Chuyên đề giới hạn lớp 11
Trang 1Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
Nếu u n v n n ,limv n 0 limu n 0 lim c c
limu n L limu n L limu n L lim3u n 3 L;
limu n L u, n 0 n L0,lim u n L 1 1 1 2 1
1
u
S u u q u q
q
1
n
u
u
3
lim 0; lim 0; lim 0;
limq nếu n 0 q 1 1 *
lim k 0,k N
lim c k 0
n
3 limn; lim n ; lim n ;
limq nếu n q ;1
* limn k ,k N
limu , lim n v n limu , lim n v n L 0 limu n L 0, limv n 0
limu n limv n lim u v n n limu n Dấu của
L lim u v n n
Dấu của L
Dấu của
n
n
u v
B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
1 lim2 1
1
n
n
2
2 2
lim
3
3 3
4 lim
n
4
lim
n
5 lim 2 1
2
n n
6 lim 2 4
n
lim
n n n
8
3 2 lim
1
n n
9
2 3
lim
n
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
1 lim 2 1
n
n
2 lim 2 1
2 2
n n
ds2
1
n
n
ds1
1
n
5 lim3 3 2
2
n
ds1
6
3 3 2
1 1 lim
3 2
n n
7
3
2
1 lim
1 3
n n
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1 lim n 1 nds0
2 lim n25n 1 n2 nds3
3 lim 3n22n1 3n2 4n8ds 3
4 lim n2 4n n ds-2
1
Trang 2-Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
5 limn n23ds0 6. lim n 1 n
7 lim3 n2 n3 nds1/3
8 lim3 n 3 n1ds0
9
2
1 lim
1
10 lim3n3 3n2 1 n24n
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1 lim1 4
1 4
n n
2
1 2
lim
3 lim3 4 5
4
1 1
lim
5
2 2
lim
2n
n
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
1.limsin
1
n
n
2.limsin102 cos10
2
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1 lim1 3 5 (22 1)
n n
2 lim1 2 3 2
3
n n
3
1 2 3
lim
( 1)( 2)
n
1.2 2.3 n n( 1)
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
Bài 7 Tính các tổng sau:
2 4
S
3 9 27
3 S 1 0,1 (0,1) 2(0,1)3
4 S 2 0,3 (0,3) 2(0,3)3
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1 1,1111…
2
Trang 3-GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :
lim
0
lim
lim 1 0
lim k 0
x x limx x k lim , 2
, 2 1
k x
x
0
lim
x x f x
0
lim
x x g x
0
x x f x g x
0
0
B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
0
lim
x x f x
0
lim
x x g x
0
lim
x x
f x
g x
L>0
0
Trang 42
3
9 lim
3
x
x
x
1
3
2 3
9 lim
4
x
x x
4
2 2
lim
4
x
x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
Trang 51 limx2x đs2
2 lim2 3
2
0
5
1
lim
1
x
x x
đs7/2
2
lim
1
x
x
7
2
lim
1
x
x
Trang 6Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1 lim 3 2
đs
2 lim 3 2
đs
3
2 2
lim
x
x
đs5/2 4
2 2
lim
x
x
đs5/2 5
4
lim
x
x
đs1/2 6
4
lim
x
x
đs1/2
7 lim 32 1
x
x x
đs0
8 lim 32 1
x
x x
đs0 9
2 3
lim
x
x x
đs0
10
2 3
lim
x
x x
đs0 11
lim
1
x
x
12
lim
1
x
x
đs
13 lim 2 2
đs
14 lim 2 2
đs
15 lim 4 2 1
x
x x
đs 2
3
16 lim 3 2 4 5
x
đs1
2 17
2 2
3 4 lim
x
đs5 , -1
18 lim 9 2 1 4 2 2
1
x
x
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
1
3
lim
3
x
x x
đs
2
3
lim
3
x
x x
đs
3
3
lim
3
x
x
x
đs
4
3
lim
3
x
x x
đs
5
2 2
lim
2
x
x
đs
6
2 2
lim
2
x
x
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
2
3 7 , 2
f x
Tìm các giới hạn sau:
1 lim1
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
2
1 2 , 1
5 4 , 1
x x
f x
Tìm các giới hạn sau:
1 lim0
Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng 0
0)
Trang 72
3
2 15
lim
3
x
x
2
2
2
1
lim
1
x
x
3
2
2
2
lim
2
x
4
2
2
2
lim
6
x
đs1/5
5
3 2
2
1
1 lim
x
6
4 4
lim
x a
x a
đs4a3
0
lim
h
h
đs2x 8
3
lim
x
đs-36/5 9
5 3 1
1 lim
1
x
x x
đs5/3 10
1
1 lim
1
m n x
x x
đsm/n 11
2 1
lim
1
x
x
Trang 8Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng 0
0) 1
1
1 lim
1
x
x
x
đs1/2
3
1 2 lim
9
x
x
x
đs1/24
1
lim
1
x
x x
đs-1/8
2
lim
4
x
x x
2
lim
2
x
2
lim
2
x
x x
đs1/3 Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng 0
0)
1 3 2
1
1 lim
1
x
x
x
đs1/6 2
2
2 lim
x
x
đs9/8
0
lim
3
x
x x
đs1/9
4
3 2 1
1 lim
3 2
x
x x
đs-2/3 5
3
1
7 2 lim
1
x
x
x
đs1/2
6
3 1
1 lim
1
x
x x
đs2/3
0
lim
x
x
đs5/6
8
0
lim
x
x
9
0
lim
x
x
10
3 2 3
2 1
lim
1
x
x
Bài 10:Tìm các giới hạn sau
2 lim 2 1 4 2 4 3
4 lim3 3 1
5 xlim ( x x2 5x
) (Đs:-5/2)
6 xlim ( 2 2 1
x x
7 lim 2.3 3 1
8 lim3 3 5 2 3 3 8
Bài 11:Tìm các giới hạn sau
lim
lim
lim
Trang 9BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
Trang 101 f(x) =
2
9
3 3
x
khi x x
khi x
tại x0=3
2 f(x) =
2 25
5 5
x
khi x x
khi x
tại x0=5
3
2 3 2
khi 2
1 khi 2
x
x
tạix0=2
4
3
3
2 khi 1 1
4
khi 1 3
x x
f x
x
tại x0= -1
5
khi 2 2
1 khi 2
x
x
x
tại x0=2
6
33 2 2
khi 2 2
3
khi 2 4
x
x x
f x
x
tại x0=2
7
2 khi 4
5 3 3
khi 4 2
x
x x
f x
x
tại x0=4
8
2+4 2
f x
9
4 2
f x
10
2
0
f x
x khi x
11
5 khi 5
3 khi 5 2
x
x x
f x
x
tại x0=5
12
3 2 2 1 2
f x
x
tại x0=2
13 f(x)=
5 1
4
x x
x tại x0 = 5
Trang 1114 Chứng minh các hàm số
a)
khi 1 1
4 khi 1
x
x
liên tục trên R
b)
3 3
2 khi 1 1
4 khi 1 3
x x
f x
x
liên tục trên R
c)
2 2
7 4 khi 3
3 khi 3 4
x
x
f x
x
liên tục trênR\ 2
15 tìm a để hàm số liên tục trên R
1)
2 1
f x
ax khi x
2 2 2
a x khi x
f x
x khi x
Trang 1216 Cho hàm số f(x) =
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0)
17 Tìm a để hàm số liên tục tại x0
Trang 13a)
3 2 khi 1 1
a+1 khi 1
x
x
x
tại x0=1
b) f(x) = 2
2 2
2 4
2
x
khi x x
tại x0=2
c)
khi 1 1
4
-a khi 1
2
x x
f x
x x
tại x0=1
d)
33 2 2
khi 2 2
1 khi 2 4
x
x x
f x
tại x0=2
Trang 1418 cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
a)
2 2
f x
x
2 2 2
f x
x
Cĩ thể gán cho f 0 một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f x liên tục tại x=0
19 Cho hàm số f(x) =
ax khi x khi x
Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thị hàm số với a tìm được
20 Chứng minh rằng phương trình x3 + 3x2 +5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1)
21 Chứng minh rằng phương trình x3-3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt
22 Chứng minh rằng phương trình x5-3x4 +5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (-2 ;5 )