Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1.. Gọi M là trung điểm đoạn CD.. Chứng minh rằng mặt phẳng SBM vuông góc với mặt phẳng S
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
− +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1
1
x
m x
+
=
− +
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2sin2 2 3 cos 4 3 4sin 2
π
2 Giải bất phương trình: (2x2 −7 2x) x2 −11x+14 0≥ (x∈¡ )
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
2 2 0
I =∫x 4 - x dx2
Câu IV(1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có độ dài AB = a 2, BC = a Gọi M là trung điểm đoạn CD Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBM) là α = 60 0
1 Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC)
2 Tính thể tích tứ diện SABM theo a
Câu V(1,0 điểm)
Tìm m để bất phương trình: 2 ( )
log x + <2 log mx m− có nghiệm thực
Câu VI(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường
thẳng d1: x – 3y - 2 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng d2: 2x – y + 6 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3; 2)
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và mặt phẳng (
α): x + 2y + 3z + 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (β) đi qua A, B và vuông góc với (α)
Câu VII(1,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z z− + −1 2i =3
- Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Chữ kí giám thị:
Trang 2TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
Tổ: Toán
*** ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011
MÔN: TOÁN; KHỐI: D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
I
(2,0 đ)
1 (1,0 điểm)
* Tập xác định: ¡ \ 1{ }
* Sự biến thiên:
2
1
x
−
⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1 và 1;+) ( ∞)
0,25
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn, tiệm cận:
Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
Do đó đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang
0,25
Bảng biến thiên:
+ +
-1
-1
1
- ∞
+ ∞
+ ∞
- ∞
y
y'
x
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục hoành tại điểm (-1; 0)
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I(1; -1) của hai tiệm cận
0,25
2 (1,0 điểm) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 ( )1
1
x
m x
+
=
− +
Trang 3Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị 1 ( )'
1
x
x
+
=
− +
0,25
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị 1
1
x y x
+
=
− + và đg thẳng y = m. 0,25 Suy ra đáp số: m< −1;m>1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
m=1: phương trình có 1 nghiệm
− ≤ <1 m 1: phương trình vô nghiệm
0,5
II
(2,0 đ) 1 (1,0 điểm) Giải phương trình: 2sin2 2 3 cos4 3 4sin2 ( )1
π
( )1 1 cos 4 3 cos 4 3 4sin 2 3 cos 4 sin 4 2 1 2sin( 2 )
π
cos 4 sin 4 cos 2 cos 4 cos 2
π
6
k
2 (1,0 điểm) Giải bất phương trình: (2x2 −7x) 2x2 −11x+14 0 1≥ ( ) (x∈¡ )
( )
2 2 2
⇔ − + >
− ≥
0,25
7 2;
2;
2;
7
0;
2
⇔ ≤ < ≥> ⇔ ≤ >
0,5
7
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là: ( ;0] { }2 7;
2
+∞÷
0,25
Trang 4(1,0 đ) (1,0 điểm) Tính tích phân
2 2 0
I =∫x 4 - x dx2
Đặt x=2sin ,t t∈[ ]0;π ⇒dx=2costdt
Khi x - 0 thì t = 0, khi x = 2 thì
2
t =π
0,25
1
2 sin 2 sin 0
2 2
IV
(1,0 đ) 1 (0,5 điểm) CMR mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
a
a 2
α
I M
B A
S
2
MC CB
BC BA
MCB
⇒ ∆ đồng dạng CBA∆
90
CAB MBC CAB IBA
AI BI
* Mặt khác BI ⊥SA
nên α =AIS 60 và BI· = 0 ⊥(SAC)
Do đó (SBM) (⊥ SAC)
0,25
0,25
2 (0,5 điểm) Tính thể tích tứ diện SABM theo a.
2 2
AMB ABCD ADM BCM
3
ABM
AI
BM
∆
0,25
3
a
V
(1,0 đ) (1,0 điểm) Tìm m để bpt: 2 ( ) ( )
log x + <2 log mx m− 1 có nghiệm thực
1
1
x
m x
>
>
1
2 1
x
II x
m x
<
<
(x = 1 không thỏa mãn)
0,25
2
, 1; '
( )
f x = ⇔ − − = ⇔ = −x x .
x f x x f x x − f x x + f x
0,25
Trang 5Ta có bảng biến thiên:
-+ ∞
1
+
f '(x)
f (x)
x
- 6 3
- ∞
-2
-1
+ ∞
-0,25
Lập luận đưa ra được kết quả ; 6 (1; )
3
∈ −∞ − ∪ +∞
VI
(2,0 đ)
1 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng AC
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 2) nên có pt: a x( − +3) (b y−2) =0(a2+b2 ≠0)
Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :
( )
( ) ( )
2.1 1 3
a 3b
−
=
0,25
2
2
a
= −
=
0,25
Với a = -2b, chọn a = 2, b = -1, ta được phương trình AC: 2x - y - 4 = 0
(loại vì AC // AB)
0,25
Với a =
2
b
, chọn a = 1, b = 2, ta được phương trình AC: x + 2y - 7 = 0 0,25
2 (1,0 điểm) Lập phương trình mặt phẳng ( )β
Lập luận để chỉ ra được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )β là n= AB n, α
r uuur uur 0,25
Khẳng định mặt phẳng( )β đi qua điểm A và có một vtơ pháp tuyến nr =(1; 2;1− ) 0,25
Phương trình mặt phẳng ( )β : x - 2y + z - 2 = 0 0,25
VII
(1,0 đ)
(1,0 điểm)
Biểu diễn số phức z = x + yi(x y, ∈¡ bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ)
Oxy, ta có: z z− + −1 2i = ⇔ +3 1 2(y−1)i =3 0,25
2
( )2
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục
hoành y= ±1 2
0,25
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Hết
