ĐỀ THI THỬ THPT MINH KHAI (TOÁN)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II Môn Toán Thời gian làm bài 180 phút I.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. Theo chương trình nâng cao: Câu 6a.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A2;1.. Tìm t

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II

Môn Toán

(Thời gian làm bài 180 phút)

I Phần chung:

Câu 1 Cho hàm số: y = x4 + 2m2x2 + 1 (Cm)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b Chứng minh rằng đường thẳng y = x+1 luôn cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt ∀ m∈R

Câu 2

a. Giải phương trình: 2sin 3x=( os3x+cosx)(tanc 2x+tan 2 )x

b. Giải hệ phương trình:

2 2

2

2

1

xy

x y





Câu 3 Tính : I=

3 2 2 1

log

1 3ln

dx

∫ Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi cạnh a ; SA=SB=SD=a ; (SBC)⊥(SCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Câu 5 Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc

II Phần riêng.

A Theo chương trình nâng cao:

Câu 6a

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;1) Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ

b ≥ 0 và điểm C thuộc trục Oy có tung độ c ≥0 sao cho ∆ABC vuông tại A Tìm tọa độ điểm B,C sao cho ∆ABC có diện tích lớn nhất

2 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;-2) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1) : 2x + y – z – 2 = 0 ; (P2) : x –y – z - 3 = 0

Câu 7a Giải hệ :

2011

3 3

2 2

2

x

xy

   = −÷



 +



B Theo chương trình chuẩn.

Câu 6b

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình:

x – 2y – 6 = 0 và điểm I (1;0) là tâm đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ các đỉnh B,C

2 Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(2;1;1) , B(3;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0

Câu 7b Giải phương trình: 3 2x x= +3x 2x+1 ./.

Chú ý: Thí sinh khối B- D không phải làm câu 5 ở phần chung

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT MINH KHAI

ĐÁPÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II – MÔN TOÁN

Câu Nội dung Điểm 1 (2đ) a m=1 : y= x4+ 2x2 +1 - TXĐ: D=R - Sự biến thiên: + Giới hạn tại vô cực: limx→−∞y= +∞; lim x y →+∞ = +∞ 0,25 + y/ = 4x3 + 4x y/= 0 ⇔ x = 0

+ BBT x

y/ y

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ∝ ; 0),đồng biến trên khoảng (0; + ∝ ) cực tiểu : (0;1) 0,5 Đồ thị : Một số điểm thuộc đồ thị (-1;4) ; (1;4) Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 0,25 b phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y= x +1 là x4 + 2m2x2 + 1 = x +1 (1) ⇔ x= 0 hoặc x3 +2m2x – 1 = 0 (2) 0,25 (0,5) Xét hàm số f(x) = x3 +2m2x – 1 có f/(x)= 3x2 + 2m2≥ 0 ∀x∈R ; lim ( ) x f x →−∞ = −∞ ; lim ( ) x f x →+∞ = +∞ và f(0) = - 1 ≠ 0 ⇒ PT(2) có nghiệm duy nhất x ≠ 0 với ∀ m ∈ R 0,5 Do đó PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀ m ∈ R hay đường thẳng y = x+1 luôn cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt ∀ m∈R 0,25 (0,5) 2 (2đ) a 2 2sin 3x=( os3x+cosx)(tanc x+tan 2 )x (1) ĐK : cosx 0≠ và cos2x 0≠ (1) 2 2 sin sin 2 2sin3x=2cos2x.cosx os os2x x x c x c   ⇔  + ÷   2 2 sin 3 cosx x cos2x.sin x sin 2 cosx x ⇔ = + 0,5 (sin 2 cosx x cos2x.sinx c) osx= os2x.sinc 2x sin 2 cosx 2x ⇔ + + 0,5 x - ∝ 0 + ∝

y / - 0 +

+ ∝ + ∝

y 1

y

4

1

- 1 0 1 x

os2x=0 (l ai) os2x.sin osx= os2x.sin sinx=0 (t/m)

cosx=sinx (loai)





⇔ 



sinx=0 ⇔ x= k (k Z)π ∈ Vậy x= k (k Z)π ∈ Là nghiệm của phương trình

b.Giải hệ phương trình:

2

2

1 (1) (2)

xy

x y

x y

x y x y





ĐK x + y > 0

x y

+

2 2

x y

x y

+ + +

+

0,5

x= - 2

Với x = ⇒1 y=0

Với x= - 2 ⇒ y =3

Vậy hệ có 2 nghiệm x=1 x= - 2

và

0,25

3

3 2 2 1

log

1 3ln

dx

3

3 3

lnx

ln 2

x

 

 ÷

 

0,25

x =1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 2

2

1

1

( - 1)dt =

∫

0,5

4

(1đ) Gọi I là trung điểm của SC ⇒BI⊥SC

và DI⊥SC Từ giả thiết ⇒ BI⊥DI

Gọi O = AC∩ BD ⇒ BD = 2OI =SA =a

Kẻ SH ⊥(ABCD) ⇒ H là tâm của ∆ABD

=a 3

0,25 (0,5) 0,25

0,5 (0,75)

S

I

H O

Diện tích hình thoi ABCD :

SABCD

2 3 2

2

ABD

a

S∆

Thể tích khối chóp S.ABCD là : V = 1

3SH.SABCD =

3 2 6

a

5

(1đ) Từ giả thiết suy ra

1 1 1

2

a b c+ + =

; y = ; z =

x a

Ta có:

P

0,25

Áp dụng bđt Cô-si:

3 2

3

y z

+

3 2

3

x z

+

3 2

3

y x

+

Do đó: 1 1

0,5

6a

(2đ) 1 Ta có B(b;0) ; C(0;c) với b, c ≥ 0 và b2 + c2 >0

Phương trình đường thẳng BC : cx + by – bc = 0

Khoảng cách từ A đến đt BC : h 2c b bc2 2

+ −

=

+ ;

2 2

Diện tích ∆ABC là 1 1 2

0,5

Do ∆ABC vuông tại A nên uuur uuurAC AB =0

⇒ 2b+c =5 ⇒ c= 5 - 2b Do c ≥ 0 nên 0 ≤ b ≤ 5/2

Do đó: S = b 2 – 4b + 5 = f(b)

Ta có 0;5

2

ax ( )

 

 

  =f(0) = 5 nên Smax = 5 ⇔ b = 0 và c = 5 hay B(0;0) và C(0;5)

0,5

2 Các mp (P1) , (P2) lần lượt có vec tơ pháp tuyến là nr1(2;1; 1)− ; nr2(1; 1; 1)− −

mp(P) đi qua A (1;0;-2) và vuông góc với mp (P1) , (P2) nên có một vec tơ pháp

tuyến là nr=n nr r1; 2= −( 2;1; 3)−

0,5

phương trình mp(P) là - 2 (x – 1 ) + y – 3 (z +2 )= 0 ⇔ 2x – y + 3z + 4 = 0 0,5 7a

2011

3 3

2 2

2

(2)

y

x

xy

   = −÷



 +



ĐK: xy >0 Từ (2) suy ra x 3 + y 3 = xy(x 2 + y 2 ) >0 nên x> 0 ; y> 0

(1) ⇔ x.2011 x = 2y.2011 2y (*)

0,25

Xét hàm số f(t) = t 2011 t (t >0)

ta có f / (t) = 2011 1 0 t > 0

ln 2011

t + t > ∀

f(t) đồng biến trên (0 ; + ∝ )

0,25

pt (*) trở thành f(x) = f(2y) ⇔ x = 2y

thay vào pt(2) ta được y(5y – 9/2) = 0 ⇔ y = 0 (loại) hoặc y = 9/10

Với y = 9/10 suy ra x = 9/5 Vậy nghiệm của hệ là …

0,5

6b 1 Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC : r = ( ;d I BC)= 5 0,25

Điểm C ∈ ĐT x – 2y – 6 = 0 ⇒ C(2y0 + 6;y0 ) ⇒uuuurAC (2y0 +5;y0 −5)

Phương trình đt AC là : (5 – y0 )x + (2y0 +5)y – 9y0 – 30 = 0

Ta có r = d I AC( ; ) nên 2 0

5

y

+

=

⇔ 10y0 +25 = 5 5y02+10y0 +50 ⇔ 3y0 2 + 18y0 +15 = 0

0 0

1 5

y y

= −



⇔  = − ⇒

(4; 1) ( 4; 5)

C C

−



 − −



0,5

Do vai trò của B và C như nhau nên nếu C(4;-1) thì B(-4;-5) và ngược lại

2.Ta có uuurAB(1;1;1)

Một vec tơ pháp tuyến của mp(P) là : nur1(1;2 5)− .

mp(Q) đi qua A(2;1;1) ; B(3;2;2) và vuông góc với mp(P) nên có một vec tơ pháp tuyến là:

1

nr =uuur urAB n; = −7;6;1

0,5

Phương trình mp(Q) là: - 7 (x – 2) + 6(y – 1) + z – 1 = 0 ⇔ -7x + 6y + z + 7 =0 0,5

7b

x 2 1

x x

+

− ( Do x = ½ không phải là nghiệm của phương trình)

0,25

Ta có hàm số : f(x) = 3 x đồng biến trên R

g(x)=

x x

+

− có

/

2

− < ∀ ≠

− nên nghịch biến trên mỗi khoảng

( - ∝ ; 1/2) và( ½; +∝ )

0,25

Do đó trên mỗi khoảng ( - ∝ ; 1/2) và( ½; +∝ ) nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm thì

nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy x = 1 và x = -1 là các nghiệm của phương trình Vậy pt chỉ có 2 nghiệm ……

0,5

Ghi chú: Đối với khối B và khối D 1 điểm của câu 5, chuyển sang câu 4, và câu 1b, cụ thể ở

phần đóng ngoặc tương ứng