Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 tại A và B vuông góc với nhau.. Mặt phẳng SAB và mặt
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 101
Ngày 12 tháng 6 năm 2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1
4(x
2 – m)(x2 + 1) (1) (m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao
cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A và B vuông góc với nhau
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 3 sinx - 3cosx - 2 = cos 2x - 3 sin2x
2 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4 22
+ −
y
x
y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
e 3 1
ln x 1
dx x
−
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a; ·ABC = 90o Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết góc giữa hai mặt (SAC) và mặt phẳng (SBC) bằng 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Câu V (1,0 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực dương tuỳ ý thoả mãn a+ b+ c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(3; 0), B(-1; 8) và đường thẳng d có phương trình x - y -3 = 0
Viết phương trình đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng d tại điểm C sao cho tam giác ABC cân tại C
2 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 1), đường thẳng d: x 1 y z
2+ = =1 1
− và mặt phẳng
(P): x + 3y + z – 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt d và song song (P)
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 | z i | | z z 2i |− = − +
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt chiều
dương của trục Ox, Oy theo thứ tự tại A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất
2 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng
x 1 t : y 0
= +
∆ =
= −
Viết
phương trình đường thẳng d đi qua B, cắt ∆ sao cho khoảng cách từ A đến d bằng 3
Câu VI.b (2,0 điểm) Cho số phức z = 1 + 3 i Tính z7
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 101
Câu 1: 1 (1,0 điểm)Với m = 3, ta có hàm số y = 1
4(x
2 – 3)(x2 + 1)
* Tập xác định: D = * Sự biến thiên + Giới hạn: xlim y ; lim yx
→−∞ = +∞ →+∞ = +∞
+ Bảng biến thiên - y’ = x(x2 – 1) ; y’ = 0 ⇔x = 0 hoặc x = ±1
-
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1 µ 0;1) ( )v và đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+ ¥ ) Hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại ( )0 3
4
= −
y , hàm số đạt cực tiểu tại x= ±1 và giá trị cực tiểu
( )± = −1 1
y Đồ thị:
Câu 1: 2 (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm:1
4(x
2 – m)(x2 + 1) = 0 Û x2 – m = 0 (2)
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Û m > 0 Khi đó A(- m;0), B( m;0) Ta có y’ = 1
2x(2x
2 +1 –m) Tiếp tuyến của đồ thị tại A,
B có hệ số góc lần lượt là y’(- m) = m
2
- (m + 1) và y’( m) = m
2 (m + 1) Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau khi và chỉ khi y’(- m).y’( m) = -1
2
- (m + 1) m
2
(m + 1) = - 1 Û m =1
Câu 2: 1 (1,0 điểm) Giải phương trình :
3 sinx - 3cosx - 2 = cos2x - 3 sin2x (1) (1) ⇔ 3 sinx(2cosx + 1) = 2cos2x + 3cosx + 1 ⇔(2cosx + 1) (cosx - 3 sinx + 1) = 0 ⇔cosx = - 1
2 hoặc cosx - 3 sinx + 1 = 0 (1’)
* cosx = - 1
2 ⇔x = ± 2
3
π
+ k2p (1’)⇔cos(x +
3
π
) = - 1
2 ⇔ x =
3
π
+ k2p hoặc x = - p + k2p
Câu 2: 2 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
1 1
4 22
+ −
+ + =
y
x
y
(I)Điều kiện: x≠0, y ≠0 và x2 + y2 - 1 ≠0
Đặt u = x2 + y2 - 1 và v = x
y Hệ phương trình (I) trở thành
3 2
1
21 4
u v
+ =
= −
Û 2 2 13 21 0
21 4
9 3
u v
=
=
hoặc
7
7
2
u
v
=
=
+ Với
9 3
u v
=
=
3 1
x y
=
=
hoặc
3 1
x y
= −
= −
7 7 2
u v
=
=
2 14 53 2 4 53
x y
=
=
hoặc
2 14 53 2 4 53
x y
= −
= −
Trang 3Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 2 2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính tích phân
e 3 1
ln x 1
dx x
−
e 3 1
dx x
∫ -
e 3 1
ln xdx x
∫ ( lnx – 1£0, " xÎ [1;e])
⇒ I1 =
e
3
1
dx
x
∫ =
e 2 1
1 2x
çè ø = - 2
1 2e +
1
2 Đặt 3
u ln x dx dv x
=
=
dx du x 1 v 2x
=
= −
Þ I2 =
e
3
1
ln xdx
x
e 2 1
ln x 2x
æ ö÷
çè ø +
1 2
e 3 1
dx x
∫ = - 12
2e +
1
2(- 2
1 2e +
1
2) =
1
4 - 2
3 4e Vậy I =
e
3 1
ln x 1
dx x
−
2 2
4e +
Câu 4: (1,0 điểm)
Vì (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥ (ABC)
Do đó chiều cao của khối chóp S.ABC là h = SA Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra BH ⊥AC
Do đó BH ⊥(SAC)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng HK ⊥ SC (H Î SC), suy ra BK ⊥ SC
Do đó góc giữa (SAC) và (SBC) là ·BKH 60= o
DBHK vuông tại H Ta có BK = BH·
sin HKB = a 22
sin 60 o
= a 6
3
DSBC vuông tại B có BK là đường cao, ta có 12
BK = 2
1
SB + 2
1 BC
Þ 12
SB = 2
9
6a - 2
1
a = 2
1 2a Þ SB = a 2 Þ SA = a Thể tích của khối chóp S.ABC: VSABC= 1
3SA.SABC=
1
6 SA AB.BC =
3 a
6 .
Câu 5: (1,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
Với a,b,c là ba số thực dương thoả mãn a+ b+ c = 2 , suy ra 0 < a, b, c < 2
2c + ab = 4 – 2(a + b) + ab = (2 - a)(2- b)
Ta có
2
ab
c ab+ = ab
ab
a+ b = b c c a+
2 2
a b c a
1
2 2
b a c b
+
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi và chi khi a = b = c =2
3.
Câu 6a: 1 (1,0 điểm)
Gọi d’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng AB Ta có: I(1; 4),
AB
uuur
= (-4; 8) Đường thẳng d’ đi qua I và nhận vectơ ABuuur= (-4; 8) làm vtpt nên có pt: -4( x -1) + 8(y – 4) = 0 hay x – 2y + 7 = 0 Vì tam giác ABC cân tại C nên C thuộc đường thẳng d’.Theo yêu cầu bài toán, C thuộc đường thẳng d Suy ra, tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình x 2y 7 0
x y 3 = 0
− + =
− −
x 13
y 10
=
⇔ =
a a
S
A
B
C K
H 600
Trang 4Vậy C(13; 10).
Câu 6a: 2 (1,0 điểm)
Phương trình tham số của d: x= − +1 2t;y t;z= = −t
Gọi d’ là đường thẳng đi qua M, cắt d tại điểm N và song song với mp(P)
Điểm N thuộc d nên tọa độ điểm N có dạng N(-1 + 2t; t; -t)
MN (2t 2;t 1; t 1)= − − − −
uuuur
; vtpt của (P): n (1;3;1)r=
Vì d’ song song (P) nên MN.n 0uuuur r= ⇔2t – 2 + 3t – 3 – t – 1 = 0 ⇔ t 3
2
= Suy ra MN (1; ;1 5)
uuuur
Đường thẳng d’ đi qua M và nhận MNuuuur làm vtcp nên có pt x 1 t;y 1= + = +1t;z 1= −5t
Câu 7a: (1,0 điểm
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 | z i | | z z 2i |− = − + Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi
Khi đó: 2 | z i | | z z 2i |− = − + ⇔2|x + (y – 1)i| = |2(y + 1)i| ⇔ x2+ −(y 1)2 = (y 1)+ 2 ⇔ y x2
4
= Vậy tập hợp điểm M là parapol(P)
2 x y 4
=
Câu 6b: 1 (1,0 điểm)
Gọi d là đường thẳng đi qua M và cắt trục Ox, Oy theo thứ tự tại A(m; 0), B(n; 0) với m> 0, n > 0 Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng x y 1
m n+ =
Vì d đi qua M nên 1 1 1
m n+ = Ta có: 1 1 1 2 1 mn 4
Ta lại có: AB2 = OA2 + OB2 = m2 + n2 ≥ 2mn, (2) Từ (1) và (2), suy ra AB 2 2≥ , đẳng thức xảy ra khi m
= n = 1 Vậy phương trình đường thẳng d là x + y - 1 = 0
Câu 6b: 2 (1,0 điểm)
Gọi d là đường thẳng đi qua B, cắt ∆ tại M và khoảng cách từ A đến d bằng 3
Điểm M thuộc ∆ nên tọa độ điểm M có dạng M(1 + t; 0; -t)
Ta có: BM (2 t; 2; t), BA (3; 1; 1)uuur= + − − uuur= − − , BM, BAuuur uuur = − (2 t;2 2t;4 t).− −
2 2
3t 10t 12
t 2t 4
+ + .Với t = 0, ta có BM (2; 2;0)= −
uuur
Đường thẳng d đi qua B và nhận BM (2; 2;0)uuur= − làm vtcp nên có phương trình tham số
x 1 2t;y 2 2t;z 0
Câu 7b: (1,0 điểm)
Cho số phức z = 1 + 3 i Tính z7 Ta có: z = 1 + 3 i = 2 1 3i
+
= 2 cos i sin
Suy ra: z7 = 128
cos i sin
