Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I.. Gọi E là trung điểm của DH.. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.. Chứng minh
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2011 (Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (1,5 điểm)
Phân tích đa thức 4(1 + x )(1 + y )(1 + + x y ) 3 − x y2 2 thành nhân tử
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2 x2 + 7 x + 10 + 2 x2 + + = x 4 3( x + 1)
b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
+
+
=
+
2 2 2 2 2 2
4
1 4 4
1 4 4
1 4
x
y x y
z y z
x z
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :
2011 2011
x y
y z
−
− là số hữu tỉ và
2 2 2
x + y + z là số nguyên tố
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 20 y2 − 6 xy = 150 15 − x
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I Gọi
E là trung điểm của DH Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q
a) Chứng minh PI.AB = AC.CI
b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C) Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR
Câu 5 (1,0 điểm)
a) Chứng minh 1 1 2
1 x + 1 y ≥ 1 xy ∀ x y >
+ + + thỏa mãn xy ≥ 1.
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1
2 ≤ a b c ≤ Chứng minh
22 15
a b b c c a + + ≥
………Hết………
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………
Chữ kí của giám thị 1:………Chữ kí của giám thị 2:………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC