ôn thi TN lớp 12

fx Ghi khoảng tăng giảm của hàm số B5:Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ... Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y =

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN

Câu II (3 điểm):

- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit

- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân

- Bài tốn tổng hợp

Câu III (1 điểm):

Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chĩp, khối nĩn trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Câu IV.(2 điểm):

Nội dung kiến thức:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính gĩc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu V.(1 điểm):

Nội dung kiến thức:

- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức Căn bậc hai của số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực cĩ biệt thức ∆ âm

- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay

Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

I/ Khảo sát hàm đa thức:

1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:

B1: Tập xác định: D= ¡

B2: Tìm x lim y→±∞=

B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa

tìm được

B4: Lập bảng biến thiên

x Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0

B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn

B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trị bên trái và một điểm có

hoành độ lớn hơn cực trị bên phải

B7:Vẽ đồ thị

Các dạng đồ thị hàm bậc 3:

y y y y

0 x 0 x 0 x 0 x

' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 =   >  y a

' 0 0 ≥ ∀   >  y x a  <y a' 0 có 2 nghiệm phân biệt=0  <a y' 0 ≤ ∀0 x Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương:

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt a 0 =   >  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   >  ' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   <  Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng 2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x3+3x2– 4 Giải: Tập xác định: D = R lim x y →±∞ =±∞ y′= 3x2+6x = 3x(x+2), cho y′ = ⇔  = − ⇒ =0 x x= ⇒ = −02 y y 40 Lập bảng biến thiên x −∞ -2 0 +∞

y/ + 0 - 0 +

y 0 CT +∞

-∞ CĐ -4

6 6 y′′ = x+ cho y′′= 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)

Vẽ đồ thị hàm số:

2

-2

-4

x

y

1

4 -2

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4

Giải

MXĐ : D= R

lim

→±∞

=−∞

y′= 4x–4x3 = 4x(1–x2) cho y′= 0 ⇔4x(1–x2)=0 ⇔ x = 0 x = 1± ⇒⇒ y=0 y=1

 Lập bảng biến thiên:

x −∞ -1 0 1 +∞

y/ + 0 0 + 0

-y 1 CT 1

-∞ CĐ 0 CĐ -∞

y′′= 4–12x2 cho y′′ = 0 ⇔x = 3

3

± ⇒ y=59

y′′đổi dấu qua x = 3

3

± ⇒ Đồ thị hàm số cĩ 2 điêm uốn là ± 3 93 5; ÷÷

Điểm đặc biệt: A( 2;0 B) (− 2;0)

Đồ thị:

3/ Bài tập đề nghị:

Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:

a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – 2 c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8

d/ y = x4 – 6x2 + 5 e/ y = -14x4 + 2x2 +94 f/ y = x4 + 2x2

Bài 2 :

a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4

II/ Khảo sát hàm nhất biến:

1/ Sơ đồ khảo sát hàm y ax b

cx d

+

= + :

B1: TXĐ D = R\−c d

 

B2:+ Giới hạn và tiệm cận :

• lim lim

→−∞ = →+∞ = ⇒ = là tiệm cận ngang

• xlimd

c

y

+

 

→ − ÷

 

= +∞

( hoặc -∞)

• xlimd

c

y

−

 

→ − ÷

 

= −∞

( hoặc +∞)

2

-2

x y

1

d x

c

⇒ = − là tiệm cận đứng

B3: Tính đạo hàm y’=( )2

a d b c

cx d

− + ⇒ tính đơn điệu của hàm số

B4: Lập bảng biến thiên.

f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số

B5:Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ B6:Vẽ đồ thị

Dạng đồ thị hàm b1/b1

y’< 0 x D∀ ∈ y’> 0 x D∀ ∈

2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y = 2x x+−12

MXĐ: D= R\{ }−1

y′=

( )2

4

1

x+ > 0 ∀ ∈x D ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác định của nó.

xlim y 2

→±∞ = ⇒ TCN: y = 2

xlim y1 ; lim yx 1

→− = −∞ →− = +∞ ⇒ TCĐ: x=–1 ;

Lập bảng biến thiên

Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)

Đồ thị:

Bài tập đề nghị:

Bài 1: khảo sát các hàm số sau:

a/ y = − +2x x+12 b/ y = x x−+11 c/y = x4−4

Bài 2:

x -∞ -1 +∞

y/ + +

y +∞ 2

2 -∞

-2 -4 -6 -8

2 4 6 8

-2 -4 -6 -8

x y

Cho hàm số y=mx m 1

x m

− +

− khảo sát hàm số khi m = 2.

Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ

I/Bài toán1: Tìm giao điểm của hai đường:

Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thị (C), y= g(x) có đồ thị (C’) Tìm giao điểm của (C) và (C’)

Phương pháp giải:

B1: phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1)

B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x0,x1,x2 thì các giao điểm của (C) và (C’)là :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2))

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (C’).

Ví dụ 1:

Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận sốgiao điểm của (C) và d

GiảiPhương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x3 -3x +1 = kx + 1 (1) ⇔ x3-(3+k)x = 0

Nếu 3+k > 0 ⇔ k> -3 Mặt khác g(0) = 0 ⇔ -3-k = 0 ⇔ k = -3 vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác không ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt⇒ (C) và d có 3 giao điểm.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

− cĩ hai nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (ẩn x) mx 2 – (m – 4)x – 5 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt, khác 1

2 2

6 4 2

-2

5

xy

Bài 1: Cho đường cong (C): y= 2 2

1

x

+ −+ và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k biệnluận theo k số giao điểm của d và (C)

Bài 2: Cho đường cong (C): y=x4−2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số giao điểm của (C) vàđường thẳng y=k

II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ( )ϕ m

Phương pháp giải:

B1: Vẽ đồ thị (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )

B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y= ( )ϕ m Tùy theo mdựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm

Số nghiệm của phương trình là số giao

điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m

dựa vào đồ thị ta có:

Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm

Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm

Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm

Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm

Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm

Bài tập đề nghị:

Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5

b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x4 – 4 x2 + 5=m

Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – 2 có đồ thị (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt

III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x 0 )

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0 ;f(x 0 )) là: y = f (x )/ 0 (x–x0) + f(x0)

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = f (x )/ 0 (x–x0 ) + f(x 0 )

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2:Do tung độ là y0⇔f(x 0 )=y 0 giải phương trình này tìm được x 0⇒ f / (x 0 )

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x )/ 0 (x–x0 ) + y 0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0 (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f′(x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến.

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 )=a.

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 ).a=-1.

5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) :

B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1 ;y 1 ) có hệ số góc k là: y = k(x–x 1 ) + y 1 (1)

B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :

)

B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ 1 :

Cho đường cong (C) y = x 3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2

c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)

với x 0 =-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.

e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :

=



 = −

Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.

Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4

Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 4.

c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005.

e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1

3x + 2006 f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).

Bài 2: Cho hàm số y= 2

1

x

− ++ có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 2.

c/ Tại điểm có tung độ y=-3

2 d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1 e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0).

IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu

A/ Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ?

+ Tính : y / = , tìm nghiệm của ptr y / = 0

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

Chú ý: y/ > 0 thì hàm số tăng ; y / < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm gía trị m):

a) f / (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm ∈ (a;b) ) thi f(x) tăng trong khoảng (a;b) b) f / (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm ∈ (a;b) ) thi f(x) giảm trong khoảng (a;b).

B/ CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN:

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Phương Pháp:

• Tìm tập xác định

• Tính đạo hàm ( )f x′ Giải phương trình ( )f x′ =0

Gọi các nghiệm là xi (i=1,2,3,4,….n)

y′ – 0 + 0 –

y

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞ −; 1),(4;+∞)

Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)

b) Miền xác định: D= ¡ \ 1{ }

2

2

2 1

y

x

− +

′ =

−

0 0

2

x y

x

=



′ = ⇔  =

Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 2 +∞

y′ – 0 + + 0 –

y

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2) Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;0),(2;+∞) Ví dụ 2 : Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên ¡ Giải: Miền xác định: D= ¡ y′= 3x2– 6mx+ m+ 2 ′ ∆ = 9m2– 3m– 6 Bảng xét dấu: m −∞ 2

3 − 1 +∞

∆′ + 0 – 0 +

Ta phân chia các trường hợp sau:  Nếu 2 1 3 m − ≤ ≤ Ta có: ∆ ≤′ 0 ⇒ y′ ≥ ∀ ∈0, x ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡  Nếu 2 3 1 m m  < −   >  Ta có: ∆′> 0 phương trình y′=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2) Bảng biến thiên: x −∞ x1 x2 +∞

y′ + 0 – 0 +

y

Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên ¡

 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: 2 1

− ≤ ≤

Bài tập

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

3

y= x −x

y= x + x + −x

Bài 2: Định m để hàm số y= –x3+ mx2– 3x+ 1 nghịch biến trên ¡

Bài 3: Định m để hàm số 1

mx y

x m

+

=+ + nghịch biến trong từng khoảng xác định của nĩ.

V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số

• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x 9 thì f / (x 0 )=0

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b).

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0.

3) x 0 là cực trị của hàm số 

/ ( 0) 0 / ( )

Nếu y // (x 0 ) > 0 thì hàm số đạt CT tại x 0 , y CT = ?

Nếu y // (x 0 ) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x 0 , y CĐ = ?

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu

*Cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trị tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 và giá trị cực trị y(x 0 ) = u (x )0

v (x )0

′

′

* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >a 0≠ 0

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác

nghiệm của mẫu

* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Một số ví dụ:

y′= – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1)

y′= 0 ⇔

011

x x x

=



 =

Bảng biến thiên: x −∞ 1 4 +∞

Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại tại x=2 là: f' 2( )= Û0 m2+4m+ =3 0⇔ 1

3

m m

é ê

ê ë

=-Đ/k đủ: Với m= -1 thì f // (2)=2>0 ⇒ m= -1 không là giá trị cần tìm.

Với m= -3 thì f // (2)= -2< 0 ⇒ m= -3 là giá trị cần tìm.

Giải:

Ta có ( ( ) )

2

2 2

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

4

y e= + e−

Bài 2: Định m để y=x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1) (x− m2 − 1) đạt cực đại tại x=1 ĐS:m=2

Bài 3: Cho hàm số y= x4 −ax2 +b

2 Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1

Bài 4 : Cho hàm số y=

x Định m để hàm số có cực trị và 2 giá trị cực trị cùng dấu

Bài 5: Cho hàm số y=x3 +(m− 1)x2 −(m+ 3)x− 1 CMR đồ thị hàm số lu6n có cực đại và cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số

Bài 6: Cho hàm số y= mx4+(m2–9)x2+ 10 Tìm m để hàm số cĩ ba cực trị

Ch

ủ đề III :TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHOû NHẤT CUûA HAøM SỐ

Phương pháp giải:

*Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định hay một khoảng :

-Tìm tập xác định

-Tính y’, tìm các điểm tại đĩ đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đĩ hàm số liên tục , tính giá trị của hàm số tại các điểm đĩ.

-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN.

*Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:

-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đĩ đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đĩ hàm

số liên tục Giả sử các điểm đĩ là x 1 , x 2 ,…, x n

- Tính các giá trị f(a), f(x 1 ), f(x 2 ),…., f(x n ) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm được, GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.

Ví dụ

a)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2x x− 2

b)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số b/ y =

x

x

x2 + + 1 trên [12 ;2 ]

Giải :

a)Txđ : D =[0;2]

y/= 1 2

2

x

x x

−

− cho y

/=0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1 Bảng biến thiên

X 0 1

2 y/ + 0

-y 1

0 CĐ

0

max ( )f x = f(1) 1= , min ( )f x = f(0)= f(2) 0= b) y/=x2 21 x − cho y/=0 ⇔ x2-1=0 ⇔ 1 1 ;2 2 1

2

x x

 = ∈ 

  



= − ∉

  



Ta có y(1)

2 =

7

2 ; y(1)=3 ; y(2)=

7 2

1

[ ;2]

2

min ( )f x

= f(1)

2 =f(2)=

7

2 ; 1;22

max ( )f x f(1) 3

 

 

 

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a) y= x2 +2x (x > 0) b) y = x3−3x+2 trên [−10,10]

c) y = 5 4x− trên đoạn [−1,1] d) y= x4- 4x2 + 2 trên đoạn [-2;2]

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y= 2cos2x–3cosx– 4 trên ;

2 2

π π

− 

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= (x–6) x2 +4 trên [0;3]

Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga Kiến thức cơ bản về lũy thừa :

aaa

1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :

• Dạng cơ bản:

o logu(x)v(x) = b ⇔

[ ]

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b v(x) u(x)

 

 ÷

 hoặc

• Logarit hoá hai vế : af(x)=bg(x) ⇔ f(x)=g(x) logab

2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit

• Dạng cơ bản :

a > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀ x

Nếu b > 0 f(x) > loga b nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1

3 0 af (x) < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm

Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1

u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) − 1 ].v(x) > 0

8 0 (u(x))v(x) < 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) − 1 ].v(x) < 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm là x=3

Bài 2: Giải các phương trình sau:

loglog ,

log

−

 =+ − = ⇔ = − ⇔  = −

x x

Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4

Đặt: t= lgx , ta có: 2 1 1 107

lglg

x x

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

Bài 3: Giải các bất phương trình sau

( )

1

2 2

./

x x

x x

a c

−

− +

2x+1 x

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải các phương trình sau

a) 2x− 4 =3 4 b) 2 6 5

2

2x− −x =16 2 c) 32x−3 =9x2+ −3x 5 d) 2x2 − +x 8 =41 3 − x e) 5 2x + 1 – 3 5 2x -1 = 110 f)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 2 : Giải các phương trình

e) 5 8x x x−1 500

= f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Phương trình logarit

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 1: giải các phương trình

a) log 4 (x + 2) – log 4 (x -2) = 2 log 4 6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log 4 x + log 2 x + 2log 16 x = 5 d) log 4 (x +3) – log 4 (x 2 – 1) = 0 e) log 3 x = log 9 (4x + 5) + ½ f) log 4 x.log 3 x = log 2 x + log 3 x – 2 g) log 2 (9 x – 2 +7) – 2 = log 2 ( 3 x – 2 + 1) h) log3(x+ +2) log3(x− =2) log 53

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 2: giải phương trình

4 lnx+2 lnx=

− + b) logx 2 + log 2 x = 5/2 c) log x + 1 7 + log 9x 7 = 0 d) log 2 x + 10log2x+ =6 9

e) log 1/3 x + 5/2 = log x 3 f) 3log x 16 – 4 log 16 x = 2log 2 x g) 2 2 2 1

2

Dạng 3 mũ hóa

Bài 3: giải các phương trình

a) 2 – x + 3log 5 2 = log 5 (3 x – 5 2 - x ) b) log 3 (3 x – 8) = 2 – x

Bất phương trình mũ

Bài 1: Giải các bất phương trình

a) 16 x – 4 ≥ 8 b)

2 5

1

93

Bài 3: Giải các bất phương trình

a) 3 x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3 ≤ 3 c) 5 x – 3 x+1 > 2(5 x -1 - 3 x – 2 )

Bất phương trình logarit

Bài 4: Giải các bất phương trình

a) log 4 (x + 7) > log 4 (1 – x) b) log 2 ( x + 5) ≤ log 2 (3 – 2x) – 4 c) log 2 ( x 2 – 4x – 5) < 4 d) log 1/2 (log 3 x) ≥ 0 e) 2log 8 ( x- 2) – log 8 ( x- 3) > 2/3 f) log 2x (x 2 -5x + 6) < 1 g) 1

Bài 6 Giải các bất phương trình

a) log 3 (x + 2) ≥ 2 – x b) log 5 (2 x + 1) < 5 – 2x c) log 2( 5 – x) > x + 1 d) log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) ≤ 2

Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:

1/ Bảng nguyên hàm thường dùng.

2/Một số dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a) f(x) = x 3 – 3x +

x

1 b) f(x) = 2x+ 3 c) f(x) = (5x + 3)x 5 d) f(x) = sin 4 x cosx

Giải a/

Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho

B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm.

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(

6

π Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – 1

3 cos3x -6

π

Bài tập đề nghị:

1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin 2 x.cosx, biết giá trị của nguyên hàm bằng − 3

8 khi x=

π

3

2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 1-2x , biết F(1) 0=

=

II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :

1/Các kiến thức cần nắm vững :

Bảng nguyên hàm thường dùng.

Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân.

Các phương pháp tính tích phân

2/Một số dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.

Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

Phương pháp giải:

b1: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ'( ) dxx

b2: Đổi cận:

x = a ⇒t =ϕ(a) ; x = b ⇒t = ϕ(b)

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

Ví dụ : Tính tích phân sau :

3

J=∫ x + x dx