Bài giảng mặt cầu

Bài giảng mặt cầu

Bài giảng số 6 HÌNH LẦU!

Bài giảng này để cập đến những bài toán cơ bản thường gặp của hình cầu

trong hình học không gian, cũng như trong hình học giải tích không gian Mặc dù trong các đề thi toán vào các trường Đại học, Cao đẳng trong những năm 2002-

2009, các bài toán hình cầu có mặt trong các bài toán hình của đề thi chiếm một tỉ

lệ rất khiêm tốn khoảng 10%; nhưng các nội dung về hình cầu (trong hình học không gian và hình học giải tích không gian) vẫn có mặt trong chương trình thi tuyên sinh môn Toán trong các kỳ thi tuyên sinh vào Đại học và Cao đăng do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định

Bài giảng có hai phân

- Hinh câu trong hình học không gian

- Hình câu trong hình học giải tích không gian

§1 HÌNH CÀU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN

1 Các kiến thức cơ bản

a Phương trình mặt cáu

- Mat cau tam tai diém I(xo; yo; zo) và bán kính R là

(x ~ Xo)" + (y = yo) + (z— ay =R’

- Phương trình mặt cầu tông quát có dạng:

x+y? +z" + 2ax + 2by + 2cz+d=0,

voi a° +b? +c°-d>0

Dưới dạng này thì tâm mặt câu là | (—a; -b; —c) và

bán kính của nó là:

R=vaˆ+bˆ+c?-d,

b Vị trí trơng đói của mặt câu và mặt phang

Cho hình cầu (S): (x= xạ} +(y—yạ}“ +(z—zạ}“ =R? và mặt phẳng (P):

Ax+By+Cz+D=0

|Axo + Byạ + Czạ + DỊ

= : là khoảng cách từ tâm I của (S) tới (P) vVA?+B?+C2

- Néu h>R thì (S) và (P) không cắt nhau

-Nêuh = R thì (S) và (P) tiệp xúc với nhau ,

- Nêu h<R thì (S) và (P) cắt nhau theo một giao tuyên là một đường tròn

Khi đó: h=

97

Hình c

ló tâm K của đường tròn giao tuyên chính là hình chiều vuông góc của trên (P), còn bán kính r của hình tròn giao tuyên đó xác định như sau:

r=vVQR?-hˆ,

-ác dạng toán cơ bản

ại 1: Viết phương trình mặt cầu:

- viết phương trình mặt cầu người ta sử dụng hai phương pháp chính sau:

Xác định tâm ] của mặt cầu và bán kính của nó -

: Sử dụng phương trình tổng quát của mặt cầu

-ách 1/ sử dụng khi việc xác định tâm Í và bán kính R là tương đối dé dang

ụ như trong các bài toán: Việt phương trình mặt cầu tiếp xúc với một mặt

g nao đó)

Cach 2/ sir dung trong các trường hợp khi 1/ khó sử dụng Đề sử dụng được

ì này ta can thiết lập một hệ phương trình mà ân sô là các tham sô a, b, c, đ

ig phương trình tông quát của đường tròn can tim

Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi D ~ 2004)

Cho ba diém A (2;0;1), B (1;0;0), C(;1;1) và mặt phẳng (D): x + y + z~ 2 = 0

iết phương trình mặt cầu di qua A, B, C và có tâm thuộc (P)

Giải

Giả sử phương trình tổng quát của mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc (P) là (S): x? + y? +z + 2ax + 2by + 2ez+d =0, voi a? +b? +07 >d (1)

Khi đó tâm ctia (S) la diém I (—a; —b; -c)

Theo bài ra ta có hệ phương trình sau để xác định a, b, c, đ:

98

-a-b-c-2=0 (2)

Giai hé (2) (3) (4) Š) và có a=—l; b= 0; c =-l; đ=]

Thay vao (1) suy ra mặt cầu (S) có phương trình là

x°+y2+z?+1=0

©(x-JŸ+y?+(z-1Ÿ =1

Vậy (S) là mặt cầu tâm I(1;0;1) và bán kính R=l

Chú ý:

Lập phương trình mặt câu (S) có tâm thuộc đường thăng:

-l=0

Ti“

y-2=0

và cắt mặt phẳng (P): y-z=0 theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4

Vì mặt cầu (S) cắt (P) theo thiết điện là đường tròn lớn, nên tâm Ï(xo; yo; Zo) cla (S) nằm trên (P) và bán kính R của (S) cũng bằng 4 Như vậy ta có hệ phương trình:

Yo-2=0 Syyo=2 Yo- Zo = =0 Zp =2 Vay (S) co phuong trinh (x + 1 t+(y- 2)" +(z-2)'=16

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi D-2008) -

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bon diem A(3;33;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) Viet phương trình mặt câu đi qua bồn điểm A, B, C, D

Giải Gọi phương trình mặt cầu phải tìm là:

x°+yŸÏ+z +2ax + 2by + 2cz + d =0 (1)

Vì mặt cầu qua A, B, C, D nên ta có hệ phương trình sau:

Từ (2) (3) (4) suy ra a = b = c, vậy ta có hệ sau:

18+12a+d=0 a=——

c©

27+18a+d=0

Thay vào (1) ta có:

x?+y2+z2+3x— 3y —3z =0 là phương trình mặt cầu cần tim

99

Thí dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2005)

Trong không gian cho hình lang tru ding ABCD.A,B,C,D, voi A(0; —3;0),

B(4;0;0), C(0;3;0) va B,(4;0;4) Sa -

Việt phương trình mặt cau co tam A va tiếp xúc với mặt phẳng (BCC;B,)

Giải

Dễ thấy A; =(0; -3:4) và C,(0;3;4) Mặt phẳng (BCC;B,) nhận BC = (~4;3;0)

và BB, = (0:0:4) làm cặp vectơ chỉ phương Do đó vectơ pháp tuyến n của nó xác

n -[8c.28,]- J0 -4| |-4 3

04|Jt 0||0 0

Rõ ràng (BCC;B;) đi qua điểm (4;0:0) nên mặt phẳng này có phương trình:

Vi hinh cau tam A ti€p xuc voi (BCC|B)) nên khoảng cách từ A toi mat phang này chính là bán kính R của hình cầu ta có:

_ |3.0+4(-30-12] 24

5

dinh nhu sau:

]=d2I60wGse,

R =d(A,(BCC,B,)) = =

Vay mat cau (S) cần tìm có phương trinh: x? +(y -3) +Z = Sie

Thi du 4: (Dé thi tuyên sinh Cao đẳng Kinh tế Xĩ thuật I — 2004)

Trong khong gian voi hé toa dO Oxyz, cho bon diém S(2:2;6), A(4;0:0),

B(4:4;0), C(0;4:0

1/ Chứng minh rằng S.ABCO là hình chóp tứ giác đều

2/ Việt phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO

Ta có OA = (4;0;0);CB = (4:0;0), vay

OA =CB

Ta lai cé: AOC =90° => OABC Ia hinh

chit nhat Dé thay OA = OC = 4 >OABC

là hình vuông

y Do S(2:2:6) nên hình chiếu của S trên (xOy) là I(0 :0 ;6) là giao của OB và AC Theo định nghĩa S AOCB là chóp tứ giác đều => đpem

2/ Tâm K của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

tứ giác đều phải nằm trên SI, do đó: K = (2; 2; t)

Ta có: KS = KO© KS? ~ KO © (t= 6)' =37+2”+ co t2,

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có phương trình:

&~2Ÿ +(y~3 +[z~3) =a

100

H

Đó là mặt cầu có tâm tại điểm K [22-2] va ban kinh R = 3"

“

Chú ý: Có thê làm câu 2 như sau:

Tâm K phải tìm là giao điểm của SI và mặt phẳng trung trực của SO

x=2

SI có phương trình 4 y = 2

z=t

SỐ =(2:2:6) Mặt phăng trung trực của SO nhận SƠ là vectơ pháp tuyến và

đi qua trung điểm H = (I;1;3) của SO, nên nó có dạng:

2(x—l)+2(y-l)+6(-3)=0 © x+y+†3z-11=0.(1)

7

Ta có: K=(2; 2; 3 ), và thay vào (1) ta có: 3-7 = 0 <>t “2,

Vay K = (2:3; : ) Từ đó thu lại kết quả trên

Ti dụ Š

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phăng (P): 2x +y—z+ 5=0

và các điểm A(0:0:4) và B(2 ;0:0)

Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với (P)

Giải Gọi M là trung điểm của AB thì M = (1:0;2) Tam 1

của mặt cầu đi qua O, A B nằm trên đường thăng vuông

góc với (xOy) tại M, do đó [ = (1; t; 2)

Vì mặt cầu tiếp xúc với (P) nên:

IO = d(I, P)

|2+t-2+5}

v6

«©6(5 +t) =(t+ 5} ©(t— =0 ©t=1

Vậy I(1;1:2)

Mặt cầu cần tìm có phương trình:

(x~ 1)? +(y~ 1)? +(z~2)'= 6

Thi du 6

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm

x+y+z+l=0

S+tt=

năm trên đường thăng d |

x-y+z-l=0

và tiếp xúc với hai mặt phang: (P): x + 2y + 2z+3 =0 va (Q): x + 2y + 2z+7=0

Giai Goi I (X03 yo; Zo) fa tam hình cầu can tim Khi đó I e (đ) nên ta có:

Xy +¥g9 +Zy+1=0 (eres ~1=0

Tur do suy ra: Xo + yo= O © Z| = —Xy VA Yo = ~1 Vậy Ï (xo; —l; —Xo)

101

Do mat cau tiép xúc với (P) và (Q), nên ta có:

R= d(, (P))= d(1, (Q))

[xq —2-2x9+3| |xạ =2-2xọ + 7|

l—Xạ =Š—Xọg

l—Xạ =Xạ~5

Vậy I=(3; —l; —3) và lúc đó R ==

Do đó mặt cầu (S) có phương trình: (x— 3)”+ (y + 1)°+ (z+ 3)=

Việt phương trình mặt cau có tâm tại điểm I (2;3; —1) và cắt đường thăng:

d: 5x — 4y +3z+20=0

đa rang

tại hai điểm A, B sao cho AB=16

Giai

Ké 1H 1 AB thi HA=HB=8

Đường thăng d có vecto chi phương là:

- (1-4 -4

| -4 WN 3713-4

at Ngoài ra d đi qua diém M(11:0; -25) Từ đó:

h

Do IM =(9; —3; —24), nén

-3 — 24) |-24 9| |9 —3

—30 30 -15

Do đó bán kính R của hình cầu là: R = VIH? + HA? = 2254 64 =17

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là: (x-2)”+(y-3)”+(z+1)“=289

Ta có bài toán tương tự: Cho điểm I(1;2; -2), đường thăng:

2x-y-5=0

đ:

y-z+3=0 ,

va mat phang (P): 2x + 2y +z+5=0 ,

Viết phương trình mặt cầu (S), tâm Ï sao cho (P) cắt (S) theo đường tròn giao

tuyến có chu vỉ bằng 8z

102

Dễ thấy đường tròn giao tuyến có bán kính r = 8, nên bán kính mặt cầu R = 5

Loại 2: Các bài toán liên quan đến tiếp diện của mặt cầu

Đề giải bài toán này chỉ cân lưu ý rằng: Mặt phăng (P) tiếp xúc với hình cầu (S) tâm I, bán kính R khi và chỉ khi:

d(1,(P)) = R

Thi du 1: (Dé thi tot nghiệp THPT — 2005)

Trong không gian cho mặt cầu (S): x”+ y”+ z”—~ 2x + 2y + 4z — 3 = 0 và hai đường thắng:

Viết phương trình tiếp diện với mặt cau (S), biét rang nó song song voi dy va db

Giải

‹+2y-2=0

Viết lại (S) dưới dạng:

AD Hy tt et 2 = 9

Vay (S) là hình cau tam I(1; -1; -2) va ban kinh R = 3

2 0/10 Iii 2

5 ; = (—4;2;-2)//(2;-1;1)

im -2 1 | 1) ( Mi )

dị có vectơ chỉ phương uị = Í

d; có vectơ chỉ phương uy =(-1;1;1)

Vậy tiếp diện (P) nhận u, va u, lam cap vecto chỉ phương, nên (P) có vectơ

pháp tuyến là;

a -L UW 2} 12 -1

n=[ u¡,u; ]= Í kt Ae J} 2-anneis-o

Vậy (P) có dạng: 2z+3y-z+D=0

Vi (P) là tiếp diện với (S), nên d(1,(P))=3

|¿-3+2+D| D=314 -I

2 ———————=3<>|D+]Ì =3⁄14c Tia Dey De 34-1

2x +3y -z+3V14-1=0 2x +3y-z-3V14 -1=0

Vậy có hai tiếp diện cần tìm:

Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng:

d Ty x-y-2z=0

và tiếp xúc với mặt cầu (S): xÌ+ y+ z+2x— 6y +4z— 15 =0

Giải

Viết lại (S) dưới dạng: (x + 1) + (y — 3Ÿ + (z + 2)'= 29

Vậy (S) có tâm tại I(—1;3;2) và bán kính R= 29 Tiép diện (P) chứa d nên nó thuộc “Chùm mặt phăng”:

œ(§x—11y+8z~30)+ B(x -y—2z)=0 với g”+ B? >0

103

& (8a + B)x +(—11ø— B)y + (8a—2 B)z- 30a =0 (1)

Do (P) tiếp xúc với (S) nên: d(1(P))= v29

° |_8œ - B~ 33a - 3B - 16œ + 48 — 30B| - J29

\(8o +B)’ +(11a-B)” + (8a - 2ð)”

2

> 87| |= 29/2490? + 6B +6aB © 2ø? +2œB~B =0 |5] -{£}-1-0 : (vì nếu B= 0 = a=0, v6 li)

+ Néu a7 thì chọn œ= =1 và có (P): 3x— 4y + 2z~— 10 =0,

+ Nếu 505 thi chon ơ = 1; B=~2 và có (P): 2x— 3y + 4z~ 10 = 0,

Loại 3: Các bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng với hình cầu:

Thi du 1 (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D - 2008) -

Trong không gian với hệ tọa độ Ôxyz cho bon diém A(3;3:0), B(3;0;0),

1/ Viét phuong trinh mat cau di qua bon dinh A, B, c,D

2/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

1/ Xem thi du 2 loai 1, §1

¬ xe od 3Ý 3Ý 3\ 27

Phương trình mặt câu (S) là: |x-—| +|y-~| +|Z-=] =T.-

tiàu 688 c2] +[y s2] *[2nŸ) Tủ

Đây là hình cầu có tâm tại điểm (3:33 va ban kinh =

2/ Mặt cầu (S) cắt mặt phăng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn Đường tròn này chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tâm H của nó chính là hình chiếu của I lên (ABC) Dễ thấy (ABC) qua A, B, C nên có phương trình:

x+y†+z-6=0

Đường thăng IH nhận vectơ pháp ñ=(1;1;1) của (ABC) là vectơ chỉ phương

nên có phương trình

3 K=ẽ=—+t 2

sẽ Tự

v3

3

z=—+t 2

Từ đó suy ra H(2:2;2)

104

Nhận xéi

1/ Cách giải trên chính là cách giải "truyền thống” để tìm tâm của hình tròn

giao tuyến do mặt cầu (S) cắt bởi mặt phăng (P)

2/ Tuy nhiên, với thi dy trên có cách giải rất độc đáo sau đây:

Dễ thấy ABC là tam giác đều cạnh bằng 3, nên tâm đường tròn ngoại tiếp H của nó cũng chính là trọng tâm của tam giác ABC vì thế:

Ha (2EERO, 22043, 08322) _ (2,212)

Thi du 2:

Trong khong gian voi hệ trục tọa độ Ôxyz cho hai „mặt cầu:

(SJ):x +y +z —2z= 0 và (S›): x? + y +z?-4z=0

1/ Chứng mình (S,) va (S2) cắt nhau

2/ Gọi (S) là đường tròn giao tuyến của (S¡) và (S›), xác định tam va tim ban kính của (S)

Viết lại (S,) và (S:) dưới dạng sau:

(Si): xX +y? + (z= 1Y = 1; (Sx + (y-2P +274

Vậy (S¿) là hình cầu có tâm tại điểm I,(0:0;1) và bán kính R,=l,

(S›) là hình cầu có tâm tại điểm I›(0;2;0) và bán kính R›=2

Ta có l¡là = N1 - Do đó: Rị— R›<l¡ls›< Rị + R:

Vậy (S4) và (S›) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C)

2/ Các điểm M (x; y; z) € (C) thoa man hệ phương trình

5 x? +y?4+z7-22=0 x? +y? +Zz7 ~4z=0

Vay duong tron giao tuyén (C) nam trong mặt phăng (P): 2y-z=0

Taco Il, | (P) và giao điểm K cũa l1; với (P) chính là tâm của đường tròn giao tuyến (C)

x=0

Vi FL, =(0;2;-1) nén til có phương trinh:4 y = 2t

z=l-t

Do đó K (0; 2t; 1 —t) € (P) nén taco Phương z trình sau để xác định t

4t-l +t=0 eine

Vay K= C — 2) là tâm của (C)

Š 5 Bán kính r của VRE xác định như sau: L-

r= JR? -1,K? ~1,K?

2 2

Do R,=1, con 1K? -(2 (3

105

Từ đó suy ra: r= 2š

Thi du 3:

Tìm điểm A trên mặt cầu (S) x?+y? +z?—2x+2z—2 =0 sao cho khoảng

cách từ A đến mặt phăng (P) : 2x-2y+z+6 là lớn nhất, nhỏ nhất

Giai —- (a) Dua (S) vé dang sau: (x — lÝ+ y'+(@+I}=

4

Vậy (S) là mặt cầu tâm tại I(1;0; —1) và bán

kính R=2

Đường thắng (d) qua I nhận vectơ pháp tuyến n=(2;-2;l) của (P) là vectơ chỉ

x=l+2t

ko ⁄⁄ phương nên nó có dạng: d:< y = —2t

z=l+t

Tìm giao điểm của d với mặt cầu (S) thông qua phương trình sau:

(14 2t-1) +(-2t) +(1+t-1) =4 @9P=4 ot= +

Khi t=2, ta có giao điểm A = (2-451),

Khit =-5, ta có giao điểm B -(-4:-§]

1

d(A,(P)) “= va d(B,(P)) =

Vay A, B tương ứng là điểm trên mặt cầu (S) xa và gần (P) nhất

Loại 2: Vài bài toán về hình câu có tham so

Thí dụ ï :

Cho họ (Sạ) xác định như sau: (Sm): xỶ + y” +z” ~ 4mx - 2my — 6z + m” + 4m =0 1/ Tim m dé (S,,) 1a phương trình của mot mat cau ;

2/ Chứng minh các tâm lạ của mặt câu (S„) luôn năm trên một đường thăng

cố định (với các giá trị m tìm được ở câu l)

Giải

1/(Sm): (x- 2m)” +(y ~2}” +(z-3}” = 4m? -4m +9

Ta nhận thấy 4m? -4m +9 >0 Vm e |R (vi A’= 4-36<0)

Vậy với mọi giá trị của m, thì (Sm) luôn là phương trình của một mặt câu với

tâm: I„(2m; m; 3)

x-2y=0 2/ Goi I(x; y; z) la tam cua (S,,), tir phan 1/ ta cé: ; (1)

z=

Vậy tâm của mặt cầu nói trên với mọi m luôn nằm trên đường thang cố định

106