2/.Xác định m để hàm số 1 có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.. Phần riêng 3 điểm Thí sinh chỉ
Trang 1ĐỀ LUYỆN THI SỐ 1.
Câu I(1 điểm) Cho hàm số y= x4- 2mx2 +m-1 (1)
1/.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1
2/.Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Câu II( 2 điểm) 1/.Giải phương trình : 4 2
4
(2 sin 2 ).sin 3 tan 1
os
x
c x
− + =
2/.Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
3
1
x y x
x y
Câu III(1 điểm) Tính tích phân: 2
3 0
sinx.dx (sinx+cosx)
I
π
=∫
Câu IV(1 điểm) Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên
(SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy một góc 600
Câu V(1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n( với n≥2), ta có: ln2n > ln(n-1).ln(n+1)
Phần riêng( 3 điểm)( Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần).
1.Theo chương trình chuẩn.
Câu VI(1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho
A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: 2x-y+3=0
Câu VII(2 điểm).
1/.Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niuton của (x2+2)n, biết A n3−8C n2+C n1 =49
2/.Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d1 : 2 1
− − ; d2 :
x − = y − = z
a/ Chứng minh rằng d1 và d2 song song Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua d1 và d2
b/.Tìm điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu VI(1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông ở A Biết A(-1;4), B(1;-4) và đường
thẳng BC đi qua điểm M(2;1/2) Hãy tìm tọa độ điểm C
Câu VII( 2 điểm).
2
y
x
=
− Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số
2/.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ( ) :1
( ) :
Tìm tọa độ các điểm M thuộc ( )d1 và N thuộc ( )d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( )P : – 2011 0x y + z + = độ dài đoạn MN bằng 2.
ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 1
Trang 2I.Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu I: ( 2 điểm ) Cho hàm số y = x3 - (m+1)x 2 + (m - 1)x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1
2) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại
B, C song song với nhau.
Câu II ( 2điểm )
1) Giải phương trình: 1 2 8 1 2
x+ x+π = + x+ x+π+ x
2) Giải phương trình : 2 2
Câu III: (1 điểm )
Tính tích phân :
3
2
11 1
dx I
=
∫
Câu IV: (1 điểm)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) ,
SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất
Câu V : (1 điểm)
Cho phương trình: ( ) 2 ( )
2
3 log ( 4) 2 1 log ( 4) 2 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho 4 < x 1 < x 2 < 6
Phần riêng ( 3 điểm )
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần1 hoặc phần2)
Phần1 (Theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết
A(1; 3) và hai đường đường trung tuyến có phương trình là d 1 : x - 2y +1 = 0 ; d 2 : y - 1 = 0
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d 1 : 1 2
x− = y− = z
− và d2 :
1 3 '
3 2 ' 1
z
= +
= −
Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của d 1 và d 2
Câu VII.a (1 điểm)
Cho số phức z = 1 3
2 2 i
− + Hãy tính 1 + z + z 2
Phần2 (Theo chương trình nâng cao )
Câu VI.b : (2 điểm )
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết C(4; 3),
đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là
d 1 : x + 2y -5 = 0 ; d 2 : 4x +13 y - 10 = 0
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d 1 và d 2 và mặt phẳng (P) có phương trình
d 1 : 1 2 2
x− = y+ = z−
; d 2 :
4 5 '
7 9 ' '
z t
= − +
= − +
(P): 4y - z - 5 = 0
Viết phương trình của đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2
Câu VIIb: (1 điểm )
Tìm nghiệm phức của phương trình: (1+i)z 2 - (4 + i)z + 2 - i = 0
2
Trang 3ĐÁP ÁN ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 1.
m
Câu
1
1 ) 1 ( ) 1
y
1) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
m = 1 hàm số có dạng y=x3 −2x2 +1
TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
Giới hạn: =+∞
+∞
→
xlim =−∞
−∞
→
xlim
Bảng biến thiên: y'=3x2 −4x ,
=
=
⇔
=
3 4
0 0
'
x
x y
3
+∞
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và
+∞; 3 4
Hàm số nghịch biến trờn khoảng
3
4
; 0 Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x =
3
4
; yCT = 275
3
4 =−
y
Đồ thị
Điểm uốn:
27
11
; 3
2
U
Giao với trục Oy (0, 1)
Giao với trục Ox (1, 0);
+
2
5 1
; 0 , 2
5 1
Nhận điểm uốn
27
11
; 3
2
U làm tâm đối xứng
2) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đó cho với trục hoành là nghiệm của phương trình:
0 1 ) 1 ( ) 1
3 − m+ x + m− x+ =
=
−
−
=
⇔
=
−
−
−
⇔
) 2 ( 0 1
1 0
) 1 )(
1 (
2
2
mx x
x mx
x x
CMinh ∀m≠0 phương trình (2) luụn có hai nghiệm phân biệt khỏc 1
⇒ phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
⇒ ∀m≠0 đồ thị hàm số đó cho luụn cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt là: A(1, 0); B(x1, 0);
C(x2, 0) với x1, x2 là nghiệm của phương trình (2)
Ta có y'=3x2 −2(m+1)x+(m−1)
Hệ số gúc của tiếp tuyến tại B là: ' 3 2 2( 1) 1 ( 1)
1 ) ( 1 = x − m+ x + m−
y x
Trang 4Hệ số gúc của tiếp tuyến tại B là: ' 3 2 2( 1) 2 ( 1)
2 ) ( 2 = x − m+ x + m−
y x
0.25 0.25
Tiếp tuyến tại B và C song song với nhau ⇒ '( ) '( ) 2
1
II
3
1 2 cos 3 2 sin 3
8 ) ( cos 3
1 cos
+ +
+
= +
Biến đổi phương trình về dạng: 2sin2 x−9sinx+7+6sinxcosx−6cosx=0
0 ) 7 cos 6 sin 2 )(
1
0.5
0.25
0.25
=
− +
=
⇔
0 7 cos 6 sin
2
1 sin
x x
x
Giải phương trình sinx = 1 ta được nghiệm π 2π
2 k
x= +
Chứng minh phương trình 2sinx+6cosx−7=0 vô nghiệm
Kết luận: nghiệm của phương trình: π 2π
2 k
x= +
cach
1 2) Giải phương trình: x 12 3 x =1+ 3+2x−x2
− +
* Biến đổi phương trình về dạng
( 1 3 ) 2 3
1
4
2 3 2 2 3
1 4
2 2
−
− + +
=
− + +
⇔
⇔
− + +
=
− + +
x x
x x
x x x
x
0,5
* Đặt t = x+1+ 3−x , đk t > 0, dẫn đến pt t3 - 2t - 4 = 0 ⇔t = 2 0,25
cach
2 2) Giải phương trình: x 12 3 x =1+ 3+2x−x2
− +
+
ĐKXĐ: -1 ≤ x ≤ 3
Đặt
−
=
+
=
x v
x u
3
1 điều kiện
≥
≥
0
0
v
Dẫn đến hệ:
=
− +
+
= +
⇔
= +
+
= +
4 2 ) (
1 2 4
1 2
2 2
v u v
u v
u
v u v
=
= +
0
2
v u
v u
0.5
Giải ta được
=
=
0
2
v
u
hoặc
=
=
2
0
v
u
Với
=
=
0
2
v
u
0 3
2 1
=
⇔
=
−
= +
x x
x
0.25
Với
=
=
2
0
v
u
2 3
0 1
−
=
⇔
=
−
= +
x x
x
Kết luận hệ có hai nghiệm x = 3 và x = -1
0.25
CâuI
II
Ta có:
∫
+
= +
− +
= +
− +
+
− +
= + + +
3 1
3 1
2 3
1
2 3
2
2 3
1 1
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1
x dx
x
dx x
x x
dx x x
x x
x x
dx
0,5
4
Trang 5 I1 = [ ] (ln3 2)
2
1 1
3 ln
2
1 1
1 2
13 1
+
= +
=
+
x
I2 = ∫3 +
1
2 2
1
dx x
x
Đặt t= 1+x2 ⇒t2 =1+x2 ⇒2tdt =2xdx
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2 , x = 3 ⇒ t = 10 Vậy
2 2 3 9
10 2 11 ln 4
1 2 10 2
1
2
10 1
1 ln 4
1 2
1 1
1 1
1 2
1 1 2
1
) 1 ( 2 10 2
10 2 2
2 2
−
− +
−
=
=
+
− +
=
+
−
− +
=
=
−
t t t
dt t I
Từ đó tính được I = (ln3 2)
2
1 + - ( ) 911(3 22 102)
ln 4
1 2 10 2
1
−
− +
−
Câu
IV
Gọi ϕ là gúc giữa hai mp (SCB) và (ABC)
Ta có : ϕ =·SCA; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ
SABC ABC
V S SA AC.BC.SA a sin cos a sin 1 sin
Đặt x = sinϕ Vỡ 0 <
2
π
ϕ < , nờn x ∈ (0; 1) Xét hàm số : f(x) = x – x3 trờn khoảng ( 0; 1)
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 f ' x( ) 0 x 1
3
= ⇔ = ±
Từ đó ta thấy trờn khoảng (0;1) hàm số
f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm
cực đại, nờn tại đú hàm số đạt GTLN
hay
( ) ( )
x 0;1
Max f x f
3 3 3
∈
Vậy MaxVSABC =
3 a
9 3, đạt được khi sinϕ = 1
3 hay
1 arcsin
3
ϕ = , ( với 0 <
2
π
ϕ < )
0,5
0,5
Câu
V
Ta m để phương trình có 2 nghiệm
pt đó cho tương đương với pt: ( 3)log2( 4) (2 1)log2( 4) 2 0
m
trên khoảng (4; 6) phương trình luụn xỏc định
Đặt t =log2(x−4)đk t < 1 do 0 < x - 4 < 2 ∀x ∈ (4; 6)
Dẫn đến pt (m-3)t2 + (2m +1)t + m + 2 = 0 ⇔ m(t2 + 2t + 1) = 3t2 - t - 2 (*)
0,25
0,25
Nhận Xét thấy t = -1 khụng thỏa món pt (*) Biến đổi pt về dạng m
t t
t
+ +
−
−
1 2
2 3
2 2
Bài toỏn trở thành: Ta m để pt: f(t) = m
t t
t
+ +
−
−
1 2
2 3
2
2
, có hai nghiệm phân biệt t1 < t2 < 1
) 1 (
3 7 ) ( '
+
+
=
t
t t
7
3 0
) ( ' t = ⇔t =−
f
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trờn khoảng (-∞; 1)
7
3
C S
ϕ
Trang 6
f'(t)
3
+∞
8
25
−
0
Từ đó suy ra các giá trị cần ta là:
>
<
<
−
3
0 8
25
m
m
0,5
Câu
VIa 1) Viết phương trình cạnh của tam giỏcA ∉ d1, A ∉ d2 Giả sử d1 qua B, d2 qua C
Tính được tọa độ trọng tâm G là nghiệm của hệ
=
−
= +
−
0 1
0 1 2
y
y x
0.25
0.5
Vỡ B ∈d1 nờn B(2b-1 ;b) , Vỡ C ∈d2 nờn C(c ;1)
Từ gt G là trong tâm tam giỏc ABC suy ra
+ +
=
+ +
=
3
3
C B A G
C B A G
y y y y
x x x x
Tính được b = -1, c = 5 Suy ra B(-3, -1) ; C(5, 1)
Viết được pt cạnh AB: x - y + 2 = 0 ; AC: x + 2y - 7 = 0 BC: x - 4y - 1 = 0
2) Viết được d1:
=
+
=
−
=
t x
t y
t x
3
2 2 1
d1 đi qua M1(1; 2; 0), có VTCP u1 =(−1;2;3) , d2 đi qua M2(1; 3; 1), có VTCP u2 =(3;−2;0)
Tính được M1M2 =(0;1;1), [ ]u1,u2 =(6;9;−4) ⇒[ ]u1,u2 M1M2 =5≠0 ⇒ d1, d2 chéo nhau 0,5
Trờn d1 lấy điểm A(1 - t; 2 + 2t; 3t), trên d2 lấy điểm B(1 +3t'; 3 - 2t'; 1)
⇒ AB=(3t'+t;1−2t'−2t;1−3t)
AB là đường vuông góc chung của d1, d2
=
=
⇔
0
0 2
1
u AB
u AB
dẫn tới hệ
=
−
=
⇔
= +
= +
133 51 19
1 ' 2 7 ' 13
5 14 ' 7
t
t t
t
t t
=
133
20
; 133
45
; 133
30
19
59
; 19
16
B
⇒ pt đường vuông góc chung của d1 và d2 là
−
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
4 1
9 19 59
6 19 16
0,5 Câu
VIIa
Hóy tớnh 1 + z + z2
0.5
6
Trang 7Tính được z i i
2
3 2
1 2
3 2
+
−
=
Câu
VIb 1)Giả sử đường phân giác và đường trung tuyến đó cho đi qua đỉnh A Khi đó tọa độ đỉnh A
là nghiệm của hệ: (9; 2)
10 13 4
5 2
−
⇒
= +
= +
A y
x
y x
Viết được pt cạnh AC: x + y -7 = 0
0.25
Viết ptđt d qua C ,vuông góc với phân giác d1 của gúc A ta được d: 2x -y - 5 =0
Giả sử d cắt cạnh AB tại E, cắt đươgs phân giác d1 tại I và tọa độ của I là nghiệm của hệ
) 1
; 3 ( 0 5 2
5 2
I y
x
y x
⇒
=
− +
=
−
Do I là trung điểm của CE nờn ta có: (2; 1)
2
2 1
= +
= +
E y y y
x x x
E C
E C
0.25
0.5
Viết được ptđt AB( Đi qua A và E): x + 7y + 5 = 0
Viết ptđt d3 qua I và song song với cạnh AB có pt: x + 7y - 10 = 0
Gọi M là trung điểm của cạch AB thỡ M =d3 ∩d2 ⇒Tọa độ M là nghiệm của hệ:
=
− +
=
− +
0 10 7
0 10 13 4
y x
y x
⇒M(-4; 2) Viết được pt cạnh BC: x - 8y + 20 = 0
2) ptts của d1:
+
=
+
−
=
+
=
t x
t y
t x
3 2
4 2 1
Trờn d1 lấy điểm A(1 + t; -2 + 4t; 2 + 3t), trên d2 lấy điểm B(-4 +5t'; -7+9t'; t')
⇒ AB=(−5+5t'−t;−5+9t'−4t;t'−3t−2)
mp(P) có VTPT n=(0;4;−1)
0.5
Đường thẳng AB vuông góc với mp(P) ⇔ AB và n cùng phương
Từ đó ta được t = 0, t' = 1⇒ A(1; -2; 2) và AB = (0; 4; -1)
⇒ pt đường thẳng thỏa món yờu cầu đề bài là:
−
=
+
=
=
t z
t y
x
2
4 2
1
0.5
Câu
VIIb
Giải phương trình………
Tính được ∆ = 3 + 4i = (2 + i)2
0.5
Ta được 2 nghiệm
i
i z
i
z
+
+
= +
=
1
3
; 1
1 2
1) Viết phương trình cạnh của tam giỏc
A ∉ d1, A ∉ d2 Giả sử d1 qua B, d2 qua C
Gọi trung tuyến BK: x - 2y + 1 = 0
CH: y - 1 = 0
Tính được tọa độ trọng tâm G là nghiệm của hệ
=
−
= +
−
0 1
0 1 2
y
y x
⇒ G(1, 1)
G nằm trờn trung tuyến AM và AG 2= GM
Trang 8suy ra ( )
=
=
⇔
−
=
−
−
=
−
0
1 )
1 ( 2 3
1
1 2
1
1
M
M M
M
y
x y
x
⇒ M(1, 0)
Đường thẳng BC qua M(1, 0) có hệ số góc k nên có pt: y = k(x - 1) hay y = kx - k
≠
−
+
=
⇒
= +
−
−
=
2
1 1 2
1 2 0
1
k x y
x
k kx y
B
BC ∩ CH = {C} giải hệ 1 1( 0)
0
=
−
−
=
k k
x y
k kx y
C
1 2
1 2
−
+
= +
k k
k hay x
x
Tính được
4
1
=
pt cạnh BC: ( 1) 4 1 0
4
y
Từ đó tính được xB = -3, yB = -1 hay B(-3, -1)
Tính được tọa độ C(5, 1)
Viết được pt cạnh AB: x - y + 2 = 0
Viết được pt cạnh AC: x + 2y - 7 = 0
Câu VI.a.2) Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: uur1(4; - 6; - 8)
2
uuur( - 6; 9; 12) +) uur1 và uuur2 cùng phương
+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2
Vậy d1 // d2
*) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là nr = ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2) ABuuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1
Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm được H 36 33 15; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
Câu VIIb.M N, ∈( ), ( )d1 d2 nên ta giả sử
M t t t N − − t t +t ⇒uuuurNM = +t t + t −t t − −t
+ MN song song mp(P) nên: n NMuur uuuurP = ⇔0 1.(t1+2t2+ −1) 1.(t1−t2) 1(2+ t1− − =t2 1) 0
2 1 ( 1 1; 2 ;31 1 1)
8
I
A
B
A1
Trang 9+ Ta có:
1
1
0
7
t
t
=
=
+ Suy ra: M(0; 0; 0), ( 1; 0;1)N − hoặc ( ; ; ), ( ;4 4 8 1 4 3; )
+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M∈( ).P
