Câu 5: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:
−
= + +
= + +
3
6 2 2 2
ca bc ab
c b a
(I) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a6 +b6 +c6
HD: Từ hệ (I) ta có:
−
=
−
= +
⇔
− +
−
=
= + +
3 3
) (
0
2
a bc
a c b c
b a bc
c b a
Suy ra b, c là hai nghiệm của phương trình t2 +at+a2 − 3 = 0
2 2
0 12
3 2 + ≥ ⇔ − ≤ ≤
−
=
Vai trò của a ,,b c như nhau nên − 2 ≤a,b,c≤ 2
Ta có P=a6 +b6 +c6 = (a3 +b3 +c3 ) 2 − 2 (a3b3 +b3c3 +c3a3 )
a3 +b3 +c3 = (a+b+c) 3 − 3 (a+b)(b+c)(c+a) = 3abc
a3b3 +b3c3 +c3a3 = (ab+bc+ca) 3 − 3 (ab+bc)(bc+ac)(ac+ab) = − 27 + 3 (abc) 2
) 3 ( 3 54 ) ( 3
=
P= 54 + 3 (a3 − 3a) 2
Xét hàm số f(a) =a3 − 3a với − 2 ≤a≤ 2
f' (a) = 3a2 − 3 = 0 ⇔a= ± 1
a -2 -1 1 2
)
(
' a
f + - +
)
(a
f 2 2
-2 -2 Suy ra f(a) ≤ 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P= 66 khi và chỉ khi
−
=
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
−
=
=
=
−
=
1
;
2
) 1
; 2
; 1 (
; 2
;
1
;
1
) 1
; 2
; 1 (
; 2
; 1
;
1
1
;
2
c
b
a
c b
a c
b
a
c b a
c b
a
c b
a