Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ cắt d1, d2 và trục Ox lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm AC.. Tìm tọa độ điểm A và diện tích tam giác ABC... 2 Phương trỡnh h
Trang 1Së GD&§T B¾c Ninh
- Kú thi: Thö §¹i häc lÇn 2 - Líp 12M«n thi: TO¸N 12
(Thêi gian lµm bµi: 150 phót)
I/ PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH
CâuI:(2đ) Cho hàm số:y= x4 − (m2 + 10)x2 + 9 (C m )
1.Khảo sát hàm số ứng với m = 0
2)Tìm m để đồ thị (Cm )của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm pbiệt x x x x thỏa : 1 , 2 , 3 , 4
1 2 3 4 8
x + x + x + x = .
CâuII : (2đ) 1.Giải phương trình: 1
2.Giải bất phương trình sau : 2 3
2x + 5x− ≥ 1 7 x − 1
Câu III : (1đ)
Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường y= |x2 − 4 |x và y= 2x.
Câu IV : (1đ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA=x, tất cả các cạnh còn lại là 1 Tìm x để thể tích
hình chóp S.ABCD là 1
4
Câu V : (1điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
ab+ bc+ ca
biết a; b; c là ba số dương thoả : abc =1
PHẦN TỰ CHỌN: (Chỉ được chọn phần A hoặc phần B)
PHẦN A: Theo chương trình chuẩn
CÂUVI a (2đ) 1 Trong không gian cho hai đường thẳng (d1 ): 7 4 9
x− = y− = z−
−
và (d 2 ): 3 1 1
x− = y− = z−
− Viết phương trình tham số đường thẳng (∆) cắt (d1), (d2) và trục
Ox lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm AC
2 V iết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần
lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật là 16
CÂUVIIa.(1đ) Cho sè phøc z tho¶ m·n
1 2
z i z z
=
+ =
Tìm số phức liên hợp của số phức z
PHẦN B: Theo chương trình nâng cao
CÂUVI b.(2đ) 1 Trong không gian cho tam giác ABC với B(4; 3; 2), C(4; 5; −3)
Đường thẳng (d): 2 1 1
x− = y− = z−
− là phân giác trong góc A của tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A và diện tích tam giác ABC.
2 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 5), B(5; 1) và tiếp xúc với đường
tròn (C): x 2 + y 2 = 2.
CÂUVIIb.(1đ) Giải bất phương trình:
3
+
≤ +
Trang 2HD CHẤM TOÁN 12
CõuI
2đ
1) Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số với m= 0
y = x4 – 10x2 + 9 TXD:R + tớnh y’ và giúi hạn +bảng biến thiên đúng +cực trị ,đb,nb
+xỏc định đỳng cỏc điểm giao ox,oy tớnh đối xứng và vẽ đỳng
2) Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox
4 ( 2 10) 2 9 0
x − m + x + = (1) Đặt t=x t2( 0) ≥
Ptrỡnh (1)trở thành:t2− (m2+ 10)t+ = 9 0 (2)
ĐKđểcú 4 nghiệm :
2
9 0 10
P
S m
∆ = + − > ∀
= >
= +
Gs hai nghi ệmcủa (2) 0<t1<t2
Vỡ hs đó cho là hs chẵn và theo đề bài ta cú
1 2 4 1 2 2 1 2 16
t + t = ⇔ + +t t t t = (*) Áp dụng Viet
2
1 2 b 10 , 1 2 c 9
−
Ta cú pt(*) trở thành : m2 + 10 = 10 m = 0 KL
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25 CõuII
Y1(1đ)
1
1
3 2 osx 2cosc = 2x− 4 2cos 2 x− 3 2 cosx− = 4 0
⇔
cos 2 2 (loai)
2 cos
2
x
x
4
x= ± π + kπ
KL:PTđó cho cú nghiệm 3 2 ,
4
x= ± π + k k Zπ ∈
0.25 0.25 0.25
0.25 (1đ) đk: x≥ 1
dat t
0.25
0.25
Trang 3PT(1) trỏ thành
2
2
2
2
3
1
9
t
t
≥
− + ≥ ⇔
≤
⇒ ≤ − ≤ + + ⇔ ≤ ≤ −
KL:bất phương trình có nghiệm là: 4 6
x x
≥ +
≤ ≤ −
0.25
0.25
CâuIII
(1đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
6
x
− = − − = =
vẽ hình đúng và viết được diện tích cần tính là S:
4 20 28 52
( )
dvdt KL
0.25
0.25
0.25 0.25 CâuIV
1đ
j x 1
x
x
A
C
B
D
gọi H l à ch ân đ ư ờng cao h ạ t ừ S xu ống (ABCD) H thuộc AC
+)Chứng minh đươc tam giác ASC vuông tai S và tính đ ựoc SH=
2 ( 1)
x
x + +)tính đựoc th ể tích V=1 2
3
6x −x
3
V = ⇔ x −x = ⇔ x= 6
2
0.25
0.25
0.25 0.25
Trang 41đ
Vìa,b,c d ưong v à abc = 1 ==> tồn tại x, y, z dương thoả
==> S = z x+y +x y+z + y z+x
Đặt: X = y + z ; Y = z + x; Z = x + y => x + y + z = 1
2(X + Y + Z) ==> x =
2
Y Z X+ −
; y =
2
X Z Y+ −
; z =
2
Y X Z+ −
Ta có: z x+y + x y+z + y z x+ =
2
X Z Y Y
+ −
+
2
Y X Z Z
+ −
+
2
Y Z X X
+ −
2
+ + + + + −
3 2
≥
Vậy MinS = 3
2 khi a = b = c = 1
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa
Ý1
(1đ)
Lấy A(7 + a; 4 + 2a; 9 −a) ∈(d1), B(3−7b; 1+ 2b; 1 + 3b)∈ (d2),
C(c; 0; 0)
B là trung điểm AC ⇔
4 2 2(1 2 )
9 2(1 3 )
+ = +
− = +
⇔
1 1 16
a b c
=
=
= −
=> A(8; 6; 8), B(−4; 3; 4) => BAuuur= (12;3; 4)
=> Đường thẳng (∆) có phương trình ttham số là:
4 12
3 3
4 4
= − +
= +
= +
0.25
0.25 0.25
0.25
Ý2
1đ
(1 điểm) Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật.
Gọi pt cạnh AB: a x( − + 4) b y( − = 5) 0 (a2 +b2 > 0)
Suy ra pt cạnh BC: b x( − − 6) a y( − = 5) 0.
Diện tích hình chữ nhật là: d P AB d Q BC( ; ) ( ; ) a2 3b2 . 4b2 4a2 16
2 2
(a 3 )b a b) 4(a b )
1,3, 11
3
a
= −
⇔ − ⇔
= − =
Vậy pt AB là: x y− + = 1 0 hoặc x− 3y+ = 11 0
0.25
0.25
0.25
0.25 Câu
VIIa
1đ
gäi z=a+bi theo gi¶ thiÕt cã hÖ ( ) ( )
2 2
2 2
1
1
a b
ab
+ =
=
⇔
0.25-0.25
Trang 5tính đúng z
−
−
=
+
=
⇔
i z
i z
2
2 2 2 2
2 2 2
⇔
= − +
0.25
0.25
0.25 Phần B
CâuVIb
1đ
Ta tìm điểm B' đối xứng với B qua (d) Lấy H(2 + 3t; 1 + 4t; 1 − t) ∈
(d)
=> BHuuur= (3 t − 2 ; 4t −2 ;−t−1)
Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương vuur2 = (3; 4; 1) −
BH ⊥(d) ⇔ BH vuuur r = 0 ⇔ 9 t − 6 + 16t −8 + t +1 = 0
2
t= => Hình chiếu của B lên (d) là 7;3;1
2 2
=> điểm B'(3; 3; −1) đối xứng với B qua (d)
Điểm B' nằm trên đường thẳng AC.B Cuuuur' = (1; 2; 2) −
Đường thẳng AC có phương trình tham số
4
5 2
3 2
= +
= +
= − −
thay vào phương trình (d) ta có 2 4 2 4 2
+ = + = − −
− ⇔ t = −2
=> Tọa độ điểm A là (2; 1; 1)
(2; 2;1)
AB=
uuur
, uuurAC= (2; 4; 4) − ,
2 1 1 2 2 2
4 4 4 2 2 4
uuur uuur
= (−12; 10; 4)
S = uuur uuurAB AC = + + = (đvdt
0.25
0.25
0.25
0.25 Ý2
1đ
Đường tròn (c) có tâm O(0; 0) và có bán kính r = 2
Đường tròn (I) đi qua A và B có tâm I(a; b) ta có AI = BI
⇔ (a −1)2 + (b − 5)2 = (a −5)2 + (b − 1)2 ⇔ a = b
Khi đó(I) có bán kính R = (a− 1) 2 + − (a 5) 2
(I) và (c) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi OI R r
OI R r
= +
( Vì A, B nằm ngoài (c) )
* OI = R + r ⇔ a2 +a2 = (a− 1) 2 + − (a 5) 2 + 2
0.25
0.25
Trang 6⇔ 12a− 28 2 2 2 = a2 − 12a+ 26 ⇔
2
7 3
a
≥
⇔ 7 / 3
3 hoac 3/ 2
a
≥
⇔ a = 3 khi đó R = 8 Đường tròn (I) có phương trình:
( ) (2 )2
x− + −y =
* OI = R − r ⇔ a2 +a2 + 2 = (a− 1) 2 + − (a 5) 2
⇔ 2a2 + 4 | | 2 2a + = a2 − 12a+ 26 ⇔ 4|a| +12a = 24 ⇔ 3
2
a= Khi đó
AI = + − =
Đường tròn (I) có phương trình:
− + − =
KL:
0.25
0.25
CâuVII
b
1đ
Điều kiện: x > 0 và x ≠1
Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2
log log (1 2 ) log (1 2 ) log
+
≤
2
log log (1 2 )
x t
x
=
+ ta có
1
t t
≤ ⇔ t2 1 0
t− ≤ ⇔ t ≤ −1 hoặc 0 < t ≤ 1
* t ≤ −1 ⇔ 2
2
log
1 log (1 2 )
x
x ≤ − + ⇔ log 2x≤ − log (1 2 ) 2 + x
(vì 1 + 2x > 1)
1 2
x
x
≤ + ⇔ 2x2 + x −1 ≤ 0
1 1
2
x
− ≤ ≤ So sánh ĐK ta có :
1 0
2
x
< ≤
* 0 < t ≤ 1 ⇔ 2
2
log
log (1 2 )
x x
+ ⇔ 0 log < 2x≤ log (1 2 ) 2 + x
⇔ 1 < x ≤ 1 + 2x⇔ x > 1 Tập nghiệm của bất phương trình là: 0;1 (1; )
2
0.25
0.25
0.25
0.25
Hết
Ghi chú : Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa nếu đúng.
Đáp án nếu có gì sai mong bạn đọc sửa cùng!