Bài tập ôn thi tốt nghiệp lớp 12

b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 3.. Định m để hàm số : a Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó... Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều... Phạm V

Trang 1

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH

I ĐẠO HÀM 1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =

1x

|x

|

 tại x0 = 0

2) Cho hàm số y = f(x) = x33x2+1, có đồ thị (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x)  0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Cho (C) : y = f(x) = x4x2

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm có hoành độ bằng 2

2 Tại điểm có tung độ bằng 3

3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

4 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10

24

1

4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x22x3 đi qua M1(5;3)

5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3;1)

6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x2+

1x

4

 đi qua A(0;3)

7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=

1x

x x

2 3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

11) Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 



 0 x nếu x

0 x nếu x

2 3

tại điểm x0 = 012) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :

d) y = cos x e) y = ln (x2 + x – 2 )13) Chứng minh rằng :

1

 ta có xy’ + 1 = ey14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:

a) Cho hàm số y =

xcos.xsin1

xcosx

4x

3x





Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y1)y’’

e) Cho y = cotg x cotgx x 3 7

x cos

2 2

4('f3)4

16) Cho f(x) = 2

2

e

x  Chứng minh rằng : )

2

1(f3)2

31

x3x2+ 

Trang 2

19) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = cos4x

41

.22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782

II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5

3x





x1

4x4

g) y = f(x) = 3 x2(x 5)

i)

1x

3x3xf(x)

k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2]

25) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số :

a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó Kq:1  m  0

b) Nghịch biến trên khoảng (1;0) Kq: m 

26) Định mZ để hàm số y = f(x) =

mx

1mx

2x6

Trang 3

29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng

khoảng xác định) của nó :

a) y = x33x2+3x+2 b)

1x

1xx

1xy

a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó

b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+)

31) Tìm m để hàm số :

mx

2mmx2x

1 m x ) m 1 ( x

II CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:

a) y = x3 b) y = 3x + x

3

+ 5 c) y = x.ex d) y = x

xln

.36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:

a) y = sin2x với x[0;  ] b) y = x2lnx c) y =

x

ex.37) Xác định tham số m để hàm số y=x33mx2+(m21)x+2 đạt cực đại tại x=2

( Đề thi TNTHPT 20042005) Kết quả : m=11

38) Định m để hàm số y = f(x) = x33x2+3mx+3m+4

b.Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1

c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)

Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:

Trang 4

a ( f

0 )

a ( ' '

f

Kết quả : m=0

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O

Kq : d:y = 2(m1)x+4m+4 và m= 1

39) Định m để hàm số y = f(x) =

x1

mx

x2







a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3

b.Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4

c.Đạt cực tiểu khi x = 1 Kết quả : m = 7

40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =

m x

1 m x ) 1 m ( m

x3mx2+(m+2)x1 Xác định m để hàm số:

b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m > 2

c) Có cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m <2 V m > 2

43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4+2mx22m+1

mx

x2





có hai điểm cực trị nằm

4

1

45) Định m để hàm số y = f(x) = x36x2+3(m+2)xm6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị

17

 < m < 246) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x33(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn

đạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với x2x1 là một hằng số

47) Tìm cực trị của các hàm số :

48) Định m để hàm số có cực trị : a) y x3 x2 mx 2

2mmxx

51) Chứng minh rằng : ex  x+1 với x|R

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x22x+3 Kq:MinR f(x) = f(1) = 2

53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x22x+3 trên [0;3]

Kq: Min[0;3] f(x)=f(1)=2 và

] 3

; 0 [

Maxf(x)=f(3)=6.54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) =

1x

4x

tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m56) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 x x

x

2 4 2



 Kết quả : MaxR y = f(1) =3

1

(Chọn vào lớp 10 chuyên Tỉnh năm học 03-04- vòng 1)

57) Định m để hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghịch biến trên

Trang 5

58) Tìm trên (C): y =

2x

3

x2



điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai

2

3

)

59) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx

60) Tìm GTLN: y=x2+2x+3 Kết quả: MaxR y=f(1)= 461) Tìm GTNN y = x – 5 +

x

1

với x > 0 Kết quả: Min(0; )

 y=f(1)= 3 62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4  x2

Kết quả: Maxy ( 2) 2 2 5

] 2

; 2

7 ) 2 ( y Min

] 2

; 2



63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x21 trên đoạn  ;1

21

Kết quả: Max y ( 1 ) 4

] 1

; 2

1 [



] 1

; 2 1

2xcos

1xsin22y

1 x x

3 x x

2xx

1x

cos x cos x

 1Hướng dẫn:y’=0  2sin2 x22sin2 =0  x=1 V x=1 Tiệm cận ngang: y=1Dựa vào bảng biến thiên kết luận 1 y  1

67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :

 xác định trên [0; +), dùng đạo hàm đưa đến y’=0

Trang 6

 t=3 [0; + ) V t=1 [0; + )  hàm số y=g(t) đồng biến trên

68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx sin x

b) Không có điểm uốn Kết quả: m  0

72) Chứng minh rằng đồ thị (C):

1xx

1x

Hướng dẫn và kết quả:

(C) có 3 điểm uốn A(2;1), B(

2xx

yyk

A C

3

2

x +3

1.73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x23x+2

Kết quả: Lõm trên các khoảng (;1) và (2; +) Lồi trên khoảng (1;2)

Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0)74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a0) cắt Ox tại 3 điểmcách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox

b) Tìm m để (Cm):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng)

a) Cho y = 0 ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng 2x2= x1+x3  3x2 = x1+x2+x3 = ab  x2 =  3ba Vậy điểm uốn I(x2;0)Ox

Trang 7

b) Tìm I(m;m2m)

Điều kiện cần : IOx  m2m = 0  m = 0 V m = 1

Điều kiện đủ : Chọn m = 1

75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :

2x

4xx

1x

a) (Cm) : y=x33x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn

b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;2) làm điểm uốn

c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m2

78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33x29x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có

hoành độ lập thành cấp số cộng Kết quả : m = 11.

79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) :

y=x33x29x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC

Hướng dẫn và kết quả :

 Lập phương trình hoành độ giao điểm :

ax+b = x33x29x+1 f(x) = x33x2(a+9)x+1b = 0.(1)

 Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là

I(1;ab10)Ox  ab10 = 0  a+b = 10

 Điều kiện đủ : a+b = 10  f(x) = (x1).g(x) = 0 với

0 b 2

g

 b<2 Kết luận : 

10 b

a

80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y=

1x

1

81) Tìm m để (Cm):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m có điểm uốn :

a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x Kết quả : m = 0 V m = 2

b) Đối xứng với M(3;6) qua gốc tọa độ O Kết quả : m= 3

c) Đối xứng với N(5;20) qua Ox Kết quả : m= 5

d) Đối xứng với P(7;42) qua Oy Kết quả : m= 7

V TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :a) y =

2 x x

1 x

2 2

1x

x2





Kết qua û: x = 2 và y = x

83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :a) y = 1+ x2

b) y =

x

1x

m m x 1 m x

a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm)

b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2)

87)Tìm trên đồ thị (C):y =

1x

2x



 điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

88) Lấy một điểm bất kỳ M(C):y = f(x) =

2x

1x3

x2





Chứng minh rằng tích các

khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi Kq: d1.d2=

2

9

VI KHẢO SÁT HÀM SỐ89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = x3-3x+1 b) y = 3x2-x3 c) y = x3+3x4 d) y = (1-x)3e) y =

2

1x2



g) y=2x2x4-1 h) y=x4-1i) y =

1x





j) y =

2xx



Trang 8

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH

k) y =

1x

x2

2x

41x

) 2 x

12x





VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:

a) (C): y =

2x

3x

3m2

4

1

x+3 và tiếpxúc với đồ thị (C) hàm số y= x3+3x24x+2

93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi quagốc toạ độ O

94) Dùng đồ thị (C): y = x33x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x33x2  9x+1m = 0

95) Cho parabol (P): y=x22x+2 và đường thẳng d: y=2x+m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P)

c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tập hợp trung điểm M của đoạnAB

96) Cho hàm số

1x

1xy





 , có đồ thi (H)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

b) Cho đường thẳng d: y= 2x+m Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N Tìm tập hợp trung điểm I của MN

97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x33x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng

98) Cho hàm số y = x44x32x2+12x1

Trang 9

a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng

b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox

a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được

nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0 Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng

của (C)

b) Cho Y= 0, tìm được X= 4  10  y=0 và x =1 4  10

99) Chứng minh rằng (C): y =

1x

3x





có hai trục đối xứng

Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(1;1) Suy luận có hai đường phân giác

y=x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C) Chứng

minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C)

100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y =

2x

101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x33x2+2

b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 33x2 +2 Từ đó biện luận theo

m số nghiệm của phương trình: | x| 33x2 +1  m = 0

102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m21 (1) luôn tiếp xúc với một đường

thẳng cố định Xác định phương trình đường thẳng đó

Lời giải 1:

1 Dự đoán đường thẳng cố định:

Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x1y=0, phương trình này có

= (x)21.(x2+x1y)=0  x+1+y=0  y= x1 là đường thẳng cố định

Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=x2x+1+y (2)

Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0  m=x, thay trở lại (2):y=x1 là đường

thẳng cố định

2 Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x1 là:

x2+(2m+1)x+m21=x1  x2+2mx+m2=0

 (x+m)2=0  x=m (nghiệm kép)Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x1

Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau  phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép”

Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc

Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:

x2+(2m+1)x+m21= ax+b x2+(2m+1a) x+m2b1=0 có nghiệm kép với  m

  =(2m+1a) 24.1(m2b1)=0 với  m4(a1)m+(a1)2+4b+4=0 với  m

1 a

Vậy d:y=x1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc

103) Chứng tỏ rằng (Cm): y=

m x

m m x ) 1 m 3

1 Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:

m2+(y13x)m+(y1)x=0 (2), đặt t=y1 ta có phương trình: m2+(t3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có =0  (t3x)24tx=0  t210xt+9x2=0 t=9xV t=x

Thay t=y1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm)

2 Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải)

 d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

1 x 9 m

x

m m x ) 1 m 3 (

2 2

2

 (3x+m)2=0  x= m3Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x=  m3 (m  0)

 Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m  0)

104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx33(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định

105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2m luôn tiếp xúc với một parabol cố định.Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y=

4

1x2

3x4

1 2





cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=12m

Trang 10

VIII.TÍCH PHÂN

106) Cho f(x)= 3

2

)1x(

3xx

1x(

B)

1x(

3 x

2xx

111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) y=

x

1

x b) y=2

2

xsin2

)13

x(x

+Cxsinx+C

c) y=

xcos.xsin

1

2 2

d) y=

xsinxcos

x2cos



tgxcotgx+Csinx+cosx+C

 +x2x+4113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx

Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta có:

1x

B2x

A2x

1x)

2x



+C115) Tính các tích phân:

Trang 11

1sin3x+C

d) x.ln1 xdx

e)

 e2cos x3

.sinxdxf) sindxx

l n l n x+C

3 x cos 2

e2

+C

x g cot 2 3

3

dx x sin

x sin 1

g)



 2 0

2 x cos xdx sin

3

153

11 

2

22

31

2ln3

ln 2

x cos 3 1

x sin

2 0





h)



 2

6 2

3

dx x sin

x cos

3

2ln2

21

ln( 3+1)0

d)

 4 0

tgxdx

2 ln

0 x

x

3 e

dx e

f)



 2 0

3 x dx cos

ln45

32

x cos x sin

) 1 x 2 (

k)

e 1

2

dx x

x ln

31

Trang 12

118) Chứng minh rằng:

a)

2 x sin 2 3

dx 4

4 3

x

xe

 

1

ln 1

c) 3 3

2 0

sin

cos

xdx x

e)

2

4 4

e dx e

x sin

21

)122(3

2



21

12

8

3 

34

43

)122(3

1



33



) 2 1 e (

43

120) Tính các tích phân:

Trang 13

6



x=sint Kq:16

)32ln(

e2



11

4



51

xdx

b)20(x 1) cosxdx





2ln

4



Trang 14

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH





e

2

0

dx ) gx (cot f dx ) tgx

dx ) x (sin f dx

) x (sin

x sin x

Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t Lần 2, để tính 



 2

dx ) x (sin

2

 +s vàkết quả bài 118a) Tính 





dx x cos 1

x sin x

x sin

Tiêu đề	Bài Tập Ôn Thi Tốt Nghiệp Lớp 12
Tác giả	Phạm Văn Luật
Trường học	THPT Đốc Binh Kiều
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Giáo trình

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,43 MB