMB ⇒ ·MAC = ·MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

b/ (1 điểm )

Xét ∆ AMI và ∆ EMK có :

AM = EM (gt )

·MAI = ·MEK ( vì ∆AMC= ∆EMB )

AI = EK (gt )

Nên ∆ AMI = ∆ EMK ( c.g.c )

Suy ra ·AMI = ·EMK

Mà ·AMI + ·IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

⇒ ·EMK + ·IME = 180o

⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( µH = 90o ) có ·HBE = 50o

·HBE

⇒ = 90o - ·HBE = 90o - 50o =40o

·HEM

⇒ = ·HEB - ·MEB = 40o - 25o = 15o

·BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆ HEM

Nên ·BME = ·HEM + ·MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c)

suy ra · DAB DAC = ·

20 : 2 10

DAB = =

b) ∆ABC cân tại A, mà µ A = 200(gt) nên · 0 0 0

(180 20 ) : 2 80

∆ABC đều nên · 0

60

DBC = Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra · 0 0 0

ABD = − =

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a ≤ 4

0≤ a ≤ 4

=>a = 0; 1; 2; 3 ; 4

* a = 0 => a = 0

* a = 1 => a = 1 hoặc a = - 1

* a = 2 => a = 2 hoặc a = - 2

* a = 3 => a = 3 hoặc a = - 3

20 0

M A

D

* a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9

10

− và nhỏ hơn 9

11

−

Gọi mẫu phân số cần tìm là x

Ta có:

− < < −

=> 63 63 63

70 < 9 x < 77

− − => -77 < 9x < -70 Vì 9x M9 => 9x = -72

=> x = 8

Vậy phân số cần tìm là 7

8

−

Câu 3 Cho 2 đa thức

P ( ) x = x2 + 2mx + m2 và

Q( ) x = x2 + (2m+1)x + m2

Tìm m biết P (1) = Q (-1)

P(1) = 12 + 2m.1 + m2

= m2 + 2m + 1

Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2

= m2 – 2m

Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4

Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

=

4

x = y = xy = =

=> x2 = 4.49 = 196 => x = ±14

=> y2 = 4.4 = 16 => x = ±4

Do x,y cùng dấu nên:

• x = 6; y = 14

• x = -6; y = -14

= =

1+3y 1+5y 1+7y

b/

12 5x 4x

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=> 2 2

x = x

=> -x = 5x -12

=> x = 2 Thay x = 2 vào trên ta được:

y y

y

− =>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y =

1 15

−

Vậy x = 2, y = 1

15

− thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :

• A = x + 1 +5

Ta có : x + 1 ≥ 0 Dấu = xảy ra ⇔ x= -1

⇒ A ≥ 5.Dấu = xảy ra ⇔ x= -1

Vậy: Min A = 5 ⇔ x= -1

• B =

3

15

2

2

+

+

x

x

= ( )

3

12 3

2

2

+

+ +

x

x

= 1 +

3

12

2+

x

Ta có: x2 ≥ 0 Dấu = xảy ra ⇔ x = 0

⇒ x2 + 3 ≥ 3 ( 2 vế dương )

⇒

3

12

2 +

x ≤

3

12 ⇒

3

12

2 +

x ≤ 4 ⇒ 1+

3

12

2 +

x ≤ 1+ 4

⇒ B ≤ 5

Dấu = xảy ra ⇔ x = 0

Vậy : Max B = 5 ⇔ x = 0

Câu 6: a/

Xét ADC và BAF ta có:

DA = BA(gt)

AE = AC (gt)

DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )

=> DAC = BAE(c.g.c )

=> DC = BE

Xét AIE và TIC

I1 = I2 ( đđ)

E1 = C1( do DAC = BAE)

=> EAI = CTI

=> CTI = 900 => DC ⊥ BE

b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)

=> D1 = MEN, AD = ME

mà AD = AB ( gt)

=> AB = ME (đpcm) (1)

Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )

mà BAC + DAE = 1800

=> BAC = AEM ( 2 )

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP ⊥ MH

Xét AHC và EPA có:

CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )

AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)

=> AHC = EPA

=> EPA = AHC

=> AHC = 900

=> MA ⊥ BC (đpcm)

CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a

Ta có :

1

3

2

+

+ +

a

a

1

3 1

3 ) 1 (

+ +

= +

+ +

a

a a

a a

vì a là số nguyên nên

1

3

2

+

+ +

a

a a

là số nguyên khi

1

3 +

a là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta

có bảng sau :

Vậy với a∈ { − 4 , − 2 , 0 , 2 }thì

1

3

2

+

+ +

a

a a

là số nguyên

0,25

0,25 0,25

0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0

Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :







=

=

⇒







−

=

−

=

−

0

0 1

1 2

1 2 1

y

x x

y

Hoặc







=

=

⇒







=

−

−

=

−

1

1 1

1 2

1 2 1

y

x x

y

Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài

0,25

0,25 0,25 0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra

d

c b

a = ( ĐPCM

0,5 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0)

Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

a a

n

n

37 3 111 2

) 1 (

=

=

+

Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )

Do đó n=37 hoặc n+1 = 37

Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 703

2

) 1 ( n + =

n

không thoả mãn

Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666

2

) 1 ( n + =

n

thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36

0,25 0,25

0,5 4

H

A

Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300

Nên CH =

2

CD ⇒CH = BC Tam giác BCH cân tại C ⇒CBH = 300⇒ ABH = 150

0,5

0,5 1,0

Mà BAH = 150 nờn tam giỏc AHB cõn tại H

Do đú tam giỏc AHD vuụng cõn tại H Vậy ADB = 450+300=750

1,0

5 Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho 3 vỡ x nguyờn tố nờn x=3 lỳc đú y= 2 nguyờn tố thoả món

Nếu x khụng chia hết cho 3 thỡ x2-1 chia hết cho 3 do đú 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nờn y chia hết cho 3 khi đú x2=19 khụng thoả món

Vậy cặp số (x,y) duy nhất tỡm được thoả món điều kiện đầu bài là (2;3)

0,25 0,25

Đáp án

1/ a)

41

1 2 41

1 1 1 41

1 ) 35

4 5

2 7

5 ( ) 6

1 3

1 2

1

2010 2009

1 2009

2008

1

4 3

1 3 2

1 2 1

1

2010

1 2009

1

5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

= 2009 -

2010

2009 2009

) 2010

1 1

2/

2x + 2x+3 = 144 => 2x(1+23) = 144=> 2x = 16

2x = 22 => x = 4

b) x − 2009 + x − 2010 = 1=> x − 2009 + 2010 − x = 1

Ta lại có x − 2009 + 2010 − x ≥ x − 2009 + 2010 − x = 1

1 2010

x  (x - 2009).(2010 - x)≥0  2009 ≤ x ≤ 2010

Vậy x − 2009 + x − 2010 = 1 2009 ≤ x ≤ 2010

3/ a) Vì

d

c b

a

= nên

d

b c

a d

b d

b c

a c

a d

b c

a

.

=>

cd

ab d

c b

a22 = 22 =

Ta lại có

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

8 11

8 11 3

7

3 7 3

3 8

8 11

11 7

7

d c

b a cd c

ab a

cd

ab d

b c

a c

−

−

= +

+

=

=

=

=

2 2

2

8 11

3 7 8

11

3 7

d c

cd c bc a

ab a

−

+

=

−

+

b) Gọi các phan số cần tiìm là

f

e d

c b

a

;

; theo bài ra ta có:

a : c : e = 3 : 5 : 7; b : d: f =2 : 3 : 4

7 5

e c

a = = = b = d = f = p

4 3 2

Ta có a= 3k; c = 5k; e =7k; b = 2p; d =3p; f = 4p

Ta lại có

8

35

; 6

25

; 4

15 2

5 2

3

2

5 24

295 12

59 24

7 12

=

=

=

=

=>

=

=>

=

=>

= +

+

f

e d

c b

a

p

k p

k f

e

d

c

b

a

Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng

24

7 12 4/ Ta có 2m - 2n > 0 => 2m > 2n => m > n

Nên (1)  2n(2m-n – 1) = 28

Vì m-n > 0 => 2m-n– 1 lẽ => 2m-n-1 =1 => 2m-n= 21

=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 9

5/

a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD

b) Từ ADC = ABE => ADC = ABE

Gọi K là giao điểm của AB và CD Xét hai tam giác AKD và IKB có AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên)

Vậy KAD = KIB = 600 => BIC = 1200

c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB đều nên IB = BJ (1)

Xét tám giác IAB và tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt)

B1 = B2 ( B1 + B3 = B2 + B3 = 600) Vậy tam giác

IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2)

Từ (1) và (2) => IA + IB = ID

d) J nằm giữa I và D, IAB = JBD => AIB + DJB = 1200

D

K J

C

I

E A

B

1 3 2