Chuyên đề hình học phẳng

Chuyên đề hình học phẳng

_ MỘT SỐ BÀI TOÁN:

HINH HOC PHANG

» Bai dưỡng học sinh chuyên toán THPT

› Ủn thi Dlympic toán trong nước và quốc tế

_.Ð Ủn thi đại học và cao đẳng

Thuviendientu.org

MUC LUC

Chương I: CAC BAI TOÁN HÌNH 1 HỌC PHẲNG |

GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 7

Chương II: CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC S52 37

| ~ Cac bai toan co ban |

— Các bài toán nâng cao © Chương II: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC KHÁC 5< s2 128

PHỤ LUC 1: : CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ — ¬ 154

(Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình và bất đẳng thức) -

PHỤ LỤC 2: |

- Dé thi Olympic 30-4 (khối 10) năm học 2004-2005 194

~_ Đề thi chọn học sinh giỏi TPHCM năm học 2004-2005 196

~_ Đề thi chọn học sinh giỏi TPHCM năm hoc 2005-2006 198

Cho AABC có a = BC, b = CA, c = AB Tính:

» =a.IA’ +b.IB?+c-IC? theo a, b,c (với I là tâm đường tròn nội tiếp AABC)

(Đề thi Olympic Toán Quốc tế)

=> a’ JA’ +b’ IB? +c?.IC? + ab(IA? + IB? - c°)

+ be(TB + IC° - a?) + ca(IC? + 1A? - b?) = 0

=> (a + b+e)(a.IA? + b.TB? + e.TC?) ~ abe(a +b +c) = 0

= S)=a.IA?+b.IB +e.IC?=abc —- ,

Chú ý: Theo kết quả trên ta có:

À`= abc |

=> abe > labc (1A IB.IC}

= (abc) > 27(abc)(IA IB.1C)’

Đây chính là để thi Olympic Toán Quốc tế (được giới thiệu

trong cuốn sách “Tuyến tập 200 bài toán thi Vô địch Toán (Tập 2

- Hình học) của các tác giả Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Lưu Xuân Tính, nhà xuất bản Giáo dục năm 2001”

Cho lục giác đều A, A, A, A, A, A, tâm I, hình tròn (O, R) bất kỳ

chứa I Các tia IA, cat (O, R) tai B, (i =1,0) Tinh theo R tổng sau:

) = IB? + IB? + IB? + 1B? + IB? + IB?

(Dé thi dé nghi Olympic 30-4)

GIAI

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Cho AABC đều nội tiếp đường tròn (O,, R,) Khi đó

mọi điểm M c° (O,), tổng MA? + MB? + MC? không đổi.

Quay lại bài toán:

Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu

vuông góc của O xuống B,B,, B,B,,

B,B, Dễ thấy rằng các điểm O, I, J,

A -H, K nằm trên đường tròn đường

5 kính OL Do đó thấy ngay AH4JK đều

Cho đường tròn (O) với hai dây AB và CD cắt nhau tai M Qua

trụng điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K Chứng minh rằng:

_AM?_ AK CM? CK

(Đề thi dé nghị Olympic 30-4) GIẢI

Do: MK | MS nen MK =IMS(leR) = 5 (MB +MD)

Hơn nữa: MA.MB=MC.MD=a |

>| MA 3> MK= “ ;MA-„ yMƠ (2)

MŨ = — -Ê „ ME 2MA 2MC

11

Cho hai trung tuyến AA’ va BB’ cia AABC vuông góc nhau

Chứng minh rằng: cote = 2(cotgA + cotgB)

_© AA'.BB =0

Ẳ (AC + AB)(BC ~ AB) = 0

AG BG - AC.AB + AB.BG - AB? = 0

2CA CB — 2AC AB — 2BA.BC — 2AB? = 0

a? +b? —c? +a? — b? 2 +b? —c? — a? — 2c? = 0 | a? + b? = 5c? |

es 2(cotgA + cotgB) = cotgC

12

Cho AABC có IG LIC (với I là tâm đường tròn nội tiếp và

G là trọng tâm A ABC) Chứng minh rằng:_

atbte_ 2ab (với BG=a, CA =b, AB =e)

Khi đó: GI L CI«e GI.CÏ=0

© |(2a — b— e)CÃ + (2b — a - c)CB|Ía.CA + b.CB) = 0

© a(9a—b—c)bŸ + b(2a - b— c)CA CB

+a(2b-a —c)CB.CA +b(2b-a-c)a” =0

13

Thuviendientu.org

= ab[b(2a - b~c)+a(2b-a-c)]

+[b(2a -b-c)+a(2b-a-c)|CB.CA =0 (ab + CB.CA)|b(2a —b—c) +a(2b-a—c]=0

Cho AABC, gọi O, Ildn lượt là các tâm đường tròn ngoại tiếp

và nội tiếp của AABC R, r lần lượt là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của AABC Chứng minh rằng:

(Đây là kết quả quen thuộc trong bộ đề tuyển sinh đại học

và nhiều tài liệu tham khảo khác)

r(Bài 7)

Cho AABC có độ dài các trung tuyến và bán kính đường tròn

ngoại tiếp lần lượt là m-, m., m, va R

4 OA? + OB? + OC? + 2(OA.0B + OB.OC + 0C.0A} > 0

œ 3R? + 2R? (cos 2A + cos2B + cos 2C) > 0

/ 4» 8R? + 2R?(3 — 2sin?A — 2sin°B — 2sin2C) > 0

© sin?A +sin?B + sin?C < ằ

15

Áp dụng định lý Ptoleme vào trong các tứ giác APON,

BMOP, CNOM (với M,N, P

C lân lượt là trung điểm các

16

Thuviendientu.org

Mà: , a <2R (8)

« Kẻ lJL ABtaại l

Xét AAlJ, có đAI > 45° > JIÀ = IJ > AJ

> r>p-a [wi p =F (a+b+e)]

Cho AABC, BC = a, CA = b, AB = c Gọi R` là bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác với ba cạnh là ba trung tuyến của

Gọi M,N, P lần lượt là trung

điểm của BC, CA, AB

Goi m,’, m,’, m} lân lượt là ba trung tuyến xuất phát từ Q, A, -_ Mcủa AAMAQ

18

Thực chất của BĐT (2) là chứng minh rằng với mọi AABC và

Thuviendientu.org

Cho M nam trong AABC Dat a = BMC, 3 = CMA, 7 = AMB

Chimg minh rang:

NA.sina + NB.sinG + NC.siny > MA.sina + MB.sing + MC.siny

NAsine + NBsin + NGsiny

_ NA.MA sina + NB.MB sing + NC.MC

+ (MAsina + MBsinØ + MCsin+)

Vậy: NA.sinœ + NB.sin + NC.siny > MA.sinz + MB.sin + MC.siny

Dau “=” =o M=N

21

Dựng điểm Iemp(ABC): a1A+IB+ 7IC=0

Khi đó: o(IM + MÃ) + 6(IM + MB) + (IM + M6) = ö

(a+ 6+ )IM = —(aMA + 6MB + MC)

=> IM? = x’MA? + y*MB? + z’MC? + 2xyMA.MB-

+ 2yzMB.MC + 2zxMC.MA

(wi = ae 7xiyÐE 7 viytz

= x°MA? + y*MB? + z°MC? + xy (MA? + MB? - AB?)

+ yz(MB? + MC? - BC°) + zx(MC? + MA? - CA?)

= xMA? + yMB? + zMC? - (xyAB? + yZBC? + zxCA’)

Do đó: " -

e Néu I là tâm đường tròn nội tiếp AABC thì:

IA Syrac + IB Spica + IC.Saica =0

© a.IA+b.IB+c.IC=0 Theo bài 10, ta có:

© a.MA? +b.MB? +c.MC? >abe, YM ¢ mp(ABC)

Dau “=” M là tâm đường tròn nội tiếp AABC

e Nếu H là trực tâm AABC nhọn thì:

HA Syne + HB-Ssuca + HC.Ssuan = 0

~ HA(2RsinA cosB cosC)+HB(2RsinB cosC cosA)

| | +HC(2RsinC cosA cosB) = 0

© tgA.HA + tgB.HB + tgC.HC = 0 Í Theo bai 10, tacé: _

tgA.MA? + tgB.MB? + tgC.MC?

tgA.tgB.tgC { a’ b? + c?

— tgA +tgB+tgC|tgA tgB tgCj” VM € mp(ABC)

tgA.MA’ + tgB.MB’ + tgC.MC”

> a’cotgA + b’cotgB + c*cotgC, VM c mp(ABC)

(vi tgA tgB.tgC = tgA + tgB + tgC)

& tgA.MA? + tgB MB? + tgC.MC? >4S, VM emp(ABC)

23

Thuviendientu.org

(vi a’cotgA +b’ cotgB +c? cotgC

= 8R? (sin 2A + sin 2B + sin 2C) _

= 8R? sin A sinB.sinC = 4S)

Vay: tgA.MA? + tgB.MB? + tgC.MC* > 4S, VM mp(ABC)

Dau “=” <M là trực tâm AABC

ma: ALiCM «~ AL.CM=0

@ (c.AC + b.AB)(AB - 2AC) = 0

& c.AC AB — 2ab? + be? — 2b AB.ACG = 0

«> (c—2b)AC.AB + be(c — 2b) = 0

¢> (c — 2b)(AC AB + be) = 0

= c= 2b

(vì AC.AB = becosA > - be = AC.AB+be>0)

=> AL - AB +2AC - 2(AM + AC) 38.3 3 )

=> AL’ = = (AM? + AC? + 2AM AC)

= =(2AC* + 2AC* cos A)

Gọi G là trọng tâm AABC

= GA(MG+GA) = GA MG +Ga’

Chiing minh tuong tu: ©

{Bai 13 +

Cho AABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, M là

điểm nằm trong AABC và N, P, Q lần lượt là các bình chiếu

vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

Trong đó: {S = Syasc, S’ = Sanpg

da =OM, R=OA (Công thức Euler)

GIẢI:

Trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau:

“Trong tam giác ABC luôn có:

(a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sin A sin B sinC

(Œb) S=2R?sinA sinB sinC

(c) OA sin2A + OB sin 2B + OG sin 2C =0 `

-5(2 Rsin A)(2RsinB) sin C

= 2R’? sin A sin B sin C

27

Ta có: OA sin 2A +OB sin 2B + OG sin 2C

= OB sin (x - 2C) + OC sin 2G

Từ (1) và (2) - 8,oso.OA = 8;oo¿.OB + 8,oạ;.OỞ

= sR sin 2A ÖÃ + 5 R” sin 2B.OB +2-R° sin 20.OỠ = Ũ

_ = OÁ.sin2A + OB sin 2B + OC.sin 2C = Ö

e Néu AABC tù (chẳng hạn tai A):

Goi O la giao diém cua AO va BC

Chứng minh tương tự như trường hợp

Thuviendientu.org

Tw (3) va (4) => S,oso.OA = S;ocạ OB + Sroan OG

=> SR sin 2A.0A = ; R? sin 2B.OB +R? sin 2C.06

= OA sin 2A + OB sin 2B + OC.sin2C = Ö

- Quay lại bài toán:

|MAB =ứ,, MAC =a,

Ta có: S’=S ara + Sune + Sane

= s (MA? sin A sin œ, sin a, + MB? sinB.sinB, sin B,

+ MC’ sinC siny, siny,)

=2 [MA? sin A cos (a, ~a,)+ MB’ sinB cos(f, - B,) + MC? sin C cos(Y, - v,)] | |

- S (MA? sin 2A + MB? sin 2B + MC?sin2C) (6)

S = Soup + Senna + Sean

= = [Ma? (sin 2a, + sin 201, ) + MB? (sin 2B, + sin 28,)

| + MC? (sin 2y, +sin 27.) |

; [ MA’ sin A cos (a, — 4.) + MB’ sin B cos (B, - B,)

+MC”sinC.eos(y,+†;)| (6)

Từ (5) và (6)

= 8= +s - = (MA? sin 2A + MB’ sin 2B +MC*sin 2C) (7)

30

Hơn nữa: MA?sin2A + MB’ sin 2B + MC? sin 2C

= (MO + OA) sin 2A + (MO + OB) sin 2B + (MO + OG) sin 2C

= MO?(sin2A + sin 2B + sin 2C) + R”(sin 2A + sin 2B + sin 2C)

+2MO (OA sin 2A + OB sin 2B+ OC sin 2C)

Cho AABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Tìm quỹ tích

những điểm M nằm trong đường tròn sao cho dây cung đi qua

M la AA’, BB’, CC’ théoa man hệ thức: ;

(Do giả thiết)

Ngược lại, trên đường tròn đường kính OG ta lấy điểm M tùy ý

Vi OG = |R?-= (a? +b’ +c’) <R

Nên đường tròn này hoàn toàn chứa trong đường tròn tam O

= M nằm trong đường tròn O :

Vì M thuộc đường tròn đường kính OG nên OM? + MG? = OG’

Do đó theo cách chứng minh ở chiều thuận ta có:

2 B? 2 (a? +b? +c?

, MA + MB’ + MC _( Ì pe 2 (at ap? +e’)

<> MA? +MB’ +MC* = 3(R* - OM’)

- Goi A’, B’, C’ lan lugt 14 giao diém cua MA, MB, MC với đường

tròn tâm O Từ đó suy ra:

MA + MB + MC _ MA” + MB? +MC?

MA’ MB MC' R® — OM?

Ta dễ thấy ring, khi AABC déu thiO = GsuyraM = 0 =G

Còn khi AABC không đều thi O 4G nén ton tai dujng tron

đường kính OG

Vậy: s Khi AABC đều thì M z O z G

« Khi AABC không đều thì quỹ tích của M là đường tròn đường kính OG

(a) Goi O la tam đường tron ngoai tiép AABC

MA? = (MO+OA) + MO* + 0A? +2MO.0A

33

Thuviendientu.org

MB? = (MO + 0B) = MO? + OB? + 2M0.0B

— ——2 —_—_ ——_

MC? = (MO + 6C) = MO? + OC? + 2M0.0G

Suy ra: 3MA? = 2MB? + MC? |

© 2MO (30A - 20B - OC) = 0

& MO(2AB + AC) = 0

‘Vi 304A - 20B - 0G = -2 (AO + 0B) - (AO + 06)

= ~(2AB + AC)

‘Vay quy tich cdc diém M 1a đường thẳng

qua O vuông góc với vectơ ï= 2AB+ AC

(b) Ta có: MA? - MB? +CA? -CB? =0

<> (MA + MB) (MA - MB) +(CA - CB) (CA +B) = o

<= 2MI.BA+2CI.BA=0 (véil trung diém AB)

(Dé thi dé nghi Olympic 30-4)

x+y? +2”

(b) 1 cos 2A wi cos2B +2 cos 2C > —

x y Zz 2xyz

2 Cho diém M nam trén đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

ABC Chứng minh rằng giá trị của 5 = MA* + MB* + MC*

không phụ thuộc vào vị trí của M

` (Đề thi Olympic toán Quốc gia)

8 Gọi A,, B,, C, lần lượt là các điểm đối xứng của A, B, C của

AABC qua các cạnh BC, CA, AB tương ứng Chứng minh

rang A,, B,, C, thang hang

<= cos A.cos B cos C = -=

(Tap chí “Toán học uò Tuổi trẻ”)

°

4 Cho tứ giác lổi ABCD Goi G,, G,, G,, G, lần lượt là các

trọng tâm của AABC, ABCD, ACDA và ADAB và tứ giác ABCD Chứng minh rằng G là trọng tâm tứ giác GG,G.G 2~8"4'`

5 Cho AABC cân tại A, D là trung điểm cạnh AB, I là tâm

đường tròn ngoại tiếp AACD Chứng minh rằng IE L CD

(Đề thi Olympic Toán Anh)

đỗ

Thuviendientu.org

6 Cho AABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng

1 va BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng với mọi

điểm M nằm trong AABC, ta luôn có:

a2? + c? + a?)MA + bf(c° + a? ~b?)MB + ca? + bỶ + c)MC > (abe?

7 Cho AABC đều cạnh 2006 Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn:

A Các bài toán căn bản

-{ Bài 1 }

Cho AABC Chứng minh rằng:

(a) = = sin A sin B sin c (Đại học Ngoại ngữ Hà Nội

Thuviendientu.org

Pp: R (sin A + sin B + sin C)

3+ cos A + cos B + cos C sin A + sin B + sin C

(1+cosA)+ (1+ cos B) + (1 + cosC)

A B 4cos “> cos | COS 5

2 2 2 2 2

89

= 2R’sin A.sin B(sin A.cosB + sin B.cos A)

= 2R? (sin’ A.sin B.cosB + sin® B.sin A.cos A)

Ta có: 1, = p.te> = R(sinA +sinB + sinC) tg >

= R4cos A COS 5 cos c tg A

2 2 2 2 (vi sinA +sinB+sinC = 4cos —.cos—.cose )-

(ban doc tu kiém tra)

8RẺ sin A.sin B.sin C 4R” (sin A + sin B + sin C)

2Rsin A.sin B.sin C

Thuviendientu.org

=^ T,†+h+r,-T = 4Reos (sin coe 8 + sin, cos]

Ch A B A B + 4Rsin—| cos—.cos— — sin —.sin —

2 2 2 2 2 A+B

+ sin

.B_ C B 5 sin —.sin— — cos—.cos—

2 2 B+C

Thuviendientu.org

Ta cé: BG? AB? + AG? - 2AB.AG cosa _

C? + AG? - 2AB.AG sin a cot ga

C? + AG? - SN gơ C? + AG? -sẽ cot ga

Vậy: cotgœ + cot gB + cot gy = -sía” +b’ +c’)

Hơn nữa: c1 - a?a? + b.b? > c?2.a? + ob?

=>? <a’+b? = c? +2ab.cosC ©

=> cosC > 0 |

= C nhon Vay A, B, C déu nhọn

45

Vậy: tgA.tgB = 2sin” C

(a) Ta có: b?_c? - 4R° (sin” B-sin? C)

= 4R’ [Fa ~ cos 2B) - sũ ~ cos 20)|

ee

47

(a) sin? sin’ = =

Thuviendientu.org

2 1,

~ be , Hơn nữa: sin B.sinC = —

a

= 4sin—.sin—.cos—.cos— = —> |

2 2 2 a C be be

Cho AABC, MN e BC sao cho BH = MN = NC

Dat BAM = x,MAN = y, NAG =z | Chứng minh:

(cotgx + cotgy)(cotgy + cotgz) = 4Ñ + cotg*y)

49

Cho AABC thỏa p°=h,h, +h,h, +h,h, (1

50

Bai 12 Cho AABC Chứng minh rằng:

GIAI 2(b? +c?) - a? ` (b+e}`-a?

8uy ra: m,.m,.m, > pp(p-a)(p-b)(p-c) = pS:

Dấu “=” AABC đều

_ ta) | Ta có: ĐaABc = ĐaApp † ĐaAnc

=> 2 be.sin A = Tạ sia^2 + lpị sinÂ

2 2 2 2

52

Cho AABC có h,,h,,h, eNÑ; và r = L

B-C 5, Bre = 4sin%.cos =

<> 2c0s c© sin B + sinC =2sinA

= be = 2a

55

= 5(1-c08A) += (1-cosB) + sin*S

= 1-5 (cos A + cosB) + sin*

= 1—sin © cos — +sin? C

Thuviendientu.org

Cho AABC và điểm M bất kỳ nằm trong AABC Chứng minh rằng:

MA cos + MB cos + MC cos = >P

2

A, Ay + 2MBcos

2MA cos Ay 5 Âu CO8

+ 2MC cos

lA 2{ MA cos + MB cos +MC cos S|

Vay: MA cos + MBeos= + MC eos >P

Déu “=” © M = Tâm đường tròn nội tiếp AABC