[r]
Trang 1Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 6 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu I(2 điểm) :
1- Tính nhanh: A =
15
7 9
4 11
2 15
8 9
2- So sánh 2 phân số :
20082008
20072007
và
08 2008200820
07 2007200720
3- Rút gọn phân số A=
180 71 530
53 52 71
mà không cần thực hiện phép tính ở tử Câu II( 3 điểm)
1-Tìm x ,y Z :
a-
3
4 3
4
y
x
với x – y =5 b- (x + 1 ) ( 3y – 2 ) = -55 2- Cho A=
4
5 3
n
n
Tìm nZ để A có giá trị nguyên
Câu III( 3,0 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng cho tr-ớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=700 và số đo yOz = 300
a Xác định số đo của xOz
b Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài
OB lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA Hãy so sánh độ dài
MB với trung bình cộng độ dài OB và AB
Câu IV ( 2,0 điểm )
Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với -CLN của chúng là 15
H-ớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 –2008
1-I
0.5đ
Tính nhanh A=
15
7 9
4 11
2 15
8 9
5
=
15
7 15
8 11
2 9
4 9
5
=-1 + 1
11 2
A=
11 2
0,25 0,25
2-I
0.5đ
So sánh 2 phân số
20082008
20072007
và
08 2008200820
07 2007200720
Ta có P/S :
20082008
20072007
=
2008
2007 10001
10001 2008
P/s :
08 2008200820
07 2007200720
=
2008
2007 100010001
100010001
2008
2007
Vậy 2 phân số trên bằng nhau
0,25 0,25
Trang 21.0đ
180 71
530
=
) 18 71 53 (
10
53 52 71
=
] 18 71 ).
1 52 [(
10
53 52 71
=
] 18 71 52 71 [
10
53 52 71
=
] 53 52 71 [
10
53 52 71
=
10 1
0,25 0,25
0,25 0,25
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x
Điều kiện y 3 ta có : 3x –12 = 4y-12 3x=4y
Từ x-y=5 x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) ( 3y – 2 ) = -55
(x + 1 ) ( 3y – 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) ( 3y – 2 ) = (-11).5
Ta có
3 7
12 5
2 3
11 1
y
x y
x
(Loại)
Hoặc
3
4 11
2 3
5 1
y
x y
x
* Nếu : (x + 1 ) ( 3y – 2 ) = (-5)(11)
Ta có :
3 13
6 11
2 3
5 1
y
x y
x
(Loại )
Hoặc
1
10 5
2 3
11 1
y
x y
x
Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1)
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
2-II
1.0 đ
Tìm nZ để A=
4
5 3
n
n
có giá trị nguyên
A=
4
5 3
n
n
= 3 +
4
17
n
để A có giá trị nguyên khi
4
17
n có giá trị nguyên Vậy để
4
17
n có giá trị nguyên thì n+4 phải là -ớc của –17
Ta có các -ớc của –17 là U-17= 1 ; 1 ; 17 ; 17
Lập bảng
Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên
0,25
0,5
0,25
Trang 3a-III
1.0đ
- Tr-ờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 700-300 = 400
- Tr-ờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
Số đo góc xOy = 700+300 = 1000
Vẽ
đúng
đ-ợc
1 tr-ờng hợp cho 0,25 đ 0,25
0,25 b-III
2.0đ
- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là
2 2 2
BA BO AB BO
- Ta lại có BO=BA+AO nên BOBA BA AO BA AO BA
2 2 2 2
- Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên
BM = AO BA
2 (II)
- Từ (I) và (II) suy ra BM =
2
BA
BO
Hay số đo BM bằng trung bình cộng
số đo của BO và BA
0,25
0,25 0,5
0,5 0,5
IV
2.0đ
Tìm 2 số t- nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1
ta có a.b = d.m.d.n
-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó
nên
-Ta có BCNN [a,b] =
d
n m d b a
b
) , (
-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12
Lập bảng
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 41 15 14
Vậy ta tìm đ-ợc các số sau:
(a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)
0,25
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 7 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu 1(2 điểm ):
So sánh A và B biết :
A=[0,8 7+(0,8)2] (1,25 7 -
5
4
1,25 ) – 47,86
B=
9
8 65 , 16 9 , 18
4
5 29 , 0 09 , 1
Câu II( 2,5 điểm )
1) Tìm n N biết 32 2n > 4
1978
30 1973
35 1968
40 1963
b) x-
11
3 55 53
20
17 15
20 15
13
20 13
11
Câu III: (1,5đ)
Tìm x , y z biết
5
4 4
3 3
Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có A= 600 ; BM , CN ( M thuộc AC và N thuộc AB ) lần l-ợt là phân giác của góc ABC và góc ACB BM và CN cắt nhau tại I
a) Tính BIN
b) Chứng minh INM = IMN
Câu V ( 2 điểm )
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d- 5 và chia 13 d- 8
Hết ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
H-ớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7
năm học 2007 – 2008
I A= 0,8.0,25 (49- 0,64) = 48,36 – 47,86 = 0,5 1 đ
Trang 5B=
2 1 9
8 4 9 4
5 5 4
9
8 25 , 2 4
5 8 , 0
VËy A=B
0,75® 0,25®
1-II 25 2n > 22
Nªn 5 n > 2
Mµ n N nªn n = 3 ; 4 ; 5
0,25 0,25 a-2-II T×m x
1978
30 1 1973
35 1 1968
40 1 1963
45x x x x = 0
0 1978
2008 1973
2008 1968
2008 1963
2008
1978
1 1973
1 1968
1 1963
1
x
2008 – x = 0
x = 2008
0,25® 0,25 0,25®
0,25®
b-2-II T×m x
11
3 55 53
2
15 13
2 13 11
2
x
11
3 55
1 53
1 53
1 51
1
15
1 13
1 13
1 11
1
x
11
3 55
1 11
1
x
1
x
0,25 0,25
0,25 0,25
III Ta cã:
4
5 3
4 2
3 5
4 4
3 3
Theo d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
4
5 3
4 2 3
z y
12 49 49 4
5 3
4 2
x
x=12 18
2
3
y=12
3
4
=16
z=12 15
4
5
VËy x=18 ; y=16 vµ z = 15
0,5
0,5
0,25 0,25
IV
Trang 6a-IV
b-IV
-Xét tam giác IBC có NIB =IBC +ICB ( t/c ngoài )
- Xét Tam giác ABC ABC+ACB = 1800-600 =1200(vì BAC=600)
- Mặt khác do BM và CN là phân giác nên
IBC=1/2ABC và ICB=1/2ACB
IBC +ICB =
2
60
1800 0
= 60 0
- Vậy NIB = 600
- Kẻ phân giác IH của góc BIC
- CM đ-ợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IN (1)
- CM đ-ợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IM (2)
- Từ (1) và(2) Tg IMN cân vậy INM =IMN
0,25 0,25 0,25
0,25
0,5 0,25 0,25
V - Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
+ a + 6 11 (a+6)+77 11 a+83 11 (1)
+ a + 5 13 (a+5) + 78 13 a+83 13 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a+ 83 BCNN (11, 13 ) mà BCNN ( 11,13) = 143
Ta có : a+ 83 143
a= 143.k – 83 ( k N*)
Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhỏ nhất
Nếu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại )
Nếu k=2 thì a = 203
Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho
0,5 0,5 0,25
0,25 0,25 0,25
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 8 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I (2 điểm ) :
1) Tính giá trị biểu thức : A= x5- 5x4+5x3-5x2+5x –1 với x=4
2) Tìm điều kiện để phân thức : B=
12 7
7 5
2
2
x x
x
có nghĩa
Câu II ( 3 điểm )
Trang 71- Với giá trị nào của a ph-ơng trình
1 1
1
2 2
2
x
x a
x x
a
nghiệm duy nhất
2- Tìm giá trị lớn nhất của B =
3 2
10 6
3
2
2
x x
x x
3- Ng-ời ta đặt một vòi n-ớc chảy vào bể n-ớc và một vòi chảy ra ở l-ng chừng bể Khi bể cạn , nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy n-ớc Còn nếu đóng vòi chảy ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy n-ớc Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra
Tính thời gian n-ớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc n-ớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra?
Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC ( 0
90
ˆ
A ) Một đ-ờng thẳng song song với BC lần l-ợt cắt AB và AC tại D và E
a- Chứng minh CB2 – CD2 = EB2 – ED2 b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
a c
a c c b
c b b a
b a
< 1 Hết
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
H-ớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2007 – 2008
a-I Thay x=4 vào biểu thức A ta có
A= 45- 5.44 +5.43- 5.42 + 5.4 –1
= 45 – (4+1).44 +(4+1).43 -(4+1).42 + (4+1).4 –1
= 45- 45 – 44+ 44 + 43 – 43 – 42 + 42 +4 – 1
A = 3
0,25 0,25 0,25 0,25 b-I
Tìm điều kiện để phân thức B=
12 7
7 5 2
2
x x
x
có nghĩa
Để B có nghĩa khi x2- 7x + 12 0
x2 – 4x – 3x + 12 0
x(x-4) –3(x-4) 0
(x-4).(x-3) 0
x 4 ; x 3
Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x 3 và x 4
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 8Điều kiện để PT
1
1 2 2
x
a x x
a
nếu có nghiệm là x-1 ; 1
ta viết PT d-ới dạng
1
1
2
2 2
x x
x a x a x
x-a2x+a = 1
(1-a2).x = 1- a
- Nếu a -1: 1 thì x=
a
1
1
là nghiệm nếu
a
1
1 1 ; -1 hay a0 và a -2
- Nếu a=1 thì 0x = 0 ph-ơng trình có vô số nghiệm khác –1 và 1
- Nếu a=-1 thì 0x=2 PT vô nghiệm
Vậy để ph-ơng trình có nghiệm duy nhất thì a1 , a-1 , a0 và a -2
0,1
0,2
0,1 0,2 0,2 0,2 2-II
* Tìm giá trị lớn nhất của B=
3 2
10 6
3
2
2
x x
x x
B=
3 2
1 ) 3 2 ( 3 2 2
x x
x x
B= 3 +
3 2
1
2 x
x
B= 3 +
2 )
1 (
1
2
x
Để B có giá trị lớn nhất khi
2 )
1 (
1
2
x (I) có giá trị lớn nhất Mà để (I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)2+ 2 (II) có giá trị bé nhất (II) có giá trị bé
nhất khi (x+1)2 = 0 hay x=-1
Vậy Max B =
2
7
khi x= -1
0,2 0,2
0,2
0,2
0,2 3-II - Gọi thể tích bể n-ớc quy -ớc là 1 ( đơn vị thể tích ) Gọi Thời gian vòi
n-ớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực n-ớc nơi vòi chảy ra là x ( x>0 ; đv
thời gian)
Theo bài ra ta có:
- Trong 1 giờ vòi chảy vào đ-ợc là
3
2 5 ,
1 1 (thể tích bể)
- Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đ-ơc
3
1 2 : 3
2 ( thể tích bể)
- Vậy nếu mở đồng thời cả vòi chảy vào và vòi chảy ra thì l-ợng n-ớc trong
bể trong thời gian chảy 1 giờ là :
3
1 3
1 3
2 (thể tích bể)
- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên l-ợng n-ớc trong bể là .x
3
2
(I) -Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42’ – x) hay 2,7h – x
- L-ợng n-ớc trong khoảng thời gian (2,7h –x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy
ra , chảy vào là : 1.( 2 , 7 x) (II)
0,1
0,1
0,1
0,1
Trang 9- Từ (I) và (II) ta có ph-ơng trình : .x
3
2
+ .( 2 , 7 ) 3
1
x
= 1
- Giải ph-ơng trình x=0,3
- Trả lời : để vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực n-ớc đầy đến nơi đặt vòi
chảy ra là 0,3 h
0,1
III
a-III
1.0đ
b-III
2.0đ
a) *-Xét ADC có DC2 = AC2+AD2 (Pitago)
-Xét ABC có BC2=AC2+AB2 ( Pitago)
- Vậy BC2- CD2 = AC2+AB2 – AC2-AD2 = AB2-AD2 ( I)
*- Xét ADE có ED2 = EA2+AD2
- Xét ABE có BE2= EA2+AB2
- EB2-ED2 = EA2 +AB2 – EA2 – AD2 = AB2-AD2 (II)
Từ (I) và (II) suy ra CB2 – CD2 = EB2 – ED2 ( đpcm)
b) Phân tích : Giả sử Ta xác định đ-ợc điểm D thoả mãn DC2=BC.DE
khi đó ta có :
DC
DE BC
DC (I) Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II)
Từ I và II ta suy ra đ-ợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB
Từ đó suy ra đ-ợc Góc ACD = Góc ABC
Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE Qua điểm C vẽ góc
ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B Tia Cx cắt
AB tại đâu thì đó là điểm D
Cách dựng :
- Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 10- CED Đồng dạng với BDC có
DC
DE BC
DC CD2=BC.DE Biện luận : - Bài toán có duy nhất một điểm D
0,25
0,25 0,25
0,25
IV
Ta biết nếu x<1 -1< x < 1
1
1
x x
Ta có chứng tỏ
c b a
c b a b a
b a
c b a
c b a b a
b
) )(
( ) )(
đúng
Vậy
c b a
c b a b a
b a
( 1)
T-ơng tự
a c b
a c b c b
c b
(2)
b a c
b a c a c
a c
(3) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đ-ợc
a c
a c c b
c b b
a
b
a
<
c b a
c b a
=1
T-ơng tự ta cũng có
a c
c a c b
b c b a
a b
<1
Suy ra đ-ợc
a c
a c c b
c b b a
b a
< 1 ( đ.p.c.m)
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25