CHÚ Ý : Thông thường cực trị là nghiệm đơn của đạo hàm.. của hàm số thuộc [ a ; b ]mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.. + So sánh các giá trị trên và đưa ra kết luận... Đườ
Trang 1VẤN ĐỀ 1 : CỰC TRỊ
LÝ THUYẾT :
A QUY TẮC I : ( Dùng bảng biến thiên )
f’( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0 thì x 0 gọi là điểm cực đại của hàm số
f’( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 thì x 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số
Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0 gọi là đạt cực trị tại x 0 , khi đó f(x 0 ) gọi là giá trị cực trị của hàm số , điểm (x 0 , f(x 0 ) ) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
CHÚ Ý : Thông thường cực trị là nghiệm đơn của đạo hàm
A QUY TẮC II : ( Dùng đạo hàm cấp hai )
x 0 là điểm cực đại của hàm số
0 0
f x
f x
x 0 là điểm cực tiểu của hàm số
0 0
f x
f x
AQUY TẮC TÍNH GIÁ TRỊ CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC :
Cho hàm số y = f( x ) = u x v x Với u x và v x có đạo hàm tại x 0 , v x ' 0 0
Ta có x 0 là cực trị thì giá trị cực trị y 0 = f(x 0 ) = 0
0
u x
v x =
0 0
' '
u x
v x
A CÁC CÔNG THỨC KHÁC :
1 Hàm số đạt cực đại bằng y 0 khi x = x 0
0 0
f x
f x
y f x
2 Hàm số đạt cực tiểu bằng y 0 khi x = x 0
0 0
f x
f x
y f x
3 Hàm số đạt cực trị bằng y 0 khi x = x 0
0
và f'(x ) đổi dấu khi qua x
f x
y f x
Tìm m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện cho trước
VẤN ĐỀ 2 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f( x ) trên tập D
A Phương pháp chung : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D
A Đặc biệt : Nếu D = [a;b] ta thực hiện :
+ Tính y’ và tìm các điểm x 1 ; x 2 … của hàm số thuộc [ a ; b ]mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định
+ Tính f(x 1 ) , f(x 2 ) và f(a) , f(b)
+ So sánh các giá trị trên và đưa ra kết luận
Trang 2VẤN ĐỀ 3 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
Phương pháp :Cho hai đường (C 1 ) : y = f( x )
(C 2 ) : y = g( x )
Để xét vị trí tương đối của (C 1 ) và (C 2 ) ta thực hiện :
B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 )
f( x ) = g( x ) (1)
B2 : Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 )
A CHÚ Ý:
i Phương trình bậc hai : f(x) = ax 2 + bx + c = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0
0
a
Dấu của nghiệm số
1 Phương trình có hai nghiệm trái dấu P = c
a < 0
2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
0 0 0
P S
3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
0 0 0
P S
4 Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0
0
P
ii Phương trình bậc ba đặc biệt : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a 0 )
Đoán một nghiệm x 0 và biến đổi phương trình về dạng ;
(x – x 0 ) (a’x 2 + b’x + c’) = 0 (I)
0 2
x x
g x a x b x c
Điều kiện phương trình bậc ba trên có 3 nghiệm phân biệt là :
0 0
g x
A LƯU Ý : Có những bài ta nên dựa vào BBT hoặc đồ thị thì giải quyết dễ dàng hơn
VẤN ĐỀ 4 :TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x)
I) Điều kiện tiếp xúc của hai đường
Cho
1 2
: :
Ta có C tiếp xúc 1 C 2
f x g x
II) Các dạng tiếp tuyến
DẠNG 1 : TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ( x 0 ; y 0 ) ( C )
Trang 3Phương pháp : Tìm x 0 , y 0 và f’( x 0 )
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x 0 ) (x – x 0 ) + y 0
DẠNG 2 : TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM A(x A ; y A )
Phương pháp : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
B1: Chỉ dạng : phương trình tiếp tuyến có dạng :
y = k ( x – x A ) + y A
B2 : Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C )
'
f x g x
nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm Giải hệ phương trình này ta tìm được x k phương trình tiếp tuyến
DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC
( Hoặc song song , vuông góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi ( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm
Dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm
f’( x 0 ) = k
Giải phương trình này ta tìm x 0 y 0
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x 0 ) (x – x 0 ) + y 0
Chú ý :
i Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
ii Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x iii Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau
iv Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1
Tức là nếu đường thẳng có hệ số góc a thì :
+ Đường thẳng d song song với d có hệ số góc k = a
+ Đường thẳng d vuông góc với d có hệ số góc k = 1
a
Vấn đề 5 : MŨ - LƠGARIT
1 an = a.a…a ( tích của n số a) với n>1
2 a0 = 1
n
a
a
3 am n nam
4.a b loga b (0 a 1, b 0)
5) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , m n; tuỳ ý ta cĩ:
5.1)a am. n am n
Trang 4m
m n n
a
a a
;
5.4)( ) a b m a bm. m ;
5.5)( : ) a b m am : bm
6) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;
6.1) loga1 0
; 6.2) logaa 1 6.3) log b
a a b; 6.4) aloga b b
c
b
a a
a log log
c a
a(1) log
n
b a n
a 1log
b
x x
a
a b
log
log log , tức là loga b logb a 1
a b b