ôn thi tốt nghiệp toán lớp 12

Phương pháp giải: Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.. Vậy I= 3 3   chú ý: v là một nguyên hàm của cosx V

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÂU HỎI PHỤ VD1 : Cho hµm sè y = - x3 + 3x2 - 2

a) Kh¶o s¸t hµm sè

t¹i ®iÓm y’’=0

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: A A

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = 9x 1

4

2 y

Số nghiệm của phương trình là số giao

điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m

dựa vào đồ thị ta có:

Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm

Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm

Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm

Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm

Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm

4 y' = - x + 4x; y' = 0

25 2

O I

36 3

a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0

a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1

b) Xỏc định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = 1

c) Dựa vào đồ thị (C), với giỏ trị nào của k thỡ phương trỡnh: x4 – 8x2 – k = 0 cú 4 nghiệm phõn biệt ĐS: -14 < k < 0

b) Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = 2x + 2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm trên

y’

-y +∞

-1 -1

3 ( 2; 2), ( ;5)

2

M − − M

- Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M1 cã hÖ sè gãc lµ: 1

1 '( 2)

3

k = y − = −Nªn cã ph¬ng tr×nh lµ: 2 1( 2) 1 8

y+ = − x+ ⇔ = −y x−

- Ph¬ng tr×nh tiÕp cña (C) t¹i M2 cã hÖ sè gãc lµ: 2

3 '( ) 12 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

HD: Chứng minh tử thức của y’ > 0 suy ra y’ > 0(đpcm)

c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ) ĐS: m = 2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1; 1

4) ĐS: y =

x

8 −8VD15: Cho hàm số (Cm): y = (m 1)x 2m 1

x 1

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0

c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3 ; -3) ĐS: m = -4

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung

HD: Giao điểm với trục tung ⇒x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – 1

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y= f x( )trên D

A Hai cách thường dùng

Cách 1: - Lập bảng biến thiên của hàm số f x( )trên D

- Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN

Cách 2: Nếu f x( )liên tục trên D = [a;b]

- Tìm các điểmx x1 , , , 2 … x ntrên khoảng (a;b) mà tại đó f x, ( ) bằng 0 hoặc f x, ( )không tồn tại

−∞ − .

5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f x( ) = 9 3 − x trên đoạn [-2;2].

2 6

(ĐS: min ( ) 1

3 2 2

x

x

π π π

e

f x

e e

= + trên đoạn [ ln 2 ; ln 4] (ĐS:

[ln 2;ln 4] [ln 2;ln 4]

2 min ( ) (ln 2) , max ( ) (ln 4)

− trên đoạn

1 1;

+

= + trên đoạn

5; 22

− − 

Chuyªn §Ò 2: Hµm Sè Mò vµ L«garit

1 Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: aM = aN ⇔M = N

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2 3 2 1

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :

2 3 1 1

3 3

x − +x

 ÷

 HD:

2

2

3 1

( 3 1) 1 1

Ví dụ 3: Giải phương trình sau :2x+ 1 + 2x− 2 = 36

x x x 4 8.2 2

Vậy phương trình có nghiệm: x= 1,x= 2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau :5 2x 2x− 1 = 50

Vậy phương trình có nghiệm: x= log 100 20

2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 3 2x+8 − 4.3x+5 + 27 0 =HD: 3 3 8 2x− 4.3 3 5 x+ 27 0 =

6561 972 27 0

1 27

Vậy phương trình có nghiệm: x= − 2,x= − 3

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25x− 2.5x− = 15 0

25x− 2.5x− = ⇔ 15 0 5x − 2.5x− = 15 0 (*)Đặt t= 5x > 0

Vậy phương trình có nghiệm: x= 1

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 3x+ 2 − 3 2 −x = 24

t t

Vậy phương trình có nghiệm: x= 1

3 Phương pháp: Lấy logarit hai vế

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 8 5 2 1 1

8

x x − =HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được

Vậy phương trình có nghiệm: x= − 1,x= − 1 log 8 5

Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 2

log 3 log 2

b b

Phương trình vô số nghiệm

Phương trình : a f x( ) > ⇔b ( ) log( ) loga

1

a a

>

< < 0

0

b b

Phương trình vô nghiệm

Phương trình : a f x( ) < ⇔b ( ) log( ) loga

a a

; 2

S = −∞ + 

Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −∞ +∞( ; )

2 Phương pháp: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:

a f x( ) g x( )

a >a ⇔ f x f x( )( )><g x g x( )( )

khi khi 1

a a

3 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ta có:(1) ⇔ −t2 26t+ 25 0 < ⇔ < < 1 t 25

⇔ < 1 5x< 25 ⇔ 5 0 < 5x< 5 2 ⇔ < < 0 x 2

Vậy bất phương trình có nghiệm: S =( )0;2

1 Phương pháp : Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số:

loga M = loga N ⇔M =N

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : log 2x+ log ( 2 x+ = 3) log 4 2

HD: log 2 x+ log ( 2 x+ = 3) log 4 2 (1)

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : 2

2 Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2

t t

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình cơ bản:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log ( 2 x− > 2) 3

Điều kiện x− > ⇔ > 2 0 x 2

3 2

log (x− > ⇔ − > 2) 3 x 2 2 ⇔ >x 10

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S=(10; +∞)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1 2

2 log (x + 7 ) 3x >

2

97 7 2 0

>

< < , Điều kiện ( ) 0, ( ) 0

f x > g x >

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2 1

2 log (x+ + 5) log (3 − ≥x) 0

x

x x

+ >

 ⇔ − < <

 − >



+ 2 1 2 2

2 log (x+ + 5) log (3 − ≥ ⇔x) 0 log (x+ − 5) log (3 − ≥x) 0

> −

 + >

HD: + Điều kiện: x> 0

+ Đặt : t= log 0,5 x

+ Lúc đó: 2

0,5 0,5 log x+ log x≤ 2 2 2

0,5

2

x x

x

x x

1

;4 2

S  

=   

Vớ dụ 2: Giải bất phương trỡnh: 2

2

2 log

+ Lỳc đú: 2

2

2 log

1

2

x x

Chuyên đề 3: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân

Vớ du 1: Tỡm nguyeõn haứm caực haứm soỏ sau:

Ta có F(x)= x – 13 cos3x + C Do F(π6) = 0 ⇔

6

π

- 13 cosπ2 + C = 0 ⇔ C = -π6 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – 13 cos3x -π6

VÝ dơ 3: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè

2

2 1 )

1 )

3 2

3 2 )

4 4

x x x

x x

− +

− + +

3 1 3 )

1 2

x

x x

x

−

− + + +

x

c x e dx x

d dx x

+

∫

∫

C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝnh tÝch ph©n-§ỉi biÕn sè

Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả

Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:

x− dx

1 2

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:

Phương pháp giải:

b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u (t) dt ′

VËy

1

2 0

∫ bằng phương pháp đổi biến

Phương pháp giải:

b1: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ '( ) dxx

b2: Đổi cận:

x = a ⇒t =ϕ(a) ; x = b ⇒t = ϕ(b)

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

Ví dụ : Tính tích phân sau :

1 2 0

2 1 1

∫ b/

1 2 0

3 .

J =∫ x + x dx

Giải:

a/ Đặt t = x2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx

Đổi cận: x = 0 ⇒t =1 ; x = 1 ⇒t = 3 Vậy I=

3 3

  (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )

Vậy I=x cosx 2

2/ Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:

a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:

Phương pháp giải:

Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/

2 1

b) Dạng bậc1 trên bậc 2:

Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính

*Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ: Tính các tích phân : ( )

2 2 1

GiảiĐặt 2( )

* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:

Ví dụ: Tính các tích phân :

1 2 0

5 (2ln x-2 - )

x-2 = 5 ln4

2−

*Trường hợp mẫu số vô nghiệm:

Ví dụ: Tính các tích phân :I=

0 2 1

5 (x 1) 3dx

Dạng1:∫b ( ,n + )

a

R x ax b dx Đặt t=n ax b+

Ví dụ: Tính tích phân I =

1 3 0

1 xdx−

∫

GiảiĐặt t =31 x− ⇔ t3= 1-x ⇔ x= 1-t3 ⇒ dx= -3t2dt

4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp

Dạng:βsin cosax bxdx, sin sinβ ax bxdx, cos cosβ ax bxdx

Phương pháp giải:

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải

Dạng: βsinn xdx; cosβ n xdx

Dạng: βR(sin ).cosx xdx

α∫ Đặc biệt: βsin 2n x.cos 2 1k xdx

α

+

∫

Phương pháp giải: Đặt t =sinx

Dạng: βR(cos ).sinx xdx

α∫ Đặc biệt: βsin 2n 1x.cos 2k xdx

α

+

∫

Phương pháp giải: Đặt t =cosx

Các trường hợp còn lại đặt x=tgt

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/ 4

0 sin3 cos x x dx

π

∫

Giải

a/ 4

0 sin3 cos x x dx

1(sin 4 s 2 ) 1 cos4( cos2 ) 1

cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx

đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= π2 ⇒ u=1 Vậy: I=∫1 − 2 = − 3 1 =

0 0

cos sin cos x x x dx (1 sin )sin cos x x x dx

đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= π2 ⇒ u=1 VËy: J=∫1 − 2 2 =∫1 2 − 4 = 3 − 5 1 =

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1 ∈(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2π] và Ox

sinx dx sinxdx sinxdx = cosxπ0 + cosxπ2π = 4

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2

GiảiPthđgđ : x2 –2 x = x2 + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2

Ta có (P): y2 = 4 x ⇔ x =y42 và (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x=42−y

Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: y42 =4− ⇔2y y y=24

 = −

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2 2 2 2 2 3 2

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục

Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2

Thể tích khối cầu là : V= ( 2 2)

R R

Bài tập đề nghị:

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y= x+1

x và các đường thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5

4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x

5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:

C©u 1: Thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n sau:

z =3 3 1 3

+ − +C©u 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

+

= −2/ Giải phương tr×nh bậc 2

Cho phương tr×nh ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac

Nếu ∆ = 0 th× phương tr×nh cã nghiệm oesp x1 x2 b

2a

= = − (nghiệm thực)Nếu ∆ > 0 th× phương tr×nh cã hai nghiệm thực: x b

Phương tr×nh cã hai nghiệm : x1= − 2 i 3 , x2= + 2 i 3

VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

HD: * Đáy là ∆BCD đều cạnh a H là trọng tâm của đáy

ĐS: V = 3 2

12

a

Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a

HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a H là giao điểm của 2 đường chéo

* (SAB) ∩(ABCD) = AB; * SH ⊂(SAB)

* SH ⊥AB ( là đường cao của ∆SAB đều)

Suy ra: SH ⊥(ABCD) (đpcm)

3

a 36Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy

một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó

HD: * Hạ SH ⊥(ABC) và kẻ HM ⊥AB, HN⊥BC, HP ⊥AC

* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là ϕ = SMH∧ = 600

* Ta có: Các ∆vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh

HD: a) Hạ SH ⊥(ABC) ⇒H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a

Gọi E là trung điểm của BC

* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là ϕ = ∧

* Tính SH: Trong ∆VSAH tại H, ta có: sin600 = SH

SA ⇒SH = SA.sin600 = a Suy ra:

C

B A

S

Bài 6: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng ( α )qua A, B và trung điểm M của

SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

1 2

O M

1 4

1 2

1 2

Do đó : 53

.

=

ABCD ABMN

SABMN

V V

III, Bµi tËp vÒ nhµ

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a, BC a= 3 và SA= 3a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

(TN-THPT 2008 lần 2)Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết BAC· = 120 0, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a (TN-THPT

– 2009)

Buổi 18:Thể tích khối lăng trụ

I, Mục tiêu:

- Nắm đợc CT tính thể tích khối lăng trụ V = B.h ( B là diện tớch của đỏy )

-Biết cách tính thể tích khối lăng trụ, biết phân chia một khối đa diện

II, Luyện tập

Bài 1: Cho hỡnh lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a

a) Tớnh thể tớch của khối lăng trụ

( khối lăng trụ đứng cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AC = a, C∧ = 600, đường chộo BC’

của mặt bờn (BCC’B’) hợp với mặt bờn (ACC’A’) một gúc 300

b) VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = S CCABC ’ * Tớnh: S = 1ABC

C

B A

60 °

30 °

C' B'

A'

C B

A

* A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a

4a

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và

AA’ = 3a

Tính thể tích của lăng trụ

HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a

* Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = S AAABC ’

Bài 5: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là α Tính thể tích của lăng trụ.

α

α 2 ' 2 ' cos cos

'.

'.

2 ' ' '

) cos 1 ( 2

⇔ x h .Vậy V = x2.h =

α

α cos

) cos 1 (

3 −

h

2a 3a

a

C' B'

A'

C B

A

a

60 °

N H

C'

B' A'

C

B A

Bài 6: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải

30 I

C'

B' A'

C

B

A

2

3 2

I

A

BC AI

x x

AI AI

2 30 cos : '

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 ⇒x= 2.Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

III, Bµi tËp vÒ nhµ

Bài 1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB' =a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0; tam giác ABC vuông tại C và BAC· = 60 0 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Bài 2 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC a= ,

1 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2 π R l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)

2 Thể tích khối trụ: V = π R 2 h ( h : độ dài đường cao )