so phuc(cuc hay)

Vậy tập số thực là con của tập các số phức.. Số phức liên hợp và modun của số phức 1 số phức liên hợp Định nghĩa: Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là z=a−bi... Cộng trừ 2 véc tơ là bi

SỐ PHỨC

I Định nghĩa và các phép toán về số phức

Định nghĩa 1: Số phức là một biểu thức có dạng a+bi với a, b là những số thực và i thỏa mãn i2 = − 1 Ta kí hiệu z=a+bi

Như vậy C={a+bi|a,b∈R}

i gọi là đơn vị ảo, a là phần thực, b gọi là phần ảo

Nhận xét:

1) Mỗi số thực x được viết dưới dạng số phức là: x 0+ i Vậy tập số thực là con của tập các

số phức

2) số phức có phần thực bằng 0 được viết dưới dạng 0 + yi và được gọi là số ảo

Ví dụ: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

i

z = 2 − 3 , z= − 3i, z = 2 + 1, z = 2 − 1 +( 2 + 1)i

Định nghĩa 2: Hai số phức z1 =a1 +b1i, z2 =a2 +b2i bằng nhau khi và chỉ khi a1 =a2 và b1 =b2.

Đặc biệt z=a+bi bằng 0 ⇔ a= 0 ,b= 0

*) Các phép toán về số phức:

1) Phép cộng 2 số phức

Cho hai số phức z1 =a1 +b1i, z2 =a2 +b2i và k∈R ta có:

(a b )i b

a

z

z1 + 2 = 1+ 1 + 2 + 2

(b b )i a

a

z

z1 − 2 = 1− 2 + 1− 2

Phép cộng 2 số phức có tính chất kết hợp, giao hoán, cộng với số 0, số phức z=a+bi có số phức đối là z, = −a−bi Vậy z+z, = 0

2) Phép nhân 2 số phức:

Cho 2 số phức z=a+bi và z, =c+di ta có : zz, =ac+bd +(ad−bc)i

Nếu z, =k+ 0i thì kz =ka+kbi

Phép nhân hai số phức có tính chất kết hợp, giao hoán, nhân với số 1 và tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng

II Số phức liên hợp và modun của số phức

1) số phức liên hợp

Định nghĩa: Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là z=a−bi

Như vậy z=a+bi=a−bi

Tính chất:

+) z =z

+) z+z, =z+z,

+) zz, = z,

2) Modun của số phức: Modun của số phức z=a+bi bằng z = a2 +b2 Như vậy

z

z2 =

và z = z

3) Nghịch đảo của số phức

Số phức z, gọi là nghịch đảo của z nếu zz, = 1 Ta kí hiệu z, là z− 1 Ta có 2

1

z

z

z− =

Biểu diễn hình học của số phức:

(*) Mỗi số phức được biểu diễn tương ứng với tọa độ 1 điểm M trong mặt phẳng tọa độ Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M ;( )a b

(*) Khi đó mỗi số phức z=a+bi cũng có thể biểu diễn bởi 1 véc tơ OM =( )a;b Cộng trừ 2 véc tơ là biểu diễn hình học của cộng trừ 2 số phức

Ví dụ: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: z = 1

Giải: Gọi M ;( )x y là biểu diễn hình học của số phức z Ta có x2 +y2 = 1 ⇔ x2 +y2 = 1 Suy

ra tập hơp điểm M là đường tròn tâm O( )0 ; 0 và bán kính R= 1

(*) Một số bài tập:

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

1) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); 2) ( 1 ) − +i 3 − (2 )i 3 3)

1

2 + 2 i

4) 1+ + + + +i i2 i3 i2009 5) (1 )−i100 6)

i

i

2

3 −

7)

i

i

−

−

4

4

3

8) i(2 −i)(3 +i) 9) ( )2

3

2 + i

10) (2 − 3i)3 11)

i

i i

i

2 3

1 1

2 3

−

− +

−

+

12) i(1 − 2i) (2 + 3i)

Bài 2: Cho số phức 1 3

z= − + i CMR: z2 z 1 0; z z2 1; z3 1.

z

Bài 3: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trong nhưng trường hợp sau:

1) z− 1 +i = 2 2) 2 +z = i−z 3) = 3

−i z z

4) z+z+ 3 = 4 5) z−z+ 1 −i = 2 6) (2 −z)(i+z) là số thực

7) (2 −z)(i+z) là số ảo 8) 2z−i = z−z+ 2i 9) z2 −( )z 2 = 4

10) z = z− 3 + 4i

Bài 4: Tìm số phức z biết

a) 2

0

z

z + = b) z 1 1

z i− =− ; c) z 3i 1

z i− =+ ; d)

4

1

z i

z i

+

 − ÷

  =

e) z− 2i = z và z i− = −z 1 ; f) z+ − 1 2i = + +z 3 4i và z 2i

z i

− + là 1 số ảo

Bài 5: Chứng minh rằng mọi số phức z ≠ 1 ta có

1

1

1

10 9 3

2

−

−

= + + +

+

+

z

z z z

z

z

CĂN BẬC 2 CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Định nghĩa: số phức z gọi là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2 =w

(*) Cách tìm căn bậc 2:

Giả sử ta cần tìm căn bậc 2 của số phức w=a+bi

Gọi z= x+yi là căn bậc 2 của w Suy ra a+bi =x+yi ⇔ a+bi=(x+ yi)2

⇔ a+bi= x2 − y2 + 2xyi ⇔







=

=

−

b xy

a y x

2

2 2

Ví dụ: Tìm căn bậc 2 của z= 8 + 6i

Giải: Giả sử 8 + 6i = x+yi ( )2

6

8 + i= x+yi

⇔ ⇔ 8 + 6i =x2 −y2 + 2xyi

⇔







=

=

−

6

2

8

2

2

xy

y

x

⇔













=













−

=

8 3

3

2 2

x x

x

y

⇔









=

−

−

=

0 9 8

3

2

x x

y Phương tình có các nghiệm là:







=

=

1

3

y

x

và







−

=

−

= 1

3

y

x

Vậy 8 + 6i có 2 giá trị là 3 +i và − 3 −i

(*) Phương trình bậc 2: Cho phương trình az2 +bz+c= 0 với ∆ =b2 − 4ac

Nếu ∆ ≠ 0 phương trình có 2 nghiệm

a

b z

2

1

δ +

−

=

a

b z

2

2

δ

−

−

=

Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép

a

b z

z

2

2

(*) Hệ thức viet

Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 +bz+c= 0 Ta có













=

−

=

+

a

c

z

z

a

b

z

z

2

1

2

1

Mốt số bài tập:

Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau

i i

− + d)

1 i + 1 i

+ − e)

2

1 1

i i

+

  f)

2

3

i i

−

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 3z2 +z+ 2 = 0 2) z2 −(3 + 4i)z+ 5i− 1 = 0

3) z2 +z+ 1 = 0 4) z2 +( )1 +i z− 2 −i= 0

5) z3 − 1 = 0 6) z4 − 6z2 + 25 = 0

7) z2 − 2iz+ 2i− 1 = 0 8) z2 −(5 − 14i)z− 2(12 + 5i) = 0

9) (z+ 3 −i)2 − 6(z+ 3 −i)+ 13 = 0 10) (2 +i)z2 −(5 −i)z+ 2 − 2i= 0

11) z2 −(cos ϕ +isin ϕ)z+icos ϕ sin ϕ = 0

12) z4 − 8( )1 −i z2 + 63 − 16i= 0 13) z3 +(1 − 2i)z2 +( )1 −i z− 2i= 0

14) 2z3 − 3z2 + 5z+ 3i− 3 = 0 15) z2 +(1 − 3i)z− 2( )1 +i = 0

Bài 3: Cho z z là 2 nghiệm của phương trình 1, 2 (1+i 2) z2− +(3 2i z) + − =1 i 0

Không giải phương trình hãy tính:

Bài 4: Cho z z là 2 nghiệm của phương trình: 1, 2 z2 − +(1 i 2) z+ − = 2 3i 0

Không giải phương trình hãy tính:

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức z =x+yi có biểu diễn hình học là điểm M trong mặt phẳng tọa độ Gọi ϕ là

góc tạo bởi OM và chiều dương của trục Ox Ta đặt r = z = a2 +b2 và







=

= ϕ

ϕ sin

cos

r y

r x

khi đó số phức z được viết dưới dạng lượng giác là: z=r(cos ϕ +isin ϕ) ϕ gọi là argument.

Như vậy để tìm dạng lượng giác của số phức z=x+ yi ta tìm r= x2 +y2 và

x

y

= ϕ tan

(*) Một số phép toán về dạng lượng giác của số phức:

Cho 2 số phức z=r(cos ϕ +isin ϕ) và z, =r,(cos ϕ , +isin ϕ ,) ta có:

=

+z,

z

=

−z,

z

,

, =rr cos ϕ + ϕ +isin ϕ + ϕ

zz

,

r

r

z

z

(*) Công thức Moa-vro

( nϕ i nϕ)

r

z n = n cos + sin









=

n

k i

n

k r

z n

sin

2 cos

Một số bài tập:

Bài 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác:

1) 1 i− 3 2) (1 −i 3) ( )1 +i 3)

i

i

+

− 1

3 1

4) 2i( 3 −i) 5)

i

2 2

1 +

Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

1) ( )

( )9

10

3

1

i

i

+

+

2)

2008

1











 +

i

i

3)

12

2

3 2

1







 +i

3 1 3

sin

3

cos i i + i









 π − π

5) ( ) ( )

( )10

5 10

3 1

3 1

i

i i

−

−

+

−

6) 2009 20091

z

z + nếu +1 = 1

z

z (*) Một số đề thi đại học

Bài 1: Khối B 2009: Tìm số phức z thỏa mãn z−(2 +i) = 10 và z= 25

Bài 2: Khối D 2009: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− − (3 4 )i = 2

Bài 3: Khối A 2009: Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z2 + 2z+ 10 = 0 Tìm giá trị của biểu thức A= z1 2 + z2 2

Bài 4: (CĐ-09) Giải phương trình z i z i

z i

−

2

ĐS: z= + 3 i z; = + 1 2i

Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn 1 2 3 4

ïï

ïïî

HD: z = x + yi ® ( ; )x y = - ( 3; 2),( 6; 1) -

-Bài 6: (CĐ-09) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn ( 1 +i) ( 2 2 −i z) = + + + 8 i ( 1 2i z) ĐS: z = 2 – 3i

Bài 7: Cho số phức z= + 2 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức iz z i+

5 5

Bài 8: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn i z i

ĐS: z=11 3− i

5 5

Bài 9: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z (( i))

i

+

= +

30 15

1

HD: ( 1 +i) 2 = 2i→( 1 +i) 30 = − 2 15i; ( 1 +i 3 ) 3 = − → + 8 ( 1 i 3 ) 15 = − 2 45→ z= 30i

2