một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

là bộ môn đại số càng có ý nghĩa quan trọng.Việc dạy học sinh giải toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một sốkiến thức cơ bản thông qua việc giải các bài tập mà giáo viên cần ph

là bộ môn đại số càng có ý nghĩa quan trọng.

Việc dạy học sinh giải toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một sốkiến thức cơ bản thông qua việc giải các bài tập mà giáo viên cần phải biết rènluyện khả năng sáng tạo cho từng học sinh, giúp học sinh biết phân loại ra từngdạng toán Vì vậy nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập cho họcsinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm raphương pháp giải cho từng dạng toán đó

2 Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình giảng dạy toán ở các trường THCS và qua các năm công tácgiảng dạy tại trường THCS Trần Quang Khải thuộc phòng Giáo dục và đào tạohuyện Hòa Vang, thành phố Đà Nẵng Được sự trao đổi học hỏi kinh nghiệmcủa các đồng nghiệp và được sự động viên giúp đỡ của lãnh đạo trường, tôi đãmạnh dạn viết sáng kiến này với suy nghĩ và mong muốn được trao đổi với đồng

nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về “ Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức” trong chương trình đại số lớp 9 Với mục đích

thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo của từng học sinh trước mỗi bài toán,đồng thời giáo viên sẽ có thêm kinh nghiệm trong quá trình áp dụng phươngpháp giảng dạy cho từng dạng bài toán Trên cơ sở đó đối với mỗi bài toán cụthể các em học sinh có thể khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựngcác bài toán tương tự Mục đích thứ hai là kích thích sự ham học hỏi của họcsinh giúp các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình ở mọilúc, mọi nơi

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

1.1 Thực trạng:

a) Thuận lợi:

Kể từ năm học 2008 – 2009 bản thân tôi được lãnh đạo phòng GD và ĐThuyện Hòa Vang phân công phụ trách bộ môn toán THCS (Tổ trưởng bộ mônToán THCS) đồng thời được sự chỉ đạo và giúp đỡ trực tiếp của bộ phận chuyênmôn THCS, hướng dẫn cho tôi nghiên cứu tìm tòi các tư liệu để viết thành cácchuyên đề phục vụ cho công việc dạy chủ đề tự chọn bám sát và chủ đề bồidưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 và 9 Đặc biệt trong hoạt động chuyên môn, lãnhđạo trường luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu dạy học đổi mới sángtạo nhất Mặt khác trong sự nghiệp giáo dục ngày nay có nhiều thay đổi đáng kểnên các cấp ủy Đảng, chính quyền địa phương, đoàn thể, các bậc phụ huynh, hộikhuyến học đã có nhiều sự quan tâm hơn đối với sự nghiệp giáo dục

b) Khó khăn:

Bên cạnh những thuận lợi nêu trên cũng còn nhiều khó khăn như: Hầu hết các

em học sinh ở vùng nông thôn đời sống kinh tế gặp nhiều khó khăn, vì vậy việcquan tâm đến học hành còn nhiều hạn chế về tinh thần lẫn vật chất dẫn đến tìnhtrạng học sinh lơ là trong học tập trên lớp cũng như ở nhà Đối với trường THCSTRẦN QUANG KHẢI nói riêng và các trường trên địa bàn huyện Hòa Vang nóichung, việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh giỏi toán đã hình thành

từ lâu Tuy nhiên hiệu quả chưa cao do nhiều nguyên nhân khách quan và chủquan ở người dạy và người học Đa số giáo viên ở xa trường không phải làngười địa phương, đời sống giáo viên hiện nay vẫn còn nhiều khó khăn, sự phốihợp giữa giáo viên bộ môn và giáo viên chủ nhiệm, gia đình học sinh cũng chưađược thường xuyên Đa số các em học sinh còn ham chơi, chưa xác định rõ động

cơ và mục đích học tập của mình

Chính vì vậy trong quá trình dạy học, tôi luôn tâm huyết với lòng mình là cầnphải nghiên cứu sáng tạo tìm ra những phương pháp giải toán phù hợp với từng

đối tượng học sinh, nhất là các em học sinh ở vùng nông thôn để các em cónhững tài liệu học tập tốt hơn.

1.2 Các số liệu của thực trạng:

Qua thời gian nghiên cứu và tham khảo ý kiến của các bạn đồng nghiệp, đồngthời trực tiếp khảo sát trắc nghiệm sự hứng thú học toán của học sinh lớp 9 9 tôiđang dạy thì chỉ có 20% các em thực sự có hứng thú học toán; 40% học sinhthích học toán nhưng chưa có hứng thú, 30% học sinh nữa thích nữa không,10% còn lại không thích học toán, các em cho rằng học toán khó quá

2 Quá trình thực hiện đề tài:

2.1 Giải pháp thực hiện:

a) Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cho mỗi bài toán, định hướng cáchgiải bài toán, từ đó hướng dẫn học sinh tìm được lời giải ngắn nhất phù hợp nhất.b) Hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức cơ bản đã học để giải quyếtcác vấn đề liên quan đến bài toán

c) Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến cách giải bài toán.d) Khai thác bài toán để tìm ra nhiều cách giải

e) Hình thành phương pháp giải chung cho từng dạng toán

2.2 Kiến thức cần truyền đạt:

Để rèn luyện được khả năng sáng tạo, tư duy logic tìm ra phương pháp giảicác bài toán về căn thức bậc hai cho từng đối tượng học sinh Điều trước tiênngười thầy phải tìm ra nhiều cách giải và hướng dẫn học sinh tìm được lời giảicho bài toán

Do khuôn khổ và giới hạn của đề tài nên tôi chỉ đưa ra một số dạng toán cơbản thường gặp và một số bài tập điển hình cho từng dạng toán

* DẠNG 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa

* DẠNG 2: So sánh 2 số

* DẠNG 3: Thực hiện các phép tính về căn thức bậc hai

* DẠNG 4: Rút gọn rồi tính giá trị của một biểu thức.

* DẠNG 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức.

* DẠNG 6: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ).

3 Tổ chức thực hiện:

TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

 DẠNG 1 : Điều kiện để biểu thức có nghĩa.

 Ví dụ 1 : Tìm điều kiện của x để xác biểu thức sau có nghĩa.

Phan sửa lại word 2003

a) x  ; b) 2 4 x 2 ; c) x2  4x 4

Lời giải:

a) x  có nghĩa khi x-2 02  

b) 4 x 2 có nghĩa khi 4  x2   0 2 2 x2  2 x   2  x 2

c) x2  4x 4= (x  2) 2 có nghĩa với mọi x (

 Ví dụ 2 : (dành cho học sinh khá, giỏi)

Tìm điều kiện của x để y xác địnha) y x2  5x 7 ; b)y x 2 3 2x 5

* Ví dụ 1 : Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa

a) có nghĩa khi x 1 > 0  x > 1

b) có nghĩa khi x2  1 0   x2   1 x  1

 x > 1 và x < -1c) 2 16 16 2 162

 Ví dụ 2 : ( Dành cho học sinh khá giỏi)

Tìm điều kiện của x để y xác định:

x y

có nghĩa khi B>0

1 Trường hợp số nguyên với căn thức

 Ví dụ : So sánh hai số sau: (Không dùng máy tính)

a) 3 và 2 2 ; b) 4 và ; c) 10và 3

Lời giải:

a) Ta có 3 2  (2 2) 2  9 8  (BĐT đúng)

Vậy 3 > 2 2b) Ta có4 2  152  16 15  (BĐT đúng)

Vậy 4 > 15c) Ta có  102  3 2  10 9  (BĐT đúng)

Vậy 10 > 3

2 Trường hợp tổng hoặc hiệu giữa 1 số nguyên với căn thức:

Phương pháp: Có thể chuyển căn thức về riêng một số rồi bình phương hai lần.

  6 2> 22  6 > 4 (BĐT đúng)Vậy: 3 + 2 > 2 + 3

c) Giả sử 7  2  3  5  7  5  3  2

 7  52  5 2



25 35 2 5



13 35

 DẠNG 3: Thực hiện các phép tính về căn thức bậc hai

1 Trường hợp tính tổng, hiệu các căn thức khác nhau.

2 9 2 4 2 4 2 3

Phương pháp: Biến đổi các căn thức thành các căn thức đồng dạng

bằng cách đưa thừa số có căn đúng ra ngoài dấu căn

2 9 2 4 2 4 2

b) B 2 48  4 27  75  12

3 2 3 5 3 3 4 3 4

 3 3



c) C  80  20  5  5 45

5 3 5 5 5 2 5



5 10

9 2

5

5 2 2 5

) 1 10 ( 9

Phương pháp: Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với

lượng liên hợp của mẫu.

3 Trường hợp trong dấu căn là bình phương của một nhị thức.

* Ví dụ : Tính.

a) A  1  32  2  32

7 3 7



C

Lời giảia) A  1  32  2  32   1 3  2  3

3 2 1

3   

 =1 (vì 3  1  0 và 2  3  0)

b) B  2  72  3  72   2 7  3  7

) 7 3 ( 2

 (vì 2  7  0 và 3  7  0)

5 7 3 2



c) C  3  72  2 7  52  3  7  2 7  5

5 7 2 7

a)  2 2  2

1 2 1

2 2 2 2

3 3 2 2 2 3 3 2 2 4 3 4

6 Trường hợp đặc thành tích của các căn thức chứa chữ:

* Ví dụ: Phân tích thành nhân tử (Đặt thành tích)

a) xy  x2  y2 (với xy 0)b) x.y  x x (với x 0 ;y 0)c) ay ax bx by (với a,b,x,y không âm)

Phương pháp: + Biến đổi số thành căn thức

+ Biến đổi thành các căn thức đồng dạng + Đặt nhân tử chung

Phương pháp: + Vận dụng hằng đẳng thức (nếu được) để biến đổi

thành các căn thức đồng dạng + Đặt nhân tử chung

 y a b x a b  y x a b

 DẠNG 4: Rút gọn và tính giá trị của một biểu thức

1 Rút gọn biểu thức có chứa chữ

Phương pháp:

+ Trong quá trình biến đổi biểu thức luôn luôn nhớ với điều kiện nào?

+ Đơn giản tử và mẫu cho ước chung (nếu có)

* Ví dụ : Rút gọn các biểu thức sau

2

x x

A  với x 0

b a ab

b)

2 2

2 2

2

2 2

2 Rút gọn rồi tính số trị của biểu thức

* Ví dụ: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau

Phương pháp: Sau khi rút gọn biểu thức ta thay đổi giá trị của các

biến để tính số trị của biểu thức

2 ( 2 ) ( 2 )

x x

Điều kiện 1 0 1 3

x

x x

 Ví dụ : Giải các phương trình sau:

a) x 1  3  x  2b) 3 x 2  x 2  x2  x   6 1 0

x   x x  x (Ví dụ b và c dành cho học sinh khá, giỏi)

( x  3 2) (1   2  x)  x  4x 3  0 ( 3) 4 1 (2 )

* Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:

c) 8 4 4 2

4 2

2 2

* Bài 11: (Dành cho học sinh khá giỏi)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x  x  x  xb) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

c) 2x 3  5 2  x  3x2  12x 14

* Hướng dẫn:

Câu a) Đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích

Câu b) Đặt ẩn số phụ t  x t(  0) rồi dùng phương pháp bình phương 2

Từ (1) và (2) ta thấy x thoả mãn pt khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trởthành đẳng thức tức là:

2

2x 3  5 2  x  3x  12x 14 2 

(2) trở thành đẳng thức khi: x-2=0 x=2

Thay x=2 vào (1) cũng trở thành đẳng thức Do đó pt có 1 nghiệm x=2

Trên đây là 6 dạng toán về giải các bài tập chứa căn thức thường gặp trongchương trình đại số lớp 9 Mỗi dạng toán tôi mới chọn một số bài toán điển hình

để giới thiệu về cách phân loại và phương pháp giải cho mỗi dạng toán đó đểhọc sinh có thể nhận dạng các bài toán mới thuộc dạng nào, từ đó sẽ có cách giảihợp lý, nhanh gọn và chính xác hơn

III KẾT LUẬN

1 Bài học kinh nghiệm:

1.1 Đối với giáo viên:

- Nhiệt tình, có tinh thần trách nhiệm cao, tâm huyết với nghề dạy học, nhất

là dạy bộ môn toán

- Xây dựng kế hoạch, chương trình phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh giỏi

- Nắm vững kiến thức toán học, nội dung chương trình SGK

- Nắm vững phương pháp giảng dạy bộ môn toán và phương pháp bồi

dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu

1.2 Đối với học sinh:

- Thường xuyên phát động phong trào thi đua học tập trong lớp, trong trường

- Chọn đối tượng phù hợp để phụ đạo và bồi dưỡng

- Hướng dẫn phương pháp học tập ngay trên lớp cho học sinh

- Kiểm tra việc học tập trên lớp, học tập ở nhà của học sinh thông qua giờ dạy, vở ghi bài, vở bài tập, vở nháp,

- Động viên khen thưởng, khuyến khích kịp thời đối với những em tiến bộ

có thành tích trong học tập, nhất là những em học sinh yếu có ý thức vươnlên, những em học sinh giỏi đạt giải cấp thành phố

2 Những điểm còn hạn chế:

- Mỗi dạng toán mới chỉ đưa ra một số bài toán điển hình làm mẫu

- Chưa trình bày được nhiều cách giải khác nhau của mỗi bài toán

- Chưa khai thác hết các dạng toán, mới chỉ làm đại diện ở một số bài toán

3 Kết quả đạt được:

Qua những năm thực tế giảng dạy chương trình toán 9 và bồi dưỡng học sinhgiỏi toán 9 ở trường THCS TRẦN QUANG KHẢI tôi nhận thấy trước đây khichưa áp dụng phương pháp này mỗi lớp tôi dạy có tới 30% đến 40% học sinhyếu môn toán, số lượng học sinh giỏi đạt giải cấp thành phố rất khiêm tốn Từkhi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này với cách làm như trên thì tỉ lệ học sinhyếu giảm rõ rệt và số lượng học sinh giỏi và học sinh đạt giải cấp thành phố tăng

lên, năm sau luôn cao hơn năm trước Hơn thế nữa qua cách làm này, các em

học sinh rất hứng thú và yêu thích môn toán hơn Kết quả cụ thể như sau:

Năm

học

Tổng

số HS (2 lớp 9)

Chất lượng bộ môn Kết quả học

sinh giỏi cấp TP

4 Một số đề xuất, kiến nghị:

Để thực hiện đề tài này có hiệu quả tôi xin kiến nghị những vấn đề sau:

- Nhà trường cần tiến hành khảo sát chất lượng đầu năm để xác định rõ đối

tượng học sinh

- Xây dựng kế hoạch phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh giỏi ngay

từ đầu năm và kể cả thời gian nghỉ hè

- Tăng cường sự phối hợp chặt chẽ giữa gia đình với nhà trường, giữa

GVBM với GVCN để tạo ra một sức mạnh tổng hợp

- Phát động các đợt thi đua học tập trong công tác Đội

- Tổ chức tốt các buổi đố vui để học ( ngoại khóa)

- Tổ chức các câu lạc bộ giúp nhau trong học tập

- Khen thưởng động viên các em học sinh có thành tích trong học tập vào

các buổi chào cờ đầu tuần

- Phát động phong trào thi giải toán qua mạng Internet

5 Lời kết:

Do tính đa dạng muôn màu muôn vẻ của toán học, thật khó lòng tìm ra mộtphương pháp hữu hiệu nhất để làm chìa khóa khai thông mọi tri thức, mọi tiềmnăng vốn có của toán học, nhằm giúp cho con người tiếp cận nó một cách dễdàng hơn

Những phương pháp được trình bày ở trên chỉ là kinh nghiệm chủ quan củabản thân trong quá trình dạy học Do thời lượng có hạn và kinh nghiệm, nănglực của bản thân còn hạn chế nên tôi chỉ gói gọn những bài tập ở dạng cơ bảnmang tính chất giới thiệu nhằm trao đổi với các bạn đồng nghiệp để cùng nhautham khảo Vì vậy kinh nghiệm này chưa thể đáp ứng đầy đủ nhu cầu của ngườiđọc và không thể tránh khỏi những điều sai sót, rất mong được sự cộng tác vàđóng góp ý kiến chân tình quí báu của các bạn đồng nghiệp và các bạn độc giảyêu toán nhằm bổ sung cho đề tài này thêm phong phú và đa dạng hơn về cáchgiải các bài toán chứa căn thức

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hòa Vang, ngày 10/12/2012

Người viết

Nguyễn Đức Toàn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT Tên tài liệu Tác giả

1 SGK đại số 9 Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)

Tôn Thân (Chủ biên) và nhóm tácgiả

2 SGV đại số 9 Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên)

Tôn Thân (Chủ biên)Phạm Gia Đức

Trương Công ThànhNguyễn Duy ThuậnNguyễn Huy Đoàn

3 Bài tập toán 9 Tôn Thân ( Chủ biên)

Phạm Gia ĐứcTrương Công ThànhNguyễn Duy Thuận

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1 Cơ sở lý luận: 1

2 Cơ sở thực tiễn 1

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 2

1.1 Thực trạng: 2

1.2 Các số liệu của thực trạng: 3

2 Quá trình thực hiện đề tài: 3

2.1 Giải pháp thực hiện: 3

2.2 Kiến thức cần truyền đạt: 3

3 Tổ chức thực hiện: 4

TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 4

 DẠNG 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa 4

 DẠNG 2: So sánh hai số 6

 DẠNG 3: Thực hiện các phép tính về căn thức bậc hai 7

 DẠNG 4: Rút gọn và tính giá trị của một biểu thức 11

 DẠNG 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức 13

 DẠNG 6: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ) 14

III KẾT LUẬN 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

MỤC LỤC 24